摘要：解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)是尋求解決數(shù)學(xué)問題方法的一種心理活動(dòng)，是一種高級(jí)形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)解題認(rèn)識(shí)觀。數(shù)學(xué)的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成，“理解題意和解題回顧”是數(shù)學(xué)解題有意義學(xué)習(xí)的最重要環(huán)節(jié)。
關(guān)鍵詞：有意義學(xué)習(xí)；發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)；解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)；解題知識(shí)塊；解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)
1．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的基本認(rèn)識(shí)觀
1．1 “嘗試錯(cuò)誤式”與“頓悟式”解決問題
關(guān)于解決問題的心理學(xué)見解，行為主義心理學(xué)派傾向于用“嘗試錯(cuò)誤”來解釋問題的解決，認(rèn)知心理學(xué)派則傾向于用“頓悟”來解釋問題的解決。所謂“嘗試錯(cuò)誤武”解決問題，就是在遇到新的陌生問題時(shí)，學(xué)習(xí)者將自己經(jīng)驗(yàn)中與新問題有關(guān)的材抖(有關(guān)的知識(shí)，有關(guān)的問題類型和有關(guān)的方法)集中起來做出嘗試，或者按照新問題與熟悉問題的相同成分做出嘗試，或者按照新問題的情境與過去遇到的情境的相似方面做出嘗試，如果嘗試失敗，就進(jìn)行新的嘗試，從積累的全部經(jīng)驗(yàn)中做出一個(gè)又一個(gè)嘗試，直到問題解決?！皣L試錯(cuò)誤式”解決問題是以“嘗試一錯(cuò)誤一再嘗試……”的方式進(jìn)行，直到“碰巧成功”，其中雖也有與過去經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系的成分，但主要還是盲目的無定向過程。所謂“頓悟式”解決問題，是指在遇到新的陌生問題時(shí)，學(xué)習(xí)者按照一定的“心向”致力于發(fā)現(xiàn)問題條件與目標(biāo)之間在意義上的聯(lián)系，并努力發(fā)現(xiàn)新問題與自己擁有的解題手段之間在意義上的聯(lián)系，一旦發(fā)現(xiàn)這種意義上的聯(lián)系，頓悟就產(chǎn)生了。不過“頓悟”說的難圓其說在于，其所謂的“一旦發(fā)現(xiàn)”比較玄妙，尤如從天而降?！邦D悟式”的積極意義在于其比較注意重組情境的認(rèn)知成分，這與現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的“問題表征方式轉(zhuǎn)變理論”強(qiáng)調(diào)對(duì)問題意義的理解和表征較為接近。后一理論揭示，人在解決問題時(shí)，往往根據(jù)問題本身的提示來表征問題，并在相應(yīng)的問題空間中進(jìn)行搜索。在這個(gè)問題空間中，潛在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中發(fā)現(xiàn)“對(duì)等性”表征，頓悟就產(chǎn)生了。顯然這個(gè)“搜索”的過程不能排除“試誤”的成分。這兩種解決問題的方式的本質(zhì)差異在于：“嘗試錯(cuò)誤式”的解決問題，傾向于從問題的表面形式出發(fā)做出反應(yīng)；“頓悟式”解決問題，是傾向于從問題的實(shí)質(zhì)意義出發(fā)做出反應(yīng)?！皣L試錯(cuò)誤式”對(duì)解決問題的描述，其實(shí)并非不符合人的實(shí)際解題探索過程，關(guān)于這點(diǎn)認(rèn)知學(xué)派也并不反對(duì)。但“嘗試錯(cuò)誤式”解題的要害在于，學(xué)習(xí)者即使擁有解決新問題的各方面經(jīng)驗(yàn)，也并不能保證能用這些經(jīng)驗(yàn)去解決新問題，很可能是問題用某一種方式提出，學(xué)習(xí)者能夠解決。然而因?yàn)闆]有發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的方法之間意義上的聯(lián)系，于是當(dāng)同一問題改用另一方式提出時(shí)，盡管所需要的舊經(jīng)驗(yàn)是一樣的，但學(xué)習(xí)者會(huì)因?yàn)檎也坏脚c舊經(jīng)驗(yàn)意義上的聯(lián)系而束手無策。這也正是當(dāng)前中學(xué)生所普遍存在的，在大量訓(xùn)練以后仍然不能有效解決問題的本質(zhì)原因之所在。實(shí)際上，沒有絕對(duì)的“嘗試錯(cuò)誤”，也沒有絕對(duì)的“頓悟”?！皣L試錯(cuò)誤式”解決問題中，在經(jīng)過了多次嘗試以后，往往由于忽然發(fā)現(xiàn)了新問題與舊經(jīng)驗(yàn)之間意義上的聯(lián)系，而得到了問題的解決。盡管這種意義上的聯(lián)系是被動(dòng)的發(fā)現(xiàn)，不是主動(dòng)追求的結(jié)果，但這其中不能排除“頓悟”的成分。另一方面，“頓悟式”解決問題，表面上看去解答是突然出現(xiàn)的，事實(shí)上卻是經(jīng)歷了一定的、甚至相當(dāng)曲折的過程，很難否認(rèn)其中也有“嘗試錯(cuò)誤”的成分。所以，表面上看不出是“嘗試錯(cuò)誤”的過程，也未必就是純粹“頓悟式”的解決。
