第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法
通過把一個合數(shù)分解為兩個或兩個以上質(zhì)因數(shù)，來解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。
分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。
例1 一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長是多少厘米？（適于六年級程度）
解：把1331分解質(zhì)因數(shù)：
1331=11×11×11
答：這塊正方體木塊的棱長是11厘米。
例2 一個數(shù)的平方等于324，求這個數(shù)。（適于六年級程度）
解：把324分解質(zhì)因數(shù)：
324= 2×2×3×3×3×3
=（2×3×3）×（2×3×3）
=18×18
答：這個數(shù)是18。例3 相鄰兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個數(shù)。（適于六年級程度）
解：把462分解質(zhì)因數(shù)：
462=2×3×7×11
=（3×7）×（2×11）
=21×22
答：這兩個數(shù)是21和22。
*例4 ABC×D=1673，在這個乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于六年級程度）
解：因為ABC×D=1673，ABC是一個三位數(shù)，所以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個三位數(shù)與另一個數(shù)相乘的形式，這個三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。
1673=239×7
答：ABC代表239。
例5 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長是多少米？（適于六年級程度）
解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）
=48×48
正方形的邊長是48米。
這塊田地的周長是：
48×4=192（米）
答略。
*例6 有3250個桔子，平均分給一個幼兒園的小朋友，剩下10個。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個。求這個幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級程度）
解：3250-10=3240（個）
把3240分解質(zhì)因數(shù)：
3240=23×34×5
接近40的數(shù)有36、37、38、39
這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。
23×34×5÷（22×32）
=2×32×5
=90
答：這個幼兒園有90名小朋友。
*例7 105的約數(shù)共有幾個？（適于六年級程度）
解：求一個給定的自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，可先將這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個質(zhì)數(shù)、兩個質(zhì)數(shù)、三個質(zhì)數(shù)的乘積……逐一由小到大寫出，再求出它的個數(shù)即可。
因為，105=3×5×7，
所以，含有一個質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個；
含有兩個質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個；
含有三個質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個。
所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個。
答略。
*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個數(shù)平均分成三組，使每組三個數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級程度）
解：將這九個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：
15=3×5
22=2×11
30=2×3×5
35=5×7
39=3×13
44=2×2×11
52=2×2×13
77=7×11
91=7×13
觀察上面九個數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個2，三個3，三個5，三個7，三個11，三個13，這樣每組中三個數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個2，一個3，一個5，一個7，一個11和一個13。
由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：
15、52和77；
22、30和91；
35、39和44。
答略。
*例9 有四個學(xué)生，他們的年齡恰好一個比一個大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個學(xué)生的年齡分別是幾歲？（適于六年級程度）
解：把5040分解質(zhì)因數(shù)：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四個學(xué)生的年齡一個比一個大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個連續(xù)自然數(shù)。用八個質(zhì)因數(shù)表示四個連續(xù)自然數(shù)是：
7，2×2×2，3×3，2×5
即四個學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。
答略。
*例10 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的兩個括號中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級程度）
解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得：
5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）
把上面的等式化簡，得：
15×（ ）=4×（ ）
所以，在左邊的括號內(nèi)填4，在右邊的括號內(nèi)填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例11 把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級程度）
解：把84分解質(zhì)因數(shù)：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的約數(shù)有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進行分組。84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。
因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。
答略。
*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個數(shù)分成兩組，每組四個數(shù)，要使各組數(shù)中四個數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級程度）
解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13
33=3×11 4445=5×7×127
75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個。
在把題中的八個數(shù)分為兩組時，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個。
按這個要求每一組四個數(shù)的積應(yīng)是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因為，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根據(jù)接下來為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個數(shù)是：30、33、169、4445。
答略。
*例13 一個長方形的面積是315平方厘米，長比寬多6厘米。求這個長方形的長和寬。（適于五年級程度）
解：設(shè)長方形的寬為x厘米，則長為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得：
x（x+6）= 315
x（x+6）=3×3×5×7
=（3×5）×（3×7）
x（x+6）=15×21
x（x+6）=15×（15+6）
x=15
x+6=21
答：這個長方形的長是21厘米，寬是15厘米。
*例14 已知三個連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個自然數(shù)各是多少？（適于五年級程度）
解：設(shè)這三個連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得：
（x-1）×x×（x+1）
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。
答：這三個連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。
