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全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽試題

(考試時(shí)間：120分鐘，滿分140分)

一、選擇題：(每小題7分，共42分)

1、已知實(shí)數(shù)a滿足：|2004-a|+ ＝a，那么a-2004²＝(      )

A、2003        B、2004       C、2005      D、2006

2、如圖，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB于D，在

(1)     DC·AB＝AC·BC，  (2)  

(3)        (4)AC+BC＞CD+AB

中正確的個(gè)數(shù)是 (      )

A、4          B、3          C、2         D、1

3、實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：a＋b＋c＋d＝1001，ac＝bd＝4，則： = 

A、1001      B、2002        C、2003       D、2004

4、在△ABC中，∠A ＞∠B＞∠C，∠A≠90°，畫直線使它把 △ABC 分成兩部份，且使其中一部分與△ABC 相似，這樣的互不平行的直線有( 　　)條

A、3           B、4            C、5　        D、6

5、已知二次函數(shù)y=ax²+c,且當(dāng)x＝1時(shí)，－4≤y ≤－1，當(dāng)x＝2時(shí),－1≤y≤5，則當(dāng)x＝3時(shí)，y的取值范圍是 (　　　)

A、－1 ≤y ≤20    B、 －4 ≤ y ≤15 C、7 ≤y ≤26    D、 ≤ y ≤

6、n是一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為a，當(dāng)n分別乘以3，5，7，9后得到四個(gè)乘積，如果其每個(gè)乘積的各位數(shù)的數(shù)字之和仍為a，那么這樣的兩位數(shù)有(　　)個(gè)。A、3            B、5            C、7          D、9

二、填空題：（每小題7分，共28分）

7、某電影院的票價(jià)是：個(gè)人每張6元，每10人一張團(tuán)體票為40元，學(xué)生享受九折優(yōu)惠，某校1258名學(xué)生看電影(教師免票)，學(xué)校應(yīng)向電影院至少付_________________元錢。

8、利用公式(a²＋b²)(c²＋d²)=(ac＋bd)²＋(bc－ad)² 或其它方法找出一組正整數(shù)填空：(2²＋92×3²)(4²＋92×5²)=(       ) ²+92×(      ) ²。

9、如圖，梯形ABCD的面積為34cm²， AE=BF， CE與DF

相交于O，△OCD的面積為11cm²，則陰影部分的面積為 _       cm²。

10、在表達(dá)式S= 中， x₁、x₂、x₃、x₄ 是1、2、3、4的一種排列（即：x₁、x₂、x₃、x₄取1、2、3、4中的某一個(gè)數(shù)，且x₁、x₂、x₃、x₄ 互不相同）。則使S為實(shí)數(shù)的不同排列的種數(shù)有          種。

三、(本題滿分20分)

某同學(xué)買某種鉛筆，當(dāng)他買了x支，付了y元（x、y都是整數(shù)）時(shí)，營業(yè)員說：“你要再多買10支，我就總共收你2元錢，這樣相當(dāng)于每買30支，你可節(jié)省2元錢”。求x·y。

四、(本題滿分25分)

如圖：菱形PQRS內(nèi)接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S為AB、BC、CD、DA上的內(nèi)點(diǎn)。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、

若既約分?jǐn)?shù) 為矩形ABCD的周長，求m＋n。

五、(本題滿分25分)

1、試設(shè)計(jì)一種方法，把一個(gè)正方形不重復(fù)不遺漏地分割成8個(gè)正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又問如何把正方形按上要求分成31個(gè)正方形？

2、試設(shè)計(jì)一種方法，把一個(gè)立方體分割成55個(gè)立方體(要求：不重復(fù)不遺漏，分得的立方體大小可以不相同)。

全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽答案

一、1. C;    2.B ;  3. B;   4. D;   5. A;   6. B; 

二、7. 4536;  8. 1388，2;   9. 12;   10. 16;

三、根據(jù)營業(yè)員的話，y的值只能是1或2。            (3分)

(1)當(dāng)y=1時(shí)，則原來每支價(jià)格為 元，多買10支，每支節(jié)省 元?，F(xiàn)在每支價(jià)格為( - )元。設(shè)多買10支后共m支，則有( - )m=2……(4分)，此時(shí)m只能取15, 30, 45, 60……。經(jīng)討論只有當(dāng)m=15，x=5時(shí)才符合題意。（6分）

(2)當(dāng)y=2時(shí)，則( - )m= 2  無論m為何整數(shù)均不合題意。   (5分)

∴所求x=5、y=1                                          (2分)

（注：y=2不討論適當(dāng)扣分）

四、設(shè)AS=x、AP=y ……(2分)，由菱形性質(zhì)知PR SQ，且互相平分，這樣得到8個(gè)直角三角形，易知PR與SQ的交點(diǎn)是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6個(gè)三角形的邊長分別為15、20、25。由對(duì)稱性知CQ、CR的長為x、y。則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，矩形面積等于8個(gè)Rt△的面積之和。則有：

(20+x)(15+y)=6× ×20×15+2× xy             （8分）

則有  3x+4y=120   (1)

又    x²+y²=625    (2)                          (2分)

得   x₁=20             x₂=

        y₁=15             y₂=                         (5分)

當(dāng)x=20時(shí)    BC=x+BQ=40 這與PR=30不合

故  x=         y=                             (2分)

∴矩形周長為2(15+20+x+y)=                     (5分)

即：m+n=677                                      (1分)

五、

1、容易把一個(gè)正方形分成4²=16個(gè)正方形，再把其中位于一角的9個(gè)拼成一個(gè)正方形，共得：16-9+1=8個(gè)正方形 。          (8分)

分成16個(gè)正方形后，把其中任意5個(gè)分成4個(gè)小正方形，共有16-5+5×4=31個(gè)正方形。                                      (8分)

2、把立方體分割成3³=27個(gè)立方體，再把其中4個(gè)各分成2³=8個(gè)立方體，共27-4+4×2³=55個(gè)立方體。                    （9分）