1．2 數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)
上述分析表明，在解題學(xué)習(xí)中，無論“嘗試錯(cuò)誤式”解題，還是“頓悟式”解題，都必然要與學(xué)習(xí)者已有的解題經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，只是在“聯(lián)系”的水平上存在差異(表面形式上的、意義上的)。換句話說，學(xué)習(xí)者在解決問題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)要在新問題與舊經(jīng)驗(yàn)之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系。因此根據(jù)有意義學(xué)習(xí)的理論[1]，有理由認(rèn)為數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是：學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)新問題與自己解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)之間，建構(gòu)起非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。學(xué)習(xí)者的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中除了包括已有的解題經(jīng)驗(yàn)以外，還包含有影響數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的其他因素。數(shù)學(xué)解題作為有意義學(xué)習(xí)的過程，包含著新舊知識(shí)的同化與順應(yīng)，新舊問題意義的同化與順應(yīng)，新舊解題方法的同化與順應(yīng)，新舊解題策略的同化與順應(yīng)等。所謂數(shù)學(xué)有意義的解題學(xué)習(xí)，也就是在所有這些新舊兩方面之間，建構(gòu)起非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系的過程。要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)，首先是新問題對(duì)學(xué)習(xí)者是否具有潛在的意義，也就是新問題所涉及的知識(shí)、方法、策略和思想應(yīng)是學(xué)習(xí)者已經(jīng)獲得意義的，已經(jīng)儲(chǔ)存在學(xué)習(xí)者解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的。其次，學(xué)習(xí)者要運(yùn)用達(dá)到一定水平的一般思維動(dòng)作和數(shù)學(xué)特殊思維動(dòng)作，將數(shù)學(xué)新問題與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)方面的“切合性”做出識(shí)別。再次，學(xué)習(xí)者在新問題涉及的知識(shí)、類型、方法、策略、思想與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)方面建構(gòu)起非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，那么在問題得到解決的同時(shí)，原有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)也得到了改組和重構(gòu)。目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，比較普遍的情況是教師提供的問題對(duì)學(xué)生常常不具有潛在意義，他們往往在新知識(shí)初次教學(xué)以后，就把升學(xué)要求的問題甚至是競(jìng)賽水平的問題拿給學(xué)生去做，這時(shí)學(xué)生不僅對(duì)新知識(shí)的同化過程還沒完成，新知識(shí)的意義還沒真正獲得，而且就新問題涉及的策略、思想、方法等而言，學(xué)生的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可與之建立非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的已有策略、思想、方法極少或者沒有，因而學(xué)生在這樣的解題中根本無法實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)。強(qiáng)行而為之，只能是機(jī)械學(xué)習(xí)。