*例15 將37分為甲、乙、丙三個數(shù)，使甲、乙、丙三個數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級程度）
解：把1440分解質(zhì)因數(shù)：
1440= 12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）
=8×9×20
如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則：
8×9=72，
20×3+12=72
正符合題中條件。
答：甲、乙、丙三個數(shù)分別是8、9、20。
*例16 一個星期天的早晨，母親對孩子們說：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時，才生下第二個兒子？（適于六年級程度）
解：由題意可知，母親有三個兒子。母親的年齡與三個兒子年齡的乘積等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解質(zhì)因數(shù)：
27090=43×7×5×32×2
根據(jù)“大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和”，重新組合上面的質(zhì)因式得：
43×14×9×5
這個質(zhì)因式中14就是9與5之和。
所以母親43歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。
43-9=34（歲）
答：母親在34歲時生下第二個兒子。
第三十二講 最大公約數(shù)法
通過計算出幾個數(shù)的最大公約數(shù)來解題的方法，叫做最大公約數(shù)法。
例1 甲班有42名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生，現(xiàn)在要把這兩個班的學(xué)生平均分成若干個小組，并且使每個小組都是同一個班的學(xué)生。每個小組最多有多少名學(xué)生？（適于六年級程度）
解：要使每個小組都是同一個班的學(xué)生，并且要使每個小組的人數(shù)盡可能多，就要求出42和48的最大公約數(shù)：
2×3=6
42和48的最大公約數(shù)是6。
答：每個小組最多能有6名學(xué)生。
例2 有一張長150厘米、寬60厘米的長方形紙板，要把它分割成若干個面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個正方形？（適于六年級程度）
解：因為分割成的正方形的面積最大，并且面積相等，所以正方形的邊長應(yīng)是150和60的最大公約數(shù)。
求出150和60的最大公約數(shù)：
2×3×5=30
150和60的最大公約數(shù)是30，即正方形的邊長是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說明，當(dāng)正方形的邊長是30厘米時，長方形的長150厘米中含有5個30厘米，寬60厘米中含有2個30厘米。
所以，這個長方形能分割成正方形：
5×2=10（個）
答：能分割成10個正方形。
例3 有一個長方體的方木，長是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？（適于六年級程度）
解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實際是求325、175和75的最大公約數(shù)。
5×5=25
325、175和75的最大公約數(shù)是25，即小正方體木塊的棱長是25厘米。
因為75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長是25厘米，所以，在75厘米中包含3個25厘米，在175厘米中包含7個25厘米，在325厘米中包含13個25厘米。
可以截成棱長是25厘米的小木塊：
3×7×13=273（塊）
答：小正方體木塊的棱長是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。
例4 有三根繩子，第一根長45米，第二根長60米，第三根長75米。現(xiàn)在要把三根長繩截成長度相等的小段。每段最長是多少米？一共可以截成多少段？（適于六年級程度）
解：此題實際是求三條繩子長度的最大公約數(shù)。
3×5=15
45、60和75的最大公約數(shù)是15，即每一小段繩子最長15米。
因為短除式中最后的商是3、4、5，所以在把繩子截成15米這么長時，45米長的繩子可以截成3段，60米長的繩子可以截成4段，75米長的繩子可以截成5段。所以有：
3+4+5=12（段）
答：每段最長15米，一共可以截成12段。
例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數(shù)相等的若干組后，男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少，每組應(yīng)是多少人？能分成多少組？（適于六年級程度）
解：因為男、女生各剩3人，所以進入各組的男、女生的人數(shù)分別是：
234-3=231（人）…………………男
146-3=143（人）…………………女
要使組數(shù)最少，每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是最多的，即每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是231人和143人的最大公約數(shù)。
231、143的最大公約數(shù)是11，即每一組是11人。
因為231、143除以11時，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。
21+13=34（組）
答：每一組應(yīng)是11人，能分成34組。
例6 把330個紅玻璃球和360個綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個盒里玻璃球的個數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個小盒？（適于六年級程度）
解：求一共可以裝多少個盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個盒子里球的個數(shù)相同，裝的最多，則每盒球的個數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。
2×3×5=30
330和360的最大公約數(shù)是30，即每盒裝30個球。
330÷30=11（盒）……………紅球裝11盒
360÷30=12（盒）……………綠球裝12盒
11+12=23（盒）……………共裝23盒
答略。
例7 一個數(shù)除40不足2，除68也不足2。這個數(shù)最大是多少？（適于六年級程度）
解：“一個數(shù)除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被這個數(shù)除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個數(shù)整除；68被這個數(shù)除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個數(shù)整除。
看來，能被這個數(shù)整除的數(shù)是：40+2=42，68+2=70。這個數(shù)是42和70的公約數(shù)，而且是最大的公約數(shù)。
2×7=14
答：這個數(shù)最大是14。
例8 李明昨天賣了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐賣了1.04元，第二筐賣了1.95元，第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價錢都是按當(dāng)?shù)厥袌鲆?guī)定的價格賣的。問三筐白菜各是多少千克，李明一共賣了多少千克白菜？（適于六年級程度）
解：三筐白菜的錢數(shù)分別是104分、195分、234分，每千克白菜的價錢一定是這三個數(shù)的公約數(shù)。
把104、195、234分別分解質(zhì)因數(shù)：
104=23×13
195=3×5×13
234=2×32×13
104、195、234最大的公有的質(zhì)因數(shù)是13，所以104、195、234的最大公約數(shù)是13，即每千克白菜的價錢是0.13元。
1.04÷0.13=8（千克）………第一筐
1.95÷0.13=15（千克）………第二筐
2.34÷0.13=18（千克）………第三筐
8+15+18=41（千克）
答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克，李明一共賣了41千克白菜。
例9 一個兩位數(shù)除472，余數(shù)是17。這個兩位數(shù)是多少？（適于六年級程度）
解：因為這個“兩位數(shù)除472，余數(shù)是17”，所以，472-17=455，455一定能被這個兩位數(shù)整除。
455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數(shù)中35、65和91大于17，并且是兩位數(shù)，所以這個兩位數(shù)可以是35或65，也可以是91。
答略。
例10 把圖32-1的鐵板用點焊的方式焊在一個大的鐵制部件上，要使每個角必須有一個焊點，并且各邊焊點間的距離相等。最少要焊多少個點？（單位：厘米）（適于六年級程度）
解：要求焊點最少，焊點間距就要最大；要求每個角有一個焊點，焊點間距離相等，焊點間距離就應(yīng)是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。
2×3=6
它們的最大公約數(shù)是6，即焊點間距離為6厘米。焊點數(shù)為：
7+4+3+6=20（個）
按這個算法每個角上的焊點是兩個，因為要求每一個角上要有一個焊點，所以，要從20個焊點中減4個焊點。
20-4=16（個）
答略。
第三十三講 最小公倍數(shù)法
