本文來(lái)源：《數(shù)學(xué)不了情》
作者：談祥柏
如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，那么，a2+b2=c2。公元前6世紀(jì)，古希臘杰出的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）首先從理論上證明了這個(gè)定理后，欣喜若狂，宰了100只牛來(lái)表示慶祝，因此這個(gè)定理又被人叫做“百牛定理”。不過(guò)，有些歷史學(xué)家不以為然，認(rèn)為不過(guò)是用面粉做了100頭牛作為貢品來(lái)酬謝神明而已。
在我國(guó)，有一部流傳下來(lái)的、最早的數(shù)學(xué)與天文著作。名叫《周髀算經(jīng)》，成書(shū)于公元前100年左右，即西漢時(shí)期。書(shū)中有一段記載商高（生活在公元前11世紀(jì)的人）回答周公的話(huà)“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意思是，如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊長(zhǎng)必定是5。書(shū)中還有一段陳子（公元前6世紀(jì)，周朝中期時(shí)人）答榮方問(wèn)，他說(shuō)：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日”。這就說(shuō)得更清楚了，如果用現(xiàn)代記法，便是
我國(guó)古代幾何學(xué)不但有悠久歷史和豐富內(nèi)容，而且具有自己獨(dú)特的風(fēng)格，我國(guó)古代幾何學(xué)的特色之一是從實(shí)踐中總結(jié)提高所形成的“出入相補(bǔ)”原理。一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變；把圖形分割成幾塊，則各部分面積之和等于原來(lái)圖形的面積。
三國(guó)時(shí)期魏人劉徽（公元3世紀(jì)）在注《九章算術(shù)》勾股術(shù)時(shí)說(shuō)：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)”。其意思就是將“出”的割下，補(bǔ)到“入的地方”，其余部分保留不動(dòng)（圖1顏色區(qū)域）。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾建議把“青朱出入圖”帶上宇宙飛船，讓外星人知道我們還能證明勾股弦定理，這是一個(gè)非常聰明的想法。
圖1 青朱出入圖
趙爽的“弦圖”，證法也極簡(jiǎn)單。如圖2所示，以弦c為一邊的正方形，含有4個(gè)以a和b為直角邊的直角三角形與一個(gè)以b-a為邊長(zhǎng)的小正方形，于是有
圖2 趙爽的“弦圖”
勾股定理的證明引起了古今中外許多人的興趣，尋找新的證明方法從來(lái)沒(méi)有間斷過(guò)。真是百花齊放，推陳出新，人人都想插上一手。有人聲稱(chēng)，3000年來(lái)，已經(jīng)找到了400多種不同證法，但這僅僅是極不完全的統(tǒng)計(jì)，無(wú)人知道確切數(shù)字。這些證明者中間，上至達(dá)官貴人，下及販夫走卒，包括各個(gè)階層的人物。在中國(guó)古代的“疇人”（數(shù)學(xué)家的別稱(chēng)，有一本名著叫《疇人傳》）中，知名者就有梅文鼎、項(xiàng)名達(dá)、楊作枚、李銳、陳杰、安清翹、何夢(mèng)瑤，華蘅芳等，大家都不甘示弱，各有各的證法。日本的和算圣人關(guān)孝和（1642~1708）在其專(zhuān)著《解見(jiàn)題之法》（1682年出版）中有圖證，據(jù)近人李潢考據(jù)，其方法與“青朱出入圖”大同小異。
號(hào)稱(chēng)趣味數(shù)學(xué)三大名家之一的英國(guó)人亨利?杜登尼（H.E.Dudeney,1857~1930）于1917年發(fā)表了一個(gè)勾股定理的“風(fēng)車(chē)證法”，只要在“股”上的正方形剪兩刀即可證出，可以看出，兩線(xiàn)的交點(diǎn)在正方形的中心，分別與“弦”平行或垂直，所得出的4個(gè)圖形完全一模一樣，非常美麗，而且對(duì)稱(chēng)（圖3）。
圖3 風(fēng)車(chē)證法
說(shuō)起對(duì)稱(chēng)，不能不提一提文藝復(fù)興時(shí)期的意大利大畫(huà)家達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci 1452-1519），他在歐幾里得《幾何原本》的插圖上，下各添加一個(gè)直角三角形（圖4），就不難看出六邊形ABHKJG與六邊形ACBDEF是縱橫合同的，前者軸對(duì)稱(chēng)（對(duì)稱(chēng)軸為GH），而后者中心對(duì)稱(chēng)（對(duì)稱(chēng)中心是弦上正方形的中心）。
圖4 畫(huà)家的巧妙證法
只要把兩個(gè)六邊形分別減去三角形ABC面積的兩倍，就能立即看出，兩條直角邊上小正方形面積之和等于斜邊上的大正方形面積。
旋轉(zhuǎn)變換與兩種對(duì)稱(chēng)性的巧妙結(jié)合，充分顯示了達(dá)芬奇這位大畫(huà)家的數(shù)學(xué)直覺(jué)與對(duì)稱(chēng)美感，令人由衷嘆服大師的超人想像力——?jiǎng)e人無(wú)論如何也不會(huì)想到六邊形?。?/p>
美利堅(jiān)合眾國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德（J.A. Garfied）對(duì)此定理也深感興趣，他在擔(dān)任眾議院議員時(shí)，曾在《新英格蘭數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表過(guò)一個(gè)極簡(jiǎn)單的證法，見(jiàn)圖5。
圖5 一位美國(guó)總統(tǒng)的證法
由圖立即看出AB平行CD，于是ABCD為梯形。從而根據(jù)梯形面積公式得出
整理簡(jiǎn)化后即得出 a2+b2=c2。
本文已經(jīng)寫(xiě)下不短，下面再來(lái)說(shuō)幾個(gè)作圖非常容易的證法。
圖6 面積證法
顯然極易證明△ADC與△CDB都同原來(lái)的直角三角形△ABC相似（圖6），于是根據(jù)有名的幾何定理：
“相似三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)邊的平方之比”，
設(shè)△ADC,△CBD,△ABC的面積分別為S?，S?，S?，則
由于
所以 a2+b2=c2，證明完畢。
在平面幾何這出大戲中，圓歷來(lái)都是當(dāng)主角的，它當(dāng)然不甘寂寞，也要來(lái)表演一番。
由相交弦定理（圖7），得
圖7 相交弦定理
由于CB=CE，故有
所以
由于△ABC是直角三角形，當(dāng)然存在著外接圓，現(xiàn)在把他作出來(lái)，見(jiàn)圖8，AB為直徑。
圖8 利用托勒密定理的證法
顯然，BD=AC，AD=BC,CD=AB。
托勒密（ptolemy）定理告訴我們
把等量代人，立即得出
另外，平面三角形中最重要的恒等式
其實(shí)也不過(guò)是勾股定理的喬裝改扮而已！
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