1.3 數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)
如果數(shù)學(xué)知識(shí)可以通過有意義的接受學(xué)習(xí)來獲得意義的話，那么數(shù)學(xué)解題則不可能通過接受學(xué)習(xí)來獲得意義，即數(shù)學(xué)解題的各種方法、技巧、模型、策略和思想，不可能靠教師講解幾個(gè)例題。把問題的現(xiàn)成解法呈現(xiàn)給學(xué)生，然后學(xué)生進(jìn)行積極的“同化”就可以獲得意義，就可以依葫蘆畫瓢地解決所有的問題。這種解題學(xué)習(xí)只能是機(jī)械模仿，只能應(yīng)付一些定式的常規(guī)問題。數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)最有效的方法是“在解題中學(xué)習(xí)解題”，即在盡可能不提供現(xiàn)成結(jié)論的前提下，親自獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，從中學(xué)習(xí)解題，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，哪怕解題最終沒有到底，也會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，有所體驗(yàn)。因此數(shù)學(xué)的解題學(xué)習(xí)主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是一個(gè)解題經(jīng)驗(yàn)積累的過程，其中包括了各類“解題策略經(jīng)驗(yàn)”、“問題策略經(jīng)驗(yàn)”以及各種“方法和技巧性經(jīng)驗(yàn)”。解題策略經(jīng)驗(yàn)包括有意向性策略、合情推理策略和數(shù)學(xué)思想策略。問題策略經(jīng)驗(yàn)是關(guān)于一些典型問題的類型及其解決的基本方法。這也是今后解題聯(lián)想的基礎(chǔ)。
但是這些方面經(jīng)驗(yàn)不是依賴于記憶教師或者別人的傳授，“經(jīng)驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)”，不“經(jīng)”何能有“驗(yàn)”?沒有親身經(jīng)歷就不可能獲得經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)問題的解決往往在“一念之間”，這“一念”一旦點(diǎn)破，問題迎刃而解，這是數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一個(gè)極為特殊之處。根本的問題是，這“一念”是由別人點(diǎn)破，還是自己攻破?別人點(diǎn)破則毫無價(jià)值，自己攻破對(duì)解題學(xué)習(xí)才有積極意義。數(shù)學(xué)解題的學(xué)習(xí)就是要練就這種“點(diǎn)石成金”之功，然而數(shù)學(xué)解題的“點(diǎn)石成金”之功，基本不是被教會(huì)的，而是獨(dú)立感悟出來的，是在長(zhǎng)期的親身實(shí)踐中積極探索、努力發(fā)現(xiàn)、不斷概括、逐步積累才能獲得的。這無疑是一種典型的有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程。大凡解題能力較強(qiáng)的人，遇到稍難一點(diǎn)的問題絕不急于看解答，而是必先自己獨(dú)立地作一番研究直至解決，正是說明了這個(gè)道理。這樣形成的經(jīng)驗(yàn)才可能有較強(qiáng)的和廣泛的遷移性。所以解題經(jīng)驗(yàn)的獲得和積累必須通過有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)才能實(shí)現(xiàn)，而對(duì)問題條件和結(jié)論的理解才可能與有意義的接受學(xué)習(xí)有關(guān)。
2. 數(shù)學(xué)題解學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
由于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，所以按照有意義學(xué)習(xí)理論，必然是，解題者已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)整個(gè)解決問題的過程起著決定性的作用。那么解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)是怎樣構(gòu)成的呢?