通過計算出幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，從而解答出問題的解題方法叫做最小公倍數(shù)法。
例1 用長36厘米，寬24厘米的長方形瓷磚鋪一個正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？（適于六年級程度）
解：因為求這個正方形地面所需要的長方形瓷磚最少，所以正方形的邊長應(yīng)是36、24的最小公倍數(shù)。
2×2×3×3×2=72
36、24的最小公倍數(shù)是72，即正方形的邊長是72厘米。
72÷36=2
72÷24=3
2×3=6（塊）
答：最少需要6塊瓷磚。
*例2 王光用長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊拼最小的正方體模型。這個正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長方體木塊？（適于六年級程度）
解：此題應(yīng)先求正方體模型的棱長，這個棱長就是6、4和3的最小公倍數(shù)。
2×3×2=12
6、4和3的最小公倍數(shù)是12，即正方體模型的棱長是12厘米。
正方體模型的體積為：
12×12×12=1728（立方厘米）
長方體木塊的塊數(shù)是：
1728÷（6×4×3）
=1728÷72
=24（塊）
答略。例3 有一個不足50人的班級，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個班級有多少人？（適于六年級程度）
解：這個班的學(xué)生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說明這個班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)（50以內(nèi)）多1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。
2×2×3×4=48
12與16的最小公倍數(shù)是48。
48+1=49（人）
49<50，正好符合題中全班不足50人的要求。
答：這個班有49人。
例4 某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車？（適于六年級程度）
解：求三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車，就是要求出三條線路汽車發(fā)車時間間隔的最小公倍數(shù)，即8、10、12的最小公倍數(shù)。
2×2×2×5×3=120
答：至少經(jīng)過120分鐘又在同一時間發(fā)車。
例5 有一筐雞蛋，4個4個地數(shù)余2個，5個5個地數(shù)余3個，6個6個地數(shù)余4個。這筐雞蛋最少有多少個？（適于六年級程度）
解：從題中的已知條件可以看出.不論是4個4個地數(shù)，還是5個5個地數(shù)、6個6個地數(shù)，筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因為要求這筐雞蛋最少是多少個，所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2，就得到雞蛋的個數(shù)。
2×2×5×3=60
4、5、6的最小公倍數(shù)是60。
60-2=58（個）
答：這筐雞蛋最少有58個。
*例6 文化路小學(xué)舉行了一次智力競賽。參加競賽的人中，平均每15人有3個人得一等獎，每8人有2個人得二等獎，每12人有4個人得三等獎。參加這次競賽的共有94人得獎。求有多少人參加了這次競賽？得一、二、三等獎的各有多少人？（適于六年級程度）
解：15、8和12的最小公倍數(shù)是120，參加這次競賽的人數(shù)是120人。
得一等獎的人數(shù)是：
3×（120÷15）=24（人）
得二等獎的人數(shù)是：
2×（120÷8）=30（人）
得三等獎的人數(shù)是：
4×（120÷12）=40（人）
答略。
*例7 有一個電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點整時，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點鐘？（適于六年級程度）
解：每到整點響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長時間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的最小公倍數(shù)。
60與9的最小公倍數(shù)是180。
180÷60=3（小時）
由于是中午12點時既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點鐘。
答略。
*例8 一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（適于六年級程度）
解：這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：
96÷4+1=25（個）
后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。
96÷12+1=9（個）
96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。
答略。
例9 一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，甲隊還要做幾天？（適于六年級程度）
解：由18、24的最小公倍數(shù)是72，可把全工程分為72等份。
72÷18=4（份）…………是甲一天做的份數(shù)
72÷24=3（份）…………是乙一天做的份數(shù)
（4+3）×8=56份）………兩隊8天合作的份數(shù)
72-56=16（份）…………余下工程的份數(shù)
16÷4=4（天）……………甲還要做的天數(shù)
答略。
*例10 甲、乙兩個碼頭之間的水路長234千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時。求此船在靜水中的速度？（適于高年級程度）
解：9、13的最小公倍數(shù)是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。
每一份是：
234÷117=2（千米）
靜水中船的速度占總份數(shù)的：
（13+9）÷2=11（份）
船在靜水中每小時行：
2×11=22（千米）
答略。
*例11 王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時3千米，下山的速度為每小時5千米。他上、下山的平均速度是每小時多少千米？（適于六年級程度）
解：設(shè)山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。
3×5=15（千米）
上山用：
15÷3=5（小時）
下山用：
15÷5=3（小時）
總距離÷總時間=平均速度
（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）
答：他上、下山的平均速度是每小時3.75千米。
*例12 某工廠生產(chǎn)一種零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時做50個；第二道工序每個工人每小時做30個；第三道工序每個工人每小時做25個。在要求均衡生產(chǎn)的條件下，這三道工序至少各應(yīng)分配多少名工人？（適于六年級程度）
解：50、30、25三個數(shù)的最小公倍數(shù)是150。
第一道工序至少應(yīng)分配：
150÷50=3（人）
第二道工序至少應(yīng)分配：
150÷30=5（人）
第三道工序至少應(yīng)分配：
150÷25=6（人）
答略。
第三十四講 解平均數(shù)問題的方法
已知幾個不相等的數(shù)及它們的份數(shù)，求總平均值的問題，叫做平均數(shù)問題。
解答平均數(shù)問題時，要先求出總數(shù)量和總份數(shù)?？倲?shù)量是幾個數(shù)的和，總份數(shù)是這幾個數(shù)的份數(shù)的和。解答這類問題的公式是；
總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)
例1 氣象小組在一天的2點、8點、14點、20點測得某地的溫度分別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度。（適于四年級程度）
解：本題可運用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”進行計算。這里的總數(shù)量是指測得的四個溫度的和，即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度的和；這里的總份數(shù)是指測量氣溫的次數(shù)，一天測量四次氣溫，所以總份數(shù)為4。
（13+16+25+18）÷4
=72÷4
=18（攝氏度）
答：這一天的平均氣溫為18攝氏度。
例2 王師傅加工一批零件，前3天加工了148個，后4天加工了167個。王師傅平均每天加工多少個零件？（適于四年級程度）
解：此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù)，總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)之和。用總數(shù)量除以總份數(shù)，便求出平均數(shù)。
前、后共加工的零件數(shù)：
148+167=315（個）
前、后加工零件共用的天數(shù)：
3+4=7（天）
平均每天加工的零件數(shù)：
315÷7=45（個）
綜合算式：
（148+167）÷（3+4）
＝315÷7
=45（個）
答：平均每天加工45個零件。
例3 某工程隊鋪一段自來水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個工程隊平均每天鋪多少米？（適于四年級程度）
