談到數(shù)學思維，肯定與“抽象化”分不開。
幼小的孩子思維很具象，習慣于形象思維，所以他們對“數(shù)”的理解，離不開實物，他們無法想象100個物體，他們能夠數(shù)，卻不能對數(shù)字進行操作，到了學前，家長可能會發(fā)現(xiàn)孩子能夠回答你一些問題，比如你有兩個蘋果，媽媽再給你三個蘋果，你有幾個蘋果？孩子能夠很快回答你“5個”，但是他們卻不能回答2+3=？，為什么呢？因為他們還不能夠理解算式這種抽象的表達。再到了小學，孩子可以做加減乘除運算了，但是他們卻不能理解A+B=16，A-B=10，兩個算式可以相減，為什么呢？因為他們還沒有代數(shù)思維，無法理解符號的意義。
有人覺得，孩子未來不需要成為數(shù)學家，科學家，甚至不一定從事理科工作，沒有必要學數(shù)學；
又有人覺得以前學的數(shù)學都沒什么用，生活工作根本觸及不到，早就忘記了；
還有人覺得，學數(shù)學不就是為了升學么！
以上理由都不是重點，我認為數(shù)學學習最大的收獲，是抽象思維的提升。一個人一旦具有良好的抽象思維能力，那么學習任何學科都是能夠勝任的，或者說就具有了“學霸”的特質，可能成為一個高效學習者。
高效！這個詞是重點！
劃重點了，其他都是廢話，專業(yè)的內(nèi)容也不用看，甚至你可能都不理解什么是“抽象化”“抽象思維”，那么都別管了，你需要理解一點就是：學好數(shù)學，能夠讓一個人學習變得高效。
為什么？因為高度抽象化的思維方式可以大大縮短學習的時間，縮短你需要理解一樣事物一個概念一個知識點的時間。
那么如何提高抽象化程度呢？
讓我們反過來看看數(shù)學輔導這件事。
如果你沒有把握住上面這篇廢話的重點，你可能就不能理解為什么我們要這么輔導孩子。
下面這個問題是昨天群里家長提的，因為當時有事，沒有及時回，結果看到后面一大撥討論，那會兒我還在哄小寶睡覺，但是看不下去了，實在忍不住就給回答了。
今天寫出來給大家看一下，看到這樣一道題目，首先要抓住的是題目當中出現(xiàn)了三個等量關系，這三個關系，我們需要讓孩子關注到，并且讓孩子學會轉化成為一種數(shù)學的邏輯，或者說一種這個年齡孩子能夠理解的原理（我估計這是一年級下孩子的題目）。
我選擇了兩個等量關系用下面這種樹狀圖來表示，目的是什么？
為了讓兒童去理解這里關鍵的邏輯是：整體部分的邏輯關系。
而關鍵的條件是，整體都是同樣的，沒有變過，因此我們可以通過一一對應的關系，去形成另外一個等量關系——
也就是：小紅+1元=3元。
上面這個算式其實不必表達出來，用語言就能夠讓孩子理解，小紅與1元合起來就等于3元，因為兩邊都有小蘭，所以剩下來的就應該相等。
也就是說這道題目是經(jīng)典的兩步運算題，如果說要讓孩子掌握什么，不是怎么畫圖，線段圖也好，樹狀圖也好，方框圖也好，不管什么圖，都離不開整體部分的邏輯，如果你希望孩子收獲到的是一種“抽象思維”，而不是模仿你解題的“形象思維”，不要把功夫花在無關緊要的事物上，而應該聚焦在等量關系上，用越簡潔的語言表達越好。
這樣的表達，另一個好處是，你可以留給孩子一點思考空間，如下圖上寫的：比較一下，一一對應起來看一看。
這樣，你教的是數(shù)學思維。
其實上面這道題目讓我想到了之前家長的一個問題，我也寫過文章，請看下面這道題目，文章可以延伸閱讀——
具體我不重復寫了，大家可以看上面鏈接里的第二道錯題解析。
這里劃重點：你需要從最基礎的概念入手去進行講解，不要自認為孩子應該知道，知道概念，和能夠抽象化為數(shù)學關系加以靈活應用，其實是兩碼事，大部分時候，你認為“孩子知道概念”，僅僅是孩子知道某個事實，但并不是概念本身。
同樣我也講解過的一類題目，屬于兩個對象之間同時發(fā)生變化的問題，常常是二年級小朋友遇到的難題，有時候也會在一年級出現(xiàn)。
下面這道題目，我在講數(shù)軸的文章中講過：
大家可以延伸閱讀——