2.1 數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成。它是人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分，也可看作是人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)。
2.1.1 解題的知識(shí)結(jié)構(gòu)
任何數(shù)學(xué)的解題活動(dòng)都與一定的知識(shí)背景相聯(lián)系。解決數(shù)學(xué)問題就要辨別問題、分析條件，這必然涉及數(shù)學(xué)有關(guān)的概念、定理、法則、公式等。這些知識(shí)是任何探索技能所不能代替的。因此，解題的一個(gè)必要前提就是解題者要擁有一個(gè)組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本。良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這甚至比知識(shí)的廣泛更為重要……，把你記憶里的知識(shí)安放得有條不紊只會(huì)對(duì)你有更多的幫助。”[2]可見組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)十分重要。組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，應(yīng)該豐富而廣博，并按一定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組織得高度分化和綜合貫通，這有利于在數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容與適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)之間建立非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。所謂解題知識(shí)塊[3]，就是將已解過的問題類型及其解決方法以形成整體、構(gòu)成一定的“知識(shí)塊”來掌握和儲(chǔ)存。象棋大師與常人相比，重要的區(qū)別在于，在象棋的布局和行棋方面，他們的頭腦里貯存著大量的行棋“知識(shí)塊”一一關(guān)于棋子各種布局的整體知識(shí)。于是對(duì)弈時(shí)一旦出現(xiàn)一種布局可以納入他的某一知識(shí)塊時(shí)，對(duì)以后的每一步行棋，他就了如指掌了。在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，也有一個(gè)“數(shù)學(xué)知識(shí)塊”和“解題知識(shí)塊”貯存的問題。數(shù)學(xué)知識(shí)和解題知識(shí)“整塊”地貯存，有利于知識(shí)的運(yùn)用，有利于解題能力的提高，這種“知識(shí)塊”越大、越多，解決數(shù)學(xué)問題的能力就越強(qiáng)。例如，關(guān)于“三角函數(shù)大小與角的取值范圍”的知識(shí)塊，關(guān)于“函數(shù)及其圖像、方程及其曲線的初等變換”的知識(shí)塊，關(guān)于“直線的平行、垂直與直線抽象表達(dá)形式”的知識(shí)塊等。每個(gè)解題知識(shí)塊都包括：?jiǎn)栴}的類型、基本數(shù)學(xué)模式、基本問題、一般的方法和特殊的技巧等。
2.1.2 解題知識(shí)塊的形成
形成數(shù)學(xué)的解題知識(shí)塊有兩種基本方式。第一種方式是按照“歸類”的方式形成解題知識(shí)塊。人們?cè)谶^去的實(shí)踐中所獲得的知
識(shí)，在頭腦里往往是“歸類”貯存的。在面對(duì)一個(gè)問題時(shí)，總是遵循一個(gè)基本模式：先確定“類別”，即把當(dāng)前的問題歸結(jié)為先前已經(jīng)認(rèn)識(shí)的某一“類型”，進(jìn)而借助這種“歸類”，把貯在人腦里的關(guān)于這一類型問題的知識(shí)調(diào)動(dòng)起來，從而為解決當(dāng)前的問題提供必要的基礎(chǔ)[3]。因此，形成“解題知識(shí)塊”就歸結(jié)為：我們應(yīng)當(dāng)如何去對(duì)已解決的問題歸類?對(duì)此?？梢圆杉{波利亞的建議：按問題關(guān)鍵事實(shí)歸類(如判定定理)；按具有相同未知量或已知量對(duì)問題歸類；接具有相同結(jié)論對(duì)問題歸類；按具有相同方法對(duì)問題歸類；按共同的思維模式對(duì)問題歸類；按數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)問題歸類[2]。“歸類”而形成的“解題知識(shí)塊”有利于解題中在新舊兩方面建立非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，也有利于對(duì)新問題“歸類”。第二種是對(duì)每一類數(shù)學(xué)問題都盡可能地形成一種或幾種“解題模式”。尤如每個(gè)乒乓球