解：本題的總數(shù)量是指工程隊前3天、后2天一共鋪自來水管道的米數(shù)?？偡輸?shù)是指鋪自來水管道的總天數(shù)。用鋪自來水管道的總米數(shù)除以鋪自來水管道的總天數(shù)，就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。
前3天鋪的自來水管道米數(shù)：
150×3=450（米）
后2天鋪的自來水管道米數(shù)：
200×2=400（米）
一共鋪的自來水管道米數(shù)：
450+400=850（米）
一共鋪的天數(shù)：
3+2=5（天）
平均每天鋪的米數(shù)：
850÷5=170（米）
綜合算式：
（150×3+200×2）÷（3+2）
＝（450+400）÷5
＝850÷5
＝170（米）
答略。
例4 有兩塊實驗田，第一塊有地3.5畝，平均畝產(chǎn)小麥480千克；第二塊有地1.5畝，共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克？（適于四年級程度）
解：本題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量，總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù)，用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。
3.5畝共產(chǎn)小麥：
480×3.5=1680（千克）
兩塊地總產(chǎn)量：
1680+750=2430（千克）
兩塊地的總畝數(shù)：
3.5+1.5=5（畝）
兩塊地平均畝產(chǎn)小麥：
2430÷5=486（千克）
綜合算式：
（480×3.5+750）÷（3.5+1.5）
＝（1680+750）÷5
＝2430÷5
=486（千克）
答略。
例5 東風(fēng)機器廠，五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元。這個廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度）
解：本題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元，也就是下半月比上半月多70萬元，所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2（萬元）。把上半月的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加，求出五月份的總產(chǎn)值。
本題的總份數(shù)是指五月份的實際天數(shù)。五月份為大月，共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實際天數(shù)，可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元。
下半月產(chǎn)值：
125.2+70=195.2（萬元）
五月份的總產(chǎn)值：
125.2+195.2=320.4（萬元）
五月份平均每天的產(chǎn)值：
320.4÷31≈10.3（萬元）
綜合算式：
（125.2+125.2+70）÷31
=320.4÷31
≈10.3（萬元）
答略。
例6 崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只，中旬生產(chǎn)5580只，下旬生產(chǎn)5890只。這個月平均每天生產(chǎn)軸承多少只？（適于四年級程度）
解：本題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)，總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù)，可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。
六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù)：
527×10=5270（只）
六月中、下旬共生產(chǎn)軸承：
5580+5890=11470(只）
六月份共生產(chǎn)軸承：
5270+11470=16740（只）
六月份平均每天生產(chǎn)軸承：
16740÷30=558（只）
綜合算式：
（527×10+5580+5890）÷30
=（5270+5580+5890）÷30
=16740÷30
=558（只）
答略。
例7 糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的軟糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖，每千克應(yīng)賣多少元？（適于四年級程度）
解：本題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢數(shù)；總份數(shù)是指三種糖的總重量?？傚X數(shù)除以總重量，可求出每千克混合糖應(yīng)賣多少錢。
三種糖總的錢數(shù)：
4.8×5+3.6×10+2.4×10
=24+36+24
=84（元）
三種糖的總的重量：
5+10+10=25（千克）
每千克混合糖應(yīng)賣的價錢：
84÷25=3.36（元）
綜合算式：
（4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10）
＝84÷25
＝3.36（元）
答略。
例8 一輛汽車從甲地開往乙地，在平地上行駛了2.5小時，每小時行駛42千米；在上坡路行駛了1.5小時，每小時行駛30千米；在下坡路行駛了2小時，每小時行駛45千米，就正好到達(dá)乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度。（適于四年級程度）
解：本題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程：
42×2.5+30×1.5+45×2
=105+45+90
=240（千米）
本題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時間：
2.5+1.5+2=6（小時）
這輛汽車從甲地到乙地的平均速度是：
240÷6=40（千米/小時）
綜合算式：
（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）
＝240÷6
＝40（千米/小時）
答略。
*例9 學(xué)校發(fā)動學(xué)生積肥支援農(nóng)業(yè)，三年級85人積肥3640千克，四年級92人比三年級多積肥475千克，五年級的人數(shù)比四年級多3人，積肥數(shù)比三年級多845千克。三個年級的學(xué)生平均每人積肥多少千克？（適于四年級程度）
解：本題中的總數(shù)量是三個年級積肥的總重量。已知三年級積肥3640千克。
四年級積肥：
3640+475=4115（千克）
五年級積肥：
3640+845=4485（千克）
三個年級共積肥：
3640+4115+4485=12240（千克）
本題中的總份數(shù)就是三個年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)。三年級學(xué)生人數(shù)是85人已知，四年級學(xué)生人數(shù)是92人已知，五年級學(xué)生人數(shù)是：
92+3=95（人）
三個年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)是：
85+92+95=272（人）
三個年級的學(xué)生平均每人積肥：
12240÷272=45（千克）
綜合算式：
（3640×3+475+845）÷（85+92×2+3）
=12240÷272
=45（千克）
答略。
例10 山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城，每小時行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時，由于是上坡路，每小時只行了15千米。問此人往返一次平均每小時行了多少千米？（適于四年級程度）
解：本題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程：
60×2=120（千米）
總份數(shù)是往返一次用的時間：
60÷20+6O÷15
=3+4
=7（小時）
此人往返一次平均每小時行的路程是：
120÷7≈17.14（千米）
綜合算式：
60×2÷（60÷20+60÷15）
＝120÷(3+4）
＝120÷7
≈17.14（千米）
答略。
*例11 有兩塊棉田，平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。已知一塊田是3畝，平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝，求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克？（適于四年級程度）
解：兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是：
91.5×（3+5）=732（千克）
3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是：
104×3=312（千克）
另一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是：
（732-312）÷5
＝420÷5
＝84（千克）
綜合算式：
[91.5×（3+5）-104×3］÷5
＝[732-312]÷5
＝420÷5
＝84（千克）
答略。
*例12 王伯伯釣魚，前4天共釣了36條，后6天平均每天比前4天多釣了5條。問王伯伯平均每天釣魚多少條？（適于四年級程度）
解（1）：題中前4天共釣36條已知，后6天共釣魚：
（36÷4+5）×6
=14×6
=84（條）
一共釣魚的天數(shù)是：
