在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常有這樣的現(xiàn)象：以往的學(xué)習(xí)對(duì)新學(xué)習(xí)會(huì)出現(xiàn)影響。這種影響有的是起促進(jìn)作用，有的是起干擾作用。這種影響作用就是遷移。
所謂遷移，就是指一種知識(shí)、技能，甚至于方法和態(tài)度的學(xué)習(xí)對(duì)另一種知識(shí)、技能、方法、態(tài)度的學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。
例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了分式方程的解法后，回過(guò)頭來(lái)進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)時(shí)，往往在化簡(jiǎn)分式中把分式的分母無(wú)端地去掉了。事實(shí)上，這是分式方程的解法對(duì)分式運(yùn)算方法學(xué)習(xí)的遷移。
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遷移現(xiàn)象是普遍存在的。如何利用遷移這一學(xué)習(xí)規(guī)律來(lái)促進(jìn)學(xué)習(xí)，這是我們必須注意的問(wèn)題。這里，主要討論遷移規(guī)律對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，以及怎樣利用遷移規(guī)律使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到良好的效果。
一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的類型
按不同的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移有不同的分類。
1．按遷移的效果來(lái)分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為正遷移與負(fù)遷移。
正遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起促進(jìn)作用的遷移。例如，長(zhǎng)方形的性質(zhì)學(xué)習(xí)，對(duì)長(zhǎng)方體的性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移就是正遷移。事實(shí)上，設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為a、b，對(duì)角線長(zhǎng)為x，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別為a、b、c，對(duì)角線長(zhǎng)為y，那么有
由于上述的長(zhǎng)方形性質(zhì)與長(zhǎng)方體性質(zhì)之間存在著類似之處，因此，使長(zhǎng)方形的知識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)長(zhǎng)方體的知識(shí)學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移。
正遷移現(xiàn)象使學(xué)習(xí)過(guò)程變得容易、經(jīng)濟(jì)、高效率。
負(fù)遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到干擾或阻礙作用的遷移。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，常常受到乘法分配律的干擾，出現(xiàn)了
lg(a＋b)=lga＋lgb，
同樣的，乘法分配律還會(huì)影響到和差的三角函數(shù)學(xué)習(xí)上，出現(xiàn)了
sin(α＋β)=sinα＋sinβ，
cos(α＋β)=cosα＋cosβ。
上述這種干擾現(xiàn)象是負(fù)遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)。
2．按遷移的方向分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為順向遷移和逆向遷移。
順向遷移是指過(guò)去學(xué)習(xí)對(duì)后繼學(xué)習(xí)的遷移。例如，平行線的性質(zhì)學(xué)習(xí)對(duì)空間平行平面性質(zhì)的學(xué)習(xí)是順向遷移。
逆向遷移是指后繼學(xué)習(xí)對(duì)已往學(xué)習(xí)的遷移。例如，我們前面提到的分式方程解法學(xué)習(xí)對(duì)分式化簡(jiǎn)的學(xué)習(xí)遷移，就是逆向遷移。
3．按特殊性與一般性分，數(shù)學(xué)遷移又可分為特殊遷移與一般遷移。
特殊遷移是指一種特殊性學(xué)習(xí)對(duì)另一種特殊性學(xué)習(xí)的遷移。例如，正弦函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)對(duì)余弦函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移是特殊遷移。
一般遷移是指從原理、態(tài)度、方法到另一原理、態(tài)度、方法的遷移。例如，數(shù)的運(yùn)算定律對(duì)代數(shù)式運(yùn)算定律的遷移就是一般性遷移。
4．按遷移前后知識(shí)水平分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為垂直遷移(縱向遷移)和水平遷移(橫向遷移)。
垂直遷移是指遷移的前后兩種學(xué)習(xí)內(nèi)容屬于不同水平的遷移。例如，學(xué)習(xí)數(shù)的整除性理論對(duì)學(xué)習(xí)多項(xiàng)式整除性理論的遷移就是一種上升性的垂直遷移。
水平遷移是指遷移的前后兩種學(xué)習(xí)內(nèi)容屬于同一水平的遷移。例如，等差數(shù)列性質(zhì)學(xué)習(xí)對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移就是水平遷移。
二、遷移規(guī)律及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用
在學(xué)習(xí)遷移的規(guī)律中，無(wú)論哪一類型的遷移，都存在著正、負(fù)遷移現(xiàn)象。因此，學(xué)習(xí)中的正遷移與負(fù)遷移是學(xué)習(xí)遷移的核心內(nèi)容。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)遷移的利用，也主要是對(duì)正遷移的利用；對(duì)遷移的防止與克服，也主要是對(duì)負(fù)遷移的防止與克服。只存這樣，才能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。下面我們主要從上述的這兩種遷移規(guī)律來(lái)研究在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)遷移規(guī)律的利用。
1．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與遷移。
由于遷移現(xiàn)象與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移起積極作用。