運(yùn)動(dòng)員各自都形成了許多“成套的技術(shù)動(dòng)作”一樣。比如，“發(fā)球搶攻”有一套技術(shù)動(dòng)作，“對(duì)付下旋球”也有一套技術(shù)動(dòng)作，“對(duì)付上旋球”又有一套技術(shù)動(dòng)作等等。動(dòng)作套路越多、越熟練，技術(shù)就越全面、越精湛，就越能克敵制勝。數(shù)學(xué)解題也是如此，解題者掌握的解題模式越多，掌握模式的解決方法越多、越熟練，那么解決數(shù)學(xué)問題的能力就越強(qiáng)。因此，根據(jù)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)主要是學(xué)習(xí)“啟發(fā)性模式和方法”的思想[2]?？梢园凑铡皢栴}的探究策略”形成解題知識(shí)塊。例如：“將問題特殊化”的探究策略模式；“將問題一般化”的探究策略模式；“不完全歸納”的探究策略模式；“完全歸納(分類討論)”的探究策略模式；“尋找或設(shè)計(jì)反例”的探究策略模式；“等價(jià)或不等價(jià)轉(zhuǎn)化”的探究策略模式；“數(shù)形結(jié)合”的探究策略模式；“類比聯(lián)想”的探究策略模式；“建立數(shù)學(xué)模型”的探究策略模式等。按照“問題的探究策略”形成的解題知識(shí)塊有利干有效地對(duì)新問題進(jìn)行“模式識(shí)別”。
2.2 數(shù)學(xué)解題的思維結(jié)構(gòu)
解題者對(duì)一般思維動(dòng)作和數(shù)學(xué)特殊思維動(dòng)作掌握的情況和運(yùn)用的水平,往往直接影響數(shù)學(xué)解題中各種思維模式的運(yùn)用。一般思維動(dòng)作是指各個(gè)學(xué)科都使用的思維動(dòng)作。包括：分析、綜合、比較、類比、抽象、概括、一般化、特殊化、猜想、驗(yàn)證等等；數(shù)學(xué)的特殊思維動(dòng)作主要用于數(shù)學(xué)活動(dòng)領(lǐng)域，包括：心理操作性的，方法技巧性的，策略定向性的，思想觀念性的。解題的過程中最基本的心理操作是歸入概念、推出性質(zhì)、重新理解[4]、模式識(shí)別[5]。歸入概念，是把問題中的一些特征加以適當(dāng)組織而歸為某一個(gè)數(shù)學(xué)概念；推出性質(zhì)，是由問題中涉及的概念或新歸入的概念，推出該概念具有的各個(gè)性質(zhì)；重新理解，則是根據(jù)新歸入的概念和新推出的性質(zhì)對(duì)問題的整體或部分做出新的理解和認(rèn)識(shí)；模式識(shí)別，則是根據(jù)問題對(duì)象的視覺組合結(jié)構(gòu)、概念特征結(jié)構(gòu)、關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，將問題納入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模式之中。當(dāng)面臨一個(gè)問題時(shí)，有時(shí)從某一具體的數(shù)學(xué)思想出發(fā)，決定了探索解法的方向，比如根據(jù)函數(shù)的思想決定要建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，這使用的是屬于思想觀念性的思維動(dòng)作；然后，是用類比還是用歸納去建立這個(gè)目標(biāo)函數(shù)，則是策略定向性思維動(dòng)作在發(fā)揮作用；找到目標(biāo)函數(shù)以后，還要更加具體地研究函數(shù)的定義域、值域，或者反函數(shù)、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等，這時(shí)則是使用方法技巧性思維動(dòng)作。顯然，其中每一種教學(xué)的特殊思維動(dòng)作的運(yùn)用無不需要一般思維動(dòng)作的幫助，沒有一般思維動(dòng)作的運(yùn)用，就無法對(duì)每一步數(shù)學(xué)的特殊思維動(dòng)作做出正確的選擇。
2.3 數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)
篇幅所限,另文闡述。
3. 數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的兩個(gè)最重要環(huán)節(jié)
一般地說，在G.波利亞著名的“4 階段數(shù)學(xué)解題表”[4]中,往往最受重視的是“制定解題計(jì)劃”階段,然而就“學(xué)習(xí)解題”而言,最重要的應(yīng)該是“理解題意”階段和“解題回顧”階段,它們是最終學(xué)會(huì)制定解題計(jì)劃的前提和基礎(chǔ)。從表面上看，學(xué)生不會(huì)解題是在制定解題計(jì)劃上出了問題,實(shí)質(zhì)是沒有在“理解題意”和“解題回顧”上下功夫的結(jié)果。在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中,學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題,而是學(xué)習(xí)解題,因此教師教的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)的重點(diǎn),不在于“解”而在于“學(xué)解”。以“解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重的是解題的結(jié)果；以“學(xué)解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重的則是解題的過程。無論是理解題意的學(xué)習(xí)、制定解題計(jì)劃的學(xué)習(xí)，還是實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃的學(xué)習(xí)，一個(gè)十分重要的途徑是從“解題回顧”中來學(xué)，也就是從解題后的反思中來學(xué)[7].