4+6=10（天）
10天共釣魚：
36+84=120（條）
平均每天釣魚：
120÷10=12（條）
綜合算式：
[36+（36÷4+5）×6]÷（4+6）
=[36+84]÷10
=120÷10
=12（條）
答略。
解（2）：這道題除用一般方法解之外，還可將后6天多釣的魚按10天平均后，再加上原來4天的平均釣魚數(shù)。
（5×6）÷（4+6）+36÷4
=3+9
=12（條）
答：王伯伯平均每天釣魚12條。
例13 一個小朋友爬山，上山速度為每小時2千米，到達(dá)山頂后立即按原路下山，下山速度為每小時6千米。這個小朋友上、下山的平均速度是多少？（適于四年級程度）
解：本題的總數(shù)量是上山、下山的總路程，題中沒有說總路程是多少。假設(shè)上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下山的總路程是2千米。
本題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時間。
上山、下山總共用的時間是：
所以，上山、下山的平均速度是：
答略。
例14 某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬元，三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元。這個工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度）
解：此題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，用“總數(shù)量÷總份數(shù)”的方法做不出來。作圖（34-1）。從圖34-1可以看出，一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬元。題中說“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元”，那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高，所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份平均產(chǎn)值的線段長。
第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬元呢？
我們用“移多補少”的方法，把圖34-1中三月份的0.4萬元平均分成2份，分別加到一、二月份的產(chǎn)值上，這樣就得到第一季度的平均產(chǎn)值了。
1.2+0.4÷2=1.4（萬元）
因為三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元，所以三月份的產(chǎn)值是：
1.4+0.4=1.8（萬元）
綜合算式：
1.2+0.4÷2+0.4
=1.4+0.4
=1.8（萬元）
答略。
*例15 蘋果2千克賣2元錢，梨3千克賣2元錢。把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻到一起，按2元錢2.5千克來賣，是掙錢，還是賠錢？按照前面的標(biāo)準(zhǔn)價計算差了多少元？（適于四年級程度）
解：蘋果的單價是每1千克1元錢，梨的單價是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的價錢應(yīng)當(dāng)是：
因為是把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻合到一起，所以混合的水果一共是30千克，這30千克水果要少賣錢：
答：混合后是賠錢，照標(biāo)準(zhǔn)價差了1元錢。
*例16 三塊小麥實驗田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。已知第一塊地是3畝，平均畝產(chǎn)量是275千克；第二塊是5畝，平均畝產(chǎn)量是285千克；而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝？（適于四年級程度）
解：第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低：
267.5-240=27.5（千克）
每畝低27.5千克，需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來填補呢？
（275-267.5）×3+（285-267.5）×5
=7.5×3+17.5×5
=22.5+87.5
=110（千克）
110千克中含有多少個27.5千克，第三塊地就是多少畝。
110÷27.5=4（畝）
綜合算式：
[（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240）
=[22.5+87.5]÷27.5
=110÷27.5
=4（畝）
答：第三塊地是4畝。
第三十五講 解行程問題的方法
已知速度、時間、距離三個數(shù)量中的任何兩個，求第三個數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問題。
解答行程問題的關(guān)鍵是，首先要確定運動的方向，然后根據(jù)速度、時間和路程的關(guān)系進行計算。
行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：
速度×?xí)r間=路程
路程÷速度=時間
路程÷時間=速度
行程問題常見的類型是：相遇問題，追及問題（即同向運動問題），相離問題（即相背運動問題）。
（一）相遇問題
兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。
小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。
相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。
它們的基本關(guān)系式如下：
總路程=（甲速+乙速）×相遇時間
相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）
另一個速度=甲乙速度和-已知的一個速度
1.求路程
（1）求兩地間的距離
例1 兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經(jīng)過4小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）
解：兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。
56×4=224（千米）
63×4=252（千米）
224+252=476（千米）
綜合算式：
56×4+63×4
=224+252
=476（千米）
答略。
例2 兩列火車同時從相距480千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。5小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）
解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時共行的路程，所得就是兩車的距離。
480-（40+42）×5
=480-82×5
=480-410
=70（千米）
答：5小時后兩列火車相距70千米。
例3 甲、乙二人分別從A、B兩地同時相向而行，甲每小時行5千米，乙每小時行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進，分別到達(dá)B、A兩地后又立即按原速度返回。從開始走到第二次相遇，共用了6小時。A、B兩地相距多少千米？（適于五年級程度）
解：從開始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個AB之長；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個AB之長（圖35-1），這三個AB之長是：
（5+4）×6=54（千米）
所以，A、B兩地相距的路程是：
54÷3=18（千米）
答略。
例4 兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60千米，第二列火車每小時行駛55千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級程度）
解：兩車相遇時，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進而求出甲、乙兩地間的距離。
（60+55）×[20÷（60-55）]
=115×[20÷5]
=460（千米）
答略。
*例5 甲、乙二人同時從A、B兩地相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走5千米，兩個人在距離中點1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于五年級程度）
解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時，甲比乙多走了1.5×2千米（圖35-2），甲比乙每小時多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時間，進而求出A、B兩地之間的距離。
（6+5）×[1.5×2÷（6-5）]
=11×[1.5×2÷1]
=11×3
=33（千米）
答略。
由兩車“在離中點2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行：
2×2=4（千米）
所以，乙車行的路程是：
甲車行的路程是：
A、B兩站間的距離是：
24+20=44（千米）
答略。
同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級程度）
快車從乙城開出，普通客車與快車相對而行。已知普通客車每小時行60千米，快車每小時行80千米，可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時間，可以按“速度之和×相遇時間”，求出兩車相對而行的總行程。普通客車已行駛