(1)概念對(duì)遷移的影響。
在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)概念正確與否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移具有重要的意義。概念建構(gòu)得正確，對(duì)新概念的學(xué)習(xí)可以產(chǎn)生影響。例如，通分概念對(duì)后來(lái)的分式運(yùn)算具有遷移作用。又如，算術(shù)根概念也對(duì)有關(guān)算術(shù)根運(yùn)算的學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移。
這個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程中實(shí)際上由于算術(shù)根概念的不清而產(chǎn)生的負(fù)遷移現(xiàn)象。
如果學(xué)生算術(shù)根概念正確，那么他會(huì)進(jìn)行如下的化簡(jiǎn)過(guò)程：
(i)當(dāng)a+b≥0時(shí)，
(ii)當(dāng)a＋b＜0時(shí)，
在這一化簡(jiǎn)過(guò)程中表現(xiàn)出算術(shù)根概念對(duì)根式化簡(jiǎn)運(yùn)算學(xué)習(xí)的正遷移效果。
(2)認(rèn)知結(jié)構(gòu)混亂帶來(lái)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移。
這里，實(shí)際上是在他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中把實(shí)數(shù)集上的根式性質(zhì)與復(fù)數(shù)集上的根式性質(zhì)混淆在一起造成了負(fù)遷移。事實(shí)上，其正確解法應(yīng)為
2．學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與遷移。
學(xué)習(xí)方法很多，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法中，有一種方法是類比法。它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有時(shí)是很奏效的。經(jīng)常地進(jìn)行類比，容易形成遷移的態(tài)勢(shì)。
例如，若數(shù)列a1，a2，…，an，…為公差是d的等差數(shù)列，求數(shù)列
如果學(xué)生在學(xué)習(xí)上有一種類比的習(xí)慣，他就馬上想起已往學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)列
的前n項(xiàng)求和來(lái)。當(dāng)時(shí)是利用拆項(xiàng)辦法，即
他馬上把這個(gè)結(jié)果遷移到上面的新的數(shù)列前n項(xiàng)求和中來(lái)，得
上述的學(xué)習(xí)遷移是垂直上升性的正遷移。
3．教師的教學(xué)方法與學(xué)習(xí)遷移。
吳卓(H．Woodrow)1927年做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，證明教師在學(xué)習(xí)的指導(dǎo)方面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)遷移的作用。他讓被試者記憶若干種材料，作初次測(cè)試，然后根據(jù)初次測(cè)試結(jié)果，把被試學(xué)生分成三組，使各組平均能力相同。第一組為控制組，不加訓(xùn)練；第二組為練習(xí)組，給予材料讓他們記憶，但不加指導(dǎo)；第三組為指導(dǎo)組，不但進(jìn)行練習(xí)，而且以優(yōu)良的方法作詳細(xì)指導(dǎo)。練習(xí)組與指導(dǎo)組除所學(xué)材料相同外，學(xué)習(xí)的時(shí)數(shù)也相同。最后進(jìn)行記憶測(cè)試，比較前后兩次測(cè)試結(jié)果，發(fā)現(xiàn)練習(xí)組與指導(dǎo)組的成績(jī)中遷移量超過(guò)控制組；指導(dǎo)組的遷移量超過(guò)練習(xí)組10倍以上。實(shí)驗(yàn)表明：有指導(dǎo)的練習(xí)比無(wú)指導(dǎo)的練習(xí)遷移效果好。同樣，練習(xí)比不練習(xí)遷移效果好。
教師在教學(xué)上進(jìn)行正確的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移就顯著?？梢?jiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師指導(dǎo)在學(xué)習(xí)遷移上的重要作用。
4．思維定勢(shì)與學(xué)習(xí)遷移。
思維定勢(shì)是由人們長(zhǎng)期思維形成的一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)或思維習(xí)慣。這是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所必須注意到的思維性的學(xué)習(xí)規(guī)律。
思維定勢(shì)與學(xué)習(xí)遷移有著密切的關(guān)系。思維定勢(shì)既可以使學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移，也可以使學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移。思維定勢(shì)是客觀存在的，只要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過(guò)思維，總存在一定的思維定勢(shì)。我們應(yīng)該充分利用有利的思維定勢(shì)，使之用于學(xué)習(xí)上，形成正遷移，同時(shí)我們還要注意不利于學(xué)習(xí)的思維定勢(shì)，克服它對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的負(fù)遷移。
(1)充分利用思維定勢(shì)中有利于正遷移的方面，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
例如，求證lg2是無(wú)理數(shù)。
證明：設(shè)lg2為有理數(shù)，則
由對(duì)數(shù)定義，有
即 10p=2q，
而 10=2×5，
等式左邊含有素?cái)?shù)5的因數(shù)，而等式右邊沒(méi)有5的因數(shù)，這與算術(shù)基本定理矛盾，故有lg2為無(wú)理數(shù)。
(2)注意克服思維定勢(shì)中不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素，防止思維定勢(shì)產(chǎn)生的負(fù)遷移。
例如，解不等式組
由于學(xué)生的思維定勢(shì)：見(jiàn)到a總認(rèn)為a為正數(shù)，于是判定不等式組無(wú)解。事實(shí)上這個(gè)不等式組在某種情況下可能有解。在解這一不等式組時(shí)，必須對(duì)a分別情況加以討論：
(i)當(dāng)a＞0時(shí)，不等式組無(wú)解；
(ii)當(dāng)a=0時(shí)，不等式組無(wú)解；
(iii)當(dāng)a＜0時(shí)，不等式組的解為：
a＜x＜－a。
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