3.1 “理解問題”是解題學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)
解題第一位的無疑是理解問題，但它卻往往被學(xué)習(xí)者所忽視。比較普遍的情況是,匆匆讀題以后就急于下手，實(shí)際上這時(shí)對(duì)問題的意義、涉及的概念、相關(guān)的知識(shí)都不甚了解。解題的結(jié)局可想而知。一位數(shù)學(xué)家說過，善于解題的人用一半時(shí)間來理解問題，只用另一半時(shí)間完成解答，可見理解題意在解題中地位之重要。一般說，理解問題有兩個(gè)層面：一個(gè)是對(duì)問題的表層理解，指解題者逐字逐句讀懂描述問題的句子，讀懂的標(biāo)志是他能用自己的語言重述問題，實(shí)際上是把問題中的每一陳述能變成解題者內(nèi)部的心理表征；另一個(gè)是對(duì)問題的深層理解，指在問題表層理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步把問題的每一陳述綜合成條件、目標(biāo)統(tǒng)一的心理表征。問題的深層理解，需要根據(jù)對(duì)各種類型問題一般特征的概括和當(dāng)前問題的基本特征，利用解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)慕忸}知識(shí)塊，才能識(shí)別問題的類型。問題表征有各種各樣的方式，例如布魯納認(rèn)為有動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征三種基本的表征模式[8]。每一形式的表征依賴于個(gè)體不同的知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))，而且可引出不同的知識(shí)和策略，導(dǎo)致產(chǎn)生不同的解法(例如2001 年高考14 題。形象思維類型一一圖像表征解法。抽象思維類型一一符號(hào)表征解法)。人們?cè)诮獯饛?fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)，并不是只靠單一形式的表征，往往是選用幾種或幾種的組合形式來表述問題(上述相應(yīng)的圖像與符號(hào)表征相結(jié)合的解法)，直至最后解出。對(duì)于某一特定的數(shù)學(xué)問題而言，在若干的表征之中，可能某一種方式的表征比其他形式的表征更有效。因?yàn)椴煌碚髂芗せ铋L(zhǎng)時(shí)記憶中的不同事實(shí)和程序，其結(jié)果會(huì)直接影響到解題成功與失敗。
問題表征階段的結(jié)果主要有兩種。第一種，如果對(duì)問題的表征能促使聯(lián)想起一個(gè)有效的解題知識(shí)塊，那這種表征就完成了問題的解決。這種表征使得問題得到了重新組織或重新歸類，從而聯(lián)想起了一個(gè)可行的解決方案，也就是這種表征激活了一個(gè)適當(dāng)?shù)慕忸}知識(shí)塊，解決方案躍然而出。在某種意義上說，這實(shí)際并沒有真正解決一個(gè)新問題，而只是再認(rèn)了一個(gè)由舊問題喬裝打扮而成的新問題而已。這種對(duì)問題的表征，實(shí)際是將新的問題情境與頭腦中解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)方面建構(gòu)起了非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。第二種，如果并沒有一個(gè)現(xiàn)成的解題知識(shí)塊能被聯(lián)想起來成為有效的解答方案，那么就得遵循探求解答的“嘗試+頓悟”的路線去探索，當(dāng)然，這條路徑可能充滿艱辛和坎坷，但有時(shí)卻是唯一的路，一條創(chuàng)新發(fā)明的路，一條可以獲得“點(diǎn)石成金”之功的路。按信息論的觀點(diǎn)，理解題意就是從問題的情境中“如何獲取信息”和“如何加工信息”?！袄斫忸}意”的第一步是從題意中獲取信息，獲取信息的主要方法是檢索信息的搜索信息。檢索就是分檢、辨析，就是對(duì)眾多的信息加以區(qū)分和辨認(rèn)。搜索則是抽取、捕捉，就是抽取和捕捉閃爍于題設(shè)字里行間的不很明確的信息。在檢索和搜索信息的過程中，每一個(gè)名詞符號(hào)都是信息，每一句語義都是信息，所涉及的各種對(duì)象之間的關(guān)系也是信息，要真正弄清它們的意義，就要辨認(rèn)哪些信息是自己熟悉的，哪些信息是自己所知道但不很明了的，哪些信息是自己不明白的。尤其注意不要被信息的表面形式所迷惑，對(duì)熟悉的信息要展開廣泛的聯(lián)想，不要遺漏信息的每一種含義，對(duì)不很明了或不明白的信息，屬于概念性知識(shí)性的，要重溫課本、鉆研教材、分析原因；屬于問題本身新出現(xiàn)的名詞概念，要反復(fù)閱讀問題，深入鉆研問題內(nèi)容，發(fā)掘新名詞概念的含義。加工信息，就是以發(fā)散性加工或收斂性加工的方式解釋、組織和轉(zhuǎn)化信息。數(shù)學(xué)問題