普通客車與快車速度之和是：
60+80=140（千米/小時）
兩車相對而行的總路程是：
140×4=560（千米）
兩車所行的總路程占全程的比率是：
甲、乙兩城之間相距為：
綜合算式：
答略。
2）求各行多少
例1 兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時走3.5千米，乙每小時走4千米。相遇時甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級程度）
解：到甲、乙二人相遇時所用的時間是：
37.5÷（3.5+4）=5（小時）
甲行的路程是：
3.5×5=17.5（千米）
乙行的路程是：
4×5=20（千米）
答略。
例2 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時相對走來，甲每小時走4千米，乙每小時走6千米。相遇后他們又都走了1小時。兩人各走了多少千米？（適于五年級程度）
解：到甲、乙二人相遇所用的時間是：
40÷（4+6）=4（小時）
由于他們又都走了1小時，因此兩人都走了：
4+1=5（小時）
甲走的路程是：
4×5=20（千米）
乙走的路程是：
6×5=30（千米）
答略。
例3 兩列火車分別從甲、乙兩個火車站相對開出，第一列火車每小時行48.65千米，第二列火車每小時行47.35千米。在相遇時第一列火車比第二列火車多行了5.2千米。到相遇時兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）
解：兩車同時開出，行的路程有一個差，這個差是由于速度不同而形成的。可以根據(jù)“相遇時間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時間，然后再分別求出所行的路程。
從出發(fā)到相遇所用時間是：
5.2÷（48.65-47.35）
=5.2÷1.3
=4（小時）
第一列火車行駛的路程是：
48.65×4=194.6（千米）
第二列火車行駛的路程是：
47.35×4=189.4（千米）
答略。
*例4 東、西兩車站相距564千米，兩列火車同時從兩站相對開出，經(jīng)6小時相遇。第一列火車比第二列火車每小時快2千米。相遇時這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）
解：兩列火車的速度和是：
564÷6=94（千米/小時）
第一列火車每小時行：
（94+2）÷2=48（千米）
第二列火車每小時行：
48-2=46（千米）
相遇時，第一列火車行：
48×6=288（千米）
第二列火車行：
46×6=276（千米）
答略。
2.求相遇時間
例1 兩個城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市相對開出，客車的平均速度是每小時55千米，貨車的平均速度是每小時45千米。兩車開了幾小時以后相遇？（適于五年級程度）
解：已知兩個城市之間的路程是500千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時間。
500÷（55+45）
=500÷100
=5（小時）
答略。
例2 兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市
答略。
例3 在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來相距62.75千米。據(jù)偵察員報告，敵人已向我處前進了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時前進6.5千米，敵人每小時前進5千米。我軍出發(fā)幾小時后與敵人相遇？（適于五年級程度）
解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進了11千米”可知實際的總距離減少到（62.75-11）千米。
（62.75-11）÷（6.5+5）
=51.75÷11.5
=4.5（小時）
答：我軍出發(fā)4.5小時后與敵人相遇。
例4 甲、乙兩地相距200千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5小時；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4小時。如果兩列火車同時從兩地相對開出，經(jīng)過幾小時可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級程度）
解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時間。
200÷（200÷5+200÷4）
=200÷（40+50）
=200÷90
≈2.2（小時）
答：兩車大約經(jīng)過2.2小時相遇。
例5 在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個車站開出，相向而行?？燔囓嚿黹L是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身長210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級程度）
解：因為是以兩車離開為準(zhǔn)計算時間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個車身的總長?？傞L除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時間。
（180+210）÷（9+6）
=390÷15
=26（秒）
答略。
3.求速度
例1 甲、乙兩個車站相距550千米，兩列火車同時由兩站相向開出，5小時相遇。快車每小時行60千米。慢車每小時行多少千米？（適于五年級程度）
解：先求出速度和，再從速度和中減去快車的速度，便得出慢車每小時行：
550÷5-60
=110-60
=50（千米）
答略。
例2 A、B兩個城市相距380千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€城市同時相對開出，經(jīng)過4小時相遇。貨車比客車每小時快5千米。這兩列車每小時各行多少千米？（適于五年級程度）
解：客車每小時行：
（380÷4-5）÷2
=（95-5）÷2
=45（千米）
貨車每小時行：
45+5=50（千米）
答略。
例3 甲、乙兩個城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時相對開出，經(jīng)過10小時相遇?？燔嚸啃r行50千米，比慢車每小時多行多少千米？（適于五年級程度）
解：兩城市的距離除以兩車相遇的時間，得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。
50-（980÷10-50）
=50-（98-50）
=50-48
=2（千米）
答略。
例4 甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過6小時相遇。已知快車與慢車的速度比是5∶4。求快車和慢車每小時各行多少千米？（適于六年級程度）
兩車的速度和是：
486÷6=81（千米/小時）
快車每小時行：
慢車每小時行：
答略。
例5 兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出，4.5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度）
解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時行465-120=345千米，345千米除以4.5小時，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。
答略。
例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時走5千米，先出發(fā)0.8小時。乙騎自行車，騎2小時后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時行多少千米？（適于五年級程度）
解：兩人相遇時，甲共走：
0.8+2=2.8（小時）
甲走的路程是：
5×2.8=14（千米）
乙在2小時內(nèi)行的路程是：
40-14=26（千米）
所以，乙每小時行：
26÷2=13（千米）
綜合算式：
[40-5×（0.8+2）]÷2
=[40-5×2.8]÷2
=[40-14]÷2
=26÷2
=13（千米）
答略。
例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對而行。甲先出發(fā)，每小時步行5千米。1小時后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時，兩人相距11千米。乙每小時行駛多少千米？（適于五年級程度）
解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：
50-5-11=34（千米）
這時，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別從兩地同時相對而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時走5千米。經(jīng)過2小時兩人相遇。乙每小時行多少千米？”
由此可知，二人的速度和是：
34÷2=17（千米/小時）
乙每小時行駛的路程是：
17-5=12（千米）
綜合算式：
（50-5-11）÷2-5
=34÷2-5
=17-5
=12（千米）
答略。
（二）追及問題
追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。
根據(jù)速度差、距離差和追及時間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：
距離差=速度差×追及時間
追及時間=距離差÷速度差
速度差=距離差÷追及時間
