下面這些文字來源于我在初三數(shù)學(xué)競賽課的一份講義。這節(jié)課的主題本是四點(diǎn)共圓，但由此引出了三角形中很多漂亮的性質(zhì)，讓人深感數(shù)學(xué)之美。在此整理出來，獻(xiàn)給所有還在中學(xué)讀書的讀者，以及早已遠(yuǎn)離中學(xué)數(shù)學(xué)的 80 后。不管大家是否喜愛數(shù)學(xué)，想必都會(huì)被這些奇妙的結(jié)論所震撼。
三角形的奇跡首先表現(xiàn)在各個(gè)“心”上：三角形內(nèi)部的每一組有幾何意義的線條都交于一點(diǎn)。三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做三角形的“內(nèi)心”，它是三角形內(nèi)切圓的圓心；三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圓的圓心；三角形的三條中線也交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的“重心”，因?yàn)樗娴木褪沁@個(gè)三角形的重心。用力學(xué)方法可以很快推導(dǎo)出，它位于各中線的三等分點(diǎn)處。這些心將會(huì)在本文后面某個(gè)出人意料的地方再次出現(xiàn)。
三角形的三條高也不例外——它們也交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼，但深入研究后即會(huì)冒出很多奇妙的結(jié)論。由于兩個(gè)斜邊重合的直角三角形將會(huì)產(chǎn)生出共圓的四點(diǎn)，因此畫出三角形的三條高后，會(huì)出現(xiàn)大量四點(diǎn)共圓的情況，由此將挖掘出一連串漂亮的結(jié)論。讓我們先來看一個(gè)簡單而直接的結(jié)論：
定理：若 D 、 E 、 F 分別是 △ABC 三邊的高的垂足，則 ∠1 = ∠2 。
證明：由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A 、 C 、 D 、 F 四點(diǎn)共圓，因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理，由 A 、 B 、 D 、 E 四點(diǎn)共圓可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。
如果把三邊垂足構(gòu)成的三角形稱作“垂足三角形”的話，我們就有了下面這個(gè)聽上去很帥的推論：
推論：三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。
證明：因?yàn)?AD 垂直于 BC，而剛才又證明了 ∠1 = ∠2，因此 ∠3 = ∠4 ，即 HD 平分 ∠EDF 。類似地， HE 、 HF 都是 △DEF 的內(nèi)角平分線，因此 H 是 △DEF 的內(nèi)心。
另一個(gè)有趣的推論如下：
推論：將 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ，假設(shè) EF 翻折到了 EF’ ，則 EF’ 和 DE 共線。
證明：這可以直接由上圖中的 ∠1 = ∠2 推出。
1775 年，F(xiàn)agnano 曾經(jīng)提出了下面這個(gè)問題：在給定的銳角三角形 ABC 中，什么樣的內(nèi)接三角形具有最短的周長。這個(gè)問題就被稱作“Fagnano 問題”。 Fagnano 自己給出了答案：周長最短的內(nèi)接三角形就是垂足三角形。下面我們就來證明這個(gè)結(jié)論。
定理：在 △ABC 的所有內(nèi)接三角形中，垂足三角形 △DEF 擁有最短的周長。
證明：像上圖那樣，把三角形翻折五次，得到折線段 DEF1D2E2F3D4 。這條折線段的總長度等于內(nèi)接三角形 DEF 周長的兩倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性質(zhì)可知，這條折線段正好組成了一條直線段。另外，注意到如此翻折之后， BC 和 B2C2是平行且相等的，而且 D 和 D4 位于兩線段上相同的位置，因此從 D 到 D4 的折線段總長以直線段 DD4 最短。這就說明了，垂足三角形 △DEF 擁有最短的周長。
不過，這還不夠震撼，垂心還有不少的本事。四點(diǎn)共圓還會(huì)給我們帶來其它的等角。
定理：若 D 、 E 、 F 分別是 △ABC 三邊的高的垂足，則 ∠1 = ∠2 。
證明：由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B 、 F 、 H 、 D 四點(diǎn)共圓，因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。
這將給我們帶來了下面這個(gè)非常漂亮的推論。
推論：把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 邊翻折到 H’ ，則 H’ 在 △ABC 的外接圓上。