一般都以十分嚴(yán)謹(jǐn)而精煉的數(shù)學(xué)語言表述，因此解釋信息，就成為理解題意的一項(xiàng)非常重要的工作。首先要用自己的語言重述問題，即用自己熟悉的方式對(duì)問題重新編碼，使得許多問題成分變?yōu)樽约菏煜さ男畔??！敖M織信息”就是將獲取的信息重新加以組合，常常是按照原來的信息組織并不能看出其中對(duì)解題有價(jià)值的聯(lián)系，而重新組合以后，一些有價(jià)值的聯(lián)系就變得一目了然?！稗D(zhuǎn)化信息”就是對(duì)信息進(jìn)行變形、改造，因?yàn)轭}設(shè)中有的信息并不能直接用來解決問題，必須轉(zhuǎn)化成新的信息才能成為達(dá)到問題目標(biāo)的有價(jià)值的信息。
3.2 “解題回顧”是數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)最重要環(huán)節(jié)
由于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)，因此良好的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)是至關(guān)重要的。雖然良好的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期的解題實(shí)踐中逐步形成和發(fā)展，但是大多是在不知不覺中，在潛移默化中被動(dòng)地進(jìn)行。元認(rèn)知理論告訴我們，作為數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)，必須要使形成良好解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程成為學(xué)習(xí)者主動(dòng)自覺的過程。解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和改造有三大環(huán)節(jié)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)、解題實(shí)踐活動(dòng)和策略經(jīng)驗(yàn)積累，其中策略經(jīng)驗(yàn)的積累在解題學(xué)習(xí)中最為重要，教師應(yīng)該不但要指導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，更要教會(huì)學(xué)生如何積累解題經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)榇蟛糠值慕忸}活動(dòng)都是學(xué)生自己獨(dú)立進(jìn)行，學(xué)生如果不能學(xué)會(huì)自己主動(dòng)而有效地積累解題經(jīng)驗(yàn)，就不可能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。解題策略經(jīng)驗(yàn)的積累主要在解題活動(dòng)的最后一個(gè)階段——“解題回顧”的過程中獲得。對(duì)于“學(xué)習(xí)解題”而言，學(xué)生完成了解題過程，并不意味一次“解題學(xué)習(xí)”活動(dòng)的結(jié)束，對(duì)解題的真正學(xué)習(xí)是“解題回顧”。這如同知識(shí)獲得的保持階段一樣，它是解題學(xué)習(xí)的“保持階段”。在這一階段，新舊兩方面，包括相關(guān)知識(shí)、問題意義、解題方法、思考策略等意義的同化還在繼續(xù)，新舊兩方面非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系還在繼續(xù)強(qiáng)化，這一過程使知識(shí)更加鞏固，方法更加熟練，思想和策略更加分化和綜合貫通，從而達(dá)到獲得新的解題策略、思想、方法的心理意義，整個(gè)解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步重構(gòu)和完善。解題回顧的過程中，不僅要回顧有關(guān)知識(shí)、解題方法以及理解題意的過程，而且更要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等。久而久之就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)。這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，有的是解題的策略。有的是解題的元認(rèn)知知識(shí)，它們都是今后解題的行動(dòng)指南。在題海戰(zhàn)術(shù)教學(xué)中，學(xué)生是馬不停蹄地做題，教師教學(xué)中幾乎沒有真正意義上的解題回顧，學(xué)生就更不知道需要和如何解題回顧，何況面對(duì)排山倒海而來的題目，連完成做題的時(shí)間都不夠，哪有時(shí)間來解題回顧。所以在教學(xué)中，不妨借鑒“時(shí)間等待”理論的思想，提倡一定要留出充分的時(shí)間讓學(xué)生把“解題回顧”完成。古人云：工欲善其事，必先利其器。解題回顧就是磨礪解題武器的過程，它所起到的舉一反三的作用，勝過做十道題。
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