速度差=快速-慢速
解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對應(yīng)的距離差、速度差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運用公式求出第三者來達(dá)到解題目的。
*例1 甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時向同一個方向前進。甲在前，以每小時5千米的速度步行；乙在后，以每小時10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時后乙能追上甲？（適于高年級程度）
解：求乙?guī)仔r追上甲，先求乙每小時能追上甲的路程，是：
10-5=5（千米）
再看，相差的路程9千米中含有多少個5千米，即得到乙?guī)仔r追上甲。
9÷5=1.8（小時）
綜合算式：
9÷（10-5）
=9÷5
=1.8（小時）
答略。
*例2 甲、乙二人在相距6千米的兩地，同時同向出發(fā)。乙在前，每小時行5千米；甲在后，每小時的速度是乙的1.2倍。甲幾小時才能追上乙？（適于高年級程度）
解：甲每小時行：
5×1.2=6（千米）
甲每小時能追上乙：
6-5=1（千米）
相差的路程6千米中，含有多少個1千米，甲就用幾小時追上乙。
6÷1=6（小時）
答：甲6小時才能追上乙。
*例3 甲、乙二人圍繞一條長400米的環(huán)形跑道練習(xí)長跑。甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。二人從起跑線出發(fā)，經(jīng)過多長時間甲能追上乙？（適于高年級程度）
解：此題的運動路線是環(huán)形的。求追上的時間是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平時所說的“落一圈”，這一圈相當(dāng)于在直線上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的時間是：
400÷（350-250）
=400÷100
=4（分鐘）
答略。
*例4 在解放戰(zhàn)爭的一次戰(zhàn)役中，我軍偵察到敵軍在我軍南面6千米的某地，正以每小時5.5千米的速度向南逃竄，我軍立即以每小時8.5千米的速度追擊敵人。在追上敵人后，只用半小時就全殲敵軍。從開始追擊到全殲敵軍，共用了多長時間？（適于高年級程度）
解：敵我兩軍行進的速度差是：
8.5-5.5=3（千米/小時）
我軍追上敵軍用的時間是：
6÷3=2（小時）
從開始追擊到全殲敵軍，共用的時間是：
2+0.5=2.5（小時）
綜合算式：
60÷（8.5-5.5）+0.5
=6÷3+0.5
=2.5（小時）
答略。
*例5 一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)，每小時行5千米。離開駐地3千米時，排長命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時10千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時可以追上隊伍？（適于高年級程度）
解：通訊員離開隊伍時，隊伍已離開駐地3千米。通訊員的速度等于隊伍的2倍（10÷5=2），通訊員返回到駐地時，隊伍又前進了（3÷2）千米。這樣，通訊員需追及的距離是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小時。
根據(jù)“距離差÷速度差=時間”可以求出追及的時間。
（3+3÷2）÷（10-5）
=4.5÷5
=0.9（小時）
答略。
（三）相離問題
相離問題就是兩個人或物體向相反方向運動的應(yīng)用題，也叫做相背運動問題。
解相離問題一般遵循“兩個人或物體出發(fā)地之間的距離+速度和×?xí)r間=兩個人或物體之間的距離”。
例1 哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分鐘后二人相距960米？（適于四年級程度）
解：二人同時、同地相背而行，只要求出速度和，由“時間=距離÷速度和”即可求出所行時間。因此，得：
960÷（85+75）
=960÷160
=6（分鐘）
答略。
例2 甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時出發(fā)，相背而行。甲每小時行6千米，乙每小時行7千米。8小時后，甲、乙二人相距多少千米？（適于四年級程度）
解：先求出二人速度之和，再乘以時間就得到二人之間的距離。
（6+7）×8
=13×8
=104（千米）
答略。
*例3 東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王二人同時自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時后二人分別到達(dá)東、西兩鎮(zhèn)。已知張每小時比王多行1.5千米。二人每小時各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？（適于高年級程度）
解：由二人6小時共行69千米，可求出他們的速度和是（69÷6）千米/小時。張每小時比王多行1.5千米，這是他們的速度差。從而可以分別求出二人的速度。
張每小時行：
（69÷6+1.5）÷2
=（11.5+1.5）÷2
=13÷2
=6.5（千米）
王每小時行：
6.5-1.5=5（千米）
出發(fā)地距東鎮(zhèn)的距離是：
6.5×6=39（千米）
答：張每小時行6.5千米，王每小時行5千米；出發(fā)地到東鎮(zhèn)的距離是39千米。
第三十六講 解工程問題的方法
工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的問題。這三者之間的關(guān)系是：
工作效率×工作時間=工作量
工作量÷工作時間=工作效率
工作量÷工作效率=工作時間
根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。
由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)工程問題和分?jǐn)?shù)工程問題兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算，但在計算過程中要涉及到分率。
（一）工作總量是具體數(shù)量的工程問題
例1 建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊運需要15天，用乙車隊運需要10天。兩隊合運需要多少天？（適于四年級程度）
解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量÷工作時間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據(jù)兩隊工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時間”，求出兩隊合運需用多少天。
甲車隊每天運的噸數(shù)：（甲車隊工作效率）
1200÷15=80（噸）
乙車隊每天運的噸數(shù)：（乙車隊工作效率）
1200÷10=120（噸）
兩個車隊一天共運的噸數(shù)：
80+120=200（噸）
兩個車隊合運需用的天數(shù)：
1200÷200=6（天）
綜合算式：
1200÷（1200÷15+1200÷10）
=1200÷（80+120）
=1200÷200
=6（天）
答略。
*例2 生產(chǎn)350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時？（適于四年級程度）
解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。
李師傅1小時可完成：
350÷14=25（個）
由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時完成：
350÷10=35（個）
小王單獨工作一小時可完成：
35-25=10（個）
小王單獨做這批零件需要：
350÷10=35（小時）
綜合算式：
350÷（350÷10-350÷14）
=350÷（35-25
=350÷10
=35（小時）
答略。
*例3 把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時后，甲組也開始生產(chǎn)。兩組同時完工時超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長時間？（適于四年級程度）
解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：
2191-160×2+1=1872（打）
兩組共同生產(chǎn)的時間是：
1872÷（160+128）=6.5（小時）
乙組生產(chǎn)的時間是：
6.5+2=8.5（小時）
綜合算式：
（2191-160×2+1）÷（160+128）+2
=1872÷288+2
=6.5+2
=8.5（小時）
答略。
一同生產(chǎn)用了多少小時？（適于六年級程度）
解：兩臺機器一同生產(chǎn)的個數(shù)是：
108-45=63（個）
第一臺機器每小時生產(chǎn)：
第二臺機器每小時生產(chǎn)：
兩臺機器一同生產(chǎn)用的時間是：
63÷（4+5）=7（小時）
綜合算式：
答略。
（二）工作總量不是具體數(shù)量的工程問題
例1 一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩隊合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）
解：把這項工程的工作總量看作1。甲隊單獨做24天完成，做1天完成
答略。
例2 一項工程，由甲工程隊修建需要20天，由乙工程隊修建需要30
解：把這項工程的工作總量看作1，由甲工程隊修建需要20天，知甲工
答略。
例3 一項工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨做15天可以完成。乙單獨做多少天可以完成？（適于六年級程度）