證明：由于 H 和 H’ 沿 BC 軸對稱，因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已經(jīng)證明過了， ∠1 = ∠2 。因此， ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所對的角，它們相等就意味著 A 、 C 、 H’ 、 B 是四點(diǎn)共圓的。
換一種描述方法，這個(gè)結(jié)論還可以便得更酷：
推論：把 △ABC 的垂心 H 沿三邊分別翻折到 H1 、 H2 、 H3 ，則 A 、 B 、 C 、 H1、 H2 、 H3 六點(diǎn)共圓。
證明：這可以直接由前面的結(jié)論得到。
另一個(gè)更加對稱美觀的結(jié)論如下：
推論：若 D 、 E 、 F 分別是 △ABC 三邊的高的垂足， H 是垂心，則 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
證明：做出 △ABC 的外接圓，然后延長 HD 、 HE 、 HF ，它們與外接圓的交點(diǎn)分別記作 H1 、 H2 、 H3 。前面的結(jié)論告訴我們， HH1 = 2HD ， HH2 = 2HE ， HH3= 2HF。而相交弦定理（或者圓冪定理，可以用相似迅速得證）告訴我們， AH·HH1= BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同時(shí)除以 2 ，就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
讓我們再來看一個(gè)與外接圓有關(guān)的定理。
定理：若 D 、 E 、 F 分別是 △ABC 三邊的高的垂足， H 是垂心。過 C 作 BC 的垂線，與 △ABC 的外接圓交于點(diǎn) G 。則 CG = AH 。
證明：我們將證明四邊形 AHCG 的兩組對邊分別平行，從而說明它是一個(gè)平行四邊形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ，因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角，這說明 BG 是圓的直徑，也就說明 ∠BAG 也是直角，即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ，所以 AG 與 CF 平行。因而四邊形 AHCG 是平行四邊形， CG = AH 。
它也能帶來一個(gè)更帥的推論：
推論：若 H 是 △ABC 的垂心，O 是 △ABC 的外心，則 O 到 BC 的垂線段 OM 與 AH 平行，并且是 AH 長度的一半。
證明：前面我們證明了，上圖中的 CG 與 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圓的直徑， BG 的中點(diǎn)就是圓心，也就是 △ABC 的外心 O 。垂線段 OM 是 △BCG 的中位線，它平行且等于 CG 的一半，從而也就平行且等于 AH 的一半。
好了，下面大家將會(huì)看到的就是初等幾何的瑰寶：
推論：三角形的垂心、重心和外心共線，且重心在垂心和外心連線的三等分點(diǎn)處。
證明：把 AM 和 HO 的交點(diǎn)記作 X 。剛才我們已經(jīng)證明了， AH 與 OM 平行，且長度之比為 2:1 。因此， △AHX 和 △MOX 相似，相似比為 2:1 。由此可知， HX:XO = 2:1 ，即 X 在線段 HO 的三等分點(diǎn)處。另外， AX:XM = 2:1 ，也就是說 X 在三角形中線 AM 的 2:1 處。這說明， X 正是三角形的重心！
任意給定一個(gè)三角形，它的垂心、重心和外心三點(diǎn)共線，且重心將垂心和外心的連線分成 1:2 兩段。這個(gè)美妙的結(jié)論是大數(shù)學(xué)家 Euler 在 1765 年時(shí)發(fā)現(xiàn)的，它是眾多“Euler 定理”的其中之一。
說到 Euler 定理，九點(diǎn)圓是不能不提的；不過由于篇幅有限，也就到這兒為止了。垂心的性質(zhì)還有很多，很難在一篇文章里把它們講完。而且，這還僅僅是與垂心相關(guān)的定理，三角形中的心還有很多很多。1994 年，美國數(shù)學(xué)教授 Clark Kimberling 開始收集歷史上被數(shù)學(xué)家們研究過的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全書”的網(wǎng)站。這個(gè)網(wǎng)站記錄了幾乎所有目前已知的三角形的心。在這部百科全書里，每個(gè)三角形的心都有一個(gè)編號，編號為 n 的心就用符號 X(n) 來表示，其中 X(1) 到 X(8) 分別為內(nèi)心、重心、外心、垂心、九點(diǎn)圓圓心、類似重心、 Gergonne 點(diǎn)和 Nagel 點(diǎn)。不但每個(gè)心都有自己獨(dú)特的幾何性質(zhì)，各個(gè)心之間還有大量共線、共圓的關(guān)系。
這個(gè)網(wǎng)站的地址是：
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 。
目前，整個(gè)網(wǎng)站已經(jīng)收集了 3000 多個(gè)三角形的心，且這個(gè)數(shù)目還在不斷增加。
* 來源：Matrix67博客