解：把這項工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合
需要多長的時間。
=7.5（天）
答：乙單獨做7.5天可以完成。
例4 有一個水箱，用甲水管注水10分鐘可以注滿，用乙水管注水8分鐘可以注滿。甲、乙兩管同時開放2分鐘后，注入水箱中的水占水箱容量的幾分之幾？（適于六年級程度）
解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分鐘可以注滿，則甲水管1
的：
答略。
例5 一項工程，由甲、乙、丙三人各自單獨做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)。如果三人合作需要幾天完成任務(wù)？（適于六年級程度）
解：甲、乙、丙三人各自單獨做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)，
=1（天）
答略。
所以，乙單獨做可以完成的時間是：
綜合算式：
=6（天）
答略。
以完成？（適于六年級程度）
解：甲隊獨做3天，乙隊獨做5天所完成的工作量，相當(dāng)于甲乙兩隊合做3天，乙隊再獨做2天所完成的工作量。這時完成了全工程的：
乙隊單獨做完成的時間是：
答略。
*例8加工一批零件，甲獨做需要3天完成，乙獨做需要4天完成。兩人同時加工完成任務(wù)時，甲比乙多做24個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）
解：解這道題的關(guān)鍵是，求出24個零件相當(dāng)于零件總數(shù)的幾分之幾。
完成任務(wù)時甲比乙多做：
綜合算式：
答略。
*例9 一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。甲、乙合做了數(shù)天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了14天。乙請假幾天？（適于六年級程度）
解：根據(jù)“甲單獨做20天完成”和“從開工到完成任務(wù)共用了14天”，可知甲做了全工程的：
乙做了全工程的：
乙請假的天數(shù)是：
14-9=5（天）
綜合算式：
答略。
*例10 一項工程，乙隊單獨做需要15天完成。甲、乙兩隊合做，比乙隊單獨做可提前6天完成。如果甲、乙兩隊合做5天后，再由甲隊單獨做，甲隊還需要多少天才能完成？（適于六年級程度）
解：設(shè)這項工程為1，則乙隊每天做：
兩隊合做時每天做：
甲隊每天做：
兩隊合做5天后剩下的工作量是：
甲隊做剩的工作還需要的時間是：
綜合算式：
答略。
（三）用解工程問題的方法解其他類型的應(yīng)用題
例1 甲、乙兩地相距487千米。李華駕駛摩托車從甲地到乙地，需要1小時；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時。照這樣的速度，兩人分別從兩地同時相向出發(fā)，經(jīng)過幾小時在途中相遇？
一般解法：（適于四年級程度）
用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）
把全程看作1。李華駕駛摩托車從甲地到乙地需要1小時，李華的速度就是1；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時，王明每1小時要行全程的
例2 某學(xué)校食堂購進一車煤，原計劃燒60天。由于改進了爐灶的構(gòu)造，實際每天比原來少燒10千克，這樣這車煤燒了70天。這車煤重多少千克？
*一般解法：（適于四年級程度）
10×60÷（70-60）×70
=4200（千克）
答：這車煤重4200千克。
用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）
答略。
一般解法：（適于六年級程度）
答略。
用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）
如果把這批零件的總數(shù)作為一項“工程”，以1表示，則這個工廠計劃
因此，實際需要的天數(shù)是：
答略。
（四）用份數(shù)法解工程問題
例1 一項工程，甲隊單獨做9天完成，乙隊單獨做18天完成。甲、乙兩隊合做4天后，剩下的任務(wù)由乙隊單獨做。乙隊還需要幾天才能完成？（適于六年級程度）
解：把整個工程的工作量平均分成9×18=162（份）
甲隊每天可以完成：
162÷9=18（份）
乙隊每天可以完成：
162÷18=9（份）
甲、乙兩隊合做每天共完成：
18+9=27（份）
兩隊4天共完成：
27×4=108（份）
兩隊合做4天后，剩下的工程是：
162-108=54（份）
剩下的任務(wù)由乙隊單獨做，需要的天數(shù)是：
54÷9=6（天）
綜合算式：
[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9
=[162-108]÷9
=6（天）
答略。
例2 一項工程，甲隊單獨做16天完成，乙隊單獨做20天完成。甲隊先做7天，然后由甲、乙兩隊合做。甲、乙兩隊合做還要多少天才能完成？（適于六年級程度）
解：把這項工程的總工作量看做16×20份，則甲隊每天做20份，乙隊每天做16份。
甲隊先做7天，完成的工作量是：
20×7=140（份）
甲隊做7天后，剩下的工作量是：
16×20-140=180（份）
甲、乙兩隊合做，一天可以完成：
20+16=36（份）
甲、乙兩隊合做還需要的天數(shù)是：
180÷36=5（天）
答略。
例3 一個水池裝有進、出水管各一個。單開進水管10分鐘可將空池注滿，單開出水管12分鐘可將滿池水放完。若兩管齊開多少分鐘可將空池注滿？（適于六年級程度）
解：把注滿全池水所用的時間看作10×12份，當(dāng)進水管進12份的水量時，出水管可放出10份的水量，進出水相差的水量是：
12-10=2（份）
甲、乙兩管齊開注滿水池所用的時間是：
10×12÷2=60（分鐘）
答：若兩管齊開60分鐘可將空池注滿。
（五）根據(jù)時間差解工程問題
例1 師、徒二人共同加工一批零件，需要4小時完成。師傅單獨加工這批零件需要5小時完成。師、徒二人共同加工完這批零件時，徒弟加工了30個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）
解：從時間差考慮，師、徒共同加工完的時間與師傅單獨加工完的時間相差5-4=1（小時）。這說明師傅1小時加工的零件數(shù)等于徒弟4小時加工的零件數(shù)。
所以，師傅5小時加工的零件就是這批零件的總數(shù)：
30×5=150（個）
答略。
例2 一份稿件需要打字，甲、乙兩人合打10天可以完成。甲單獨打15天可以完成。乙單獨打需要幾天完成？（適于六年級程度）
解：從時間差考慮，甲、乙兩人合打完成與甲單獨打完，兩者的時間差是15-10=5（天），這說明甲5天的工作量相當(dāng)于乙10天的工作量。
那么，甲15天的工作量，乙要工作：
10÷5×15=30（天）
答：乙單獨打需要30天完成。
例3 一輛快車和慢車同時分別從A、B兩站相對開出，經(jīng)過12小時相遇。已知快車行完全程需要20小時。求兩車相遇后慢車還要行多少小時才能到達(dá)A站？（適于六年級程度）
解：從時間差考慮，兩車相遇與快車行完全程的時間差是20-12=8（小時）。這說明快車8小時行的路程相當(dāng)于慢車12小時行的路程。那么快車行12小時的路程，慢車要行多長時間？也就是兩車相遇后慢車還要行駛而到達(dá)A點的時間。
12÷8×12=18（小時）
答略。
第三十七講、解流水問題的方法
流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運動的問題。這類問題的主要特點是，水速在船逆行和順行中的作用不同。
流水問題有如下兩個基本公式：
順?biāo)俣?船速+水速 （1）
逆水速度=船速-水速 （2）
這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r單位時間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時間里所行的路程；水速是指水在單位時間里流過的路程。
公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因為順?biāo)畷r，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進，同時這艘船又在按著水的流動速度前進，因此船相對地面的實際速度等于船速與水速之和。
公式（2）表明，船逆水航行時的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。
根據(jù)加減互為逆運算的原理，由公式（1）可得：
水速=順?biāo)俣?船速 （3）
船速=順?biāo)俣?水速 （4）
由公式（2）可得：
水速=船速-逆水速度 （5）
船速=逆水速度+水速 （6）
這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實際速度和水速這三者中的任意兩個，就可以求出第三個。
另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因為順?biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：
船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （7）
水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （8）
*例1 一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時，水流的速度是每小時1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適于高年級程度）
解：此船的順?biāo)俣仁牵?div style="height:15px;">
*例4 某船在靜水中每小時行18千米，水流速度是每小時2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時？（適于高年級程度）