[同步訓練] 動態(tài)問題：我給了你5枚金幣，變化了多少？
解答上提的方法，以及數(shù)軸圖，請看上面延伸閱讀的鏈接；不過班級家長又問了另外一種方法，但是始終沒有想明白，這里我也畫一下第二種思考方法：
如果從哥哥的視角看，一開始哥哥比弟弟多10支鉛筆，這里我們把這個比較量看成是初始的值，那么結果就變成了哥哥比弟弟多2支，從多10支變到多2支，中間變化了多少？變化了8，這個8的方向與10和2的方向不同，相對于哥哥來講，是減少的，所以我們用減號表達（注意這里我們不出現(xiàn)負數(shù)概念，因為面對的是低年級小朋友，減號這里代表減少的意思）
但是要注意的是，這里的8并不等于哥哥給弟弟的鉛筆數(shù)，而只是相對于哥哥與弟弟的差值來講，減少了8，那么對于哥哥給弟弟多少，就可以通過數(shù)軸去理解，是8的一半，也就是4。
這里的抽象化在于兩點：第一我們需要讓孩子注意到數(shù)學中數(shù)量的相對性，就比如：哥哥比弟弟多2支，那么相對于弟弟來講，就是弟弟比哥哥少2支；比較這件事始終于視角有關，所以要帶著孩子轉換視角去理解事物。
第二我們需要讓孩子理解變化其實從來就不會是單向的，在一個整體內(nèi)部，數(shù)量的轉移，總是伴隨著兩方數(shù)量同時發(fā)生變化，也因此會造成兩方數(shù)量差的擴大，這一點象我現(xiàn)在這樣語言去表達，去灌輸是沒有用的，而是需要把這種數(shù)學關系表現(xiàn)出來，最為清晰的方式就是“數(shù)軸”，也可以通過觀察兩個等式中加項之間的關系獲得。
總而言之，如果你想提升孩子抽象能力，你需要教孩子學會觀察，比較，而不是急于解答題目。
昨天由于第一道簡單的題目，讓我聯(lián)想到了很多相關的問題，除了上面這些近期講過的題目，讓我想到去年群里瘋傳的一道題目，號稱幼升小題目，不過這種題目考幼兒園孩子，實在是太荒謬。
但后來又看到類似一題，據(jù)說是小升初題目，其實只不過情景變了一下，完全一摸一樣的邏輯，居然一下子提升到了小升初題目了，也真是讓人匪夷所思現(xiàn)在的數(shù)學測試。
且不論真假，下面大家就對比兩道題目來看一下吧。
第一題是關于桌子和貓的，下面的圖是當時我回答班級家長的問題，家長問如何用時間線來解決，時間線這個工具既然是我發(fā)明的，自然難不倒我，哈哈，刷刷刷，我當時就畫出來了，但是估計沒有上過我課的家長，看懂的不多，我這里也不便再解釋了，大家自己琢磨理解。
重點我來講第二題。
第二題，只是變成了桌子與木塊，其實都是一樣的，貓和木塊是“同樣的事物”，在數(shù)學的抽象性中，就可以理解為，提供了一個物體兩種狀態(tài)下的“高度差”，高度差是重點。
這道題目如果以小升初的標準來講，或者至少是小學中高年級孩子，我們需要孩子不僅僅能夠解答出題目，而且要用合適的思考方法。
如果你教孩子用方程，你教孩子畫圖，你教孩子把桌子木塊挪來挪去，你解答出這道題目了，但卻并沒有讓孩子收獲到數(shù)學思維，孩子可能習得的只是在這個情景下的一種特定的方法，他記住了，可能期望下次遇到同樣的題目來用一用。又或者，孩子通過挪來挪去的方法，習得的是解決類似問題就需要把木塊桌子挪來挪去，不管他多大了，多高年級了，思維就仍然停留在那個形象的階段，無法突破到高層次的抽象化階段。
下圖就是我用來解析上題的較高抽象化水平的思考方式。
請從左往右看思維過程：
首先：要分解出三個對象，看清是三個對象之間存在的一種復雜關系；
第二：理解這題不同于前面幾題，這里的整體是變化的；
第三：既然是變化的，自然會注意到變化了多少，整體變化了10cm；
第四：從因果邏輯來講，我們自然會考慮變化是由于什么造成的？這里是由于B和C兩個對象造成的，用數(shù)學關系表達就是：一個是B-C，一個是C-B；
第五：這個問題就回到了我前面說的相對性問題，哥哥比弟弟多2支，意味著弟弟比哥哥少2支。一個多一個少，如果再與第三個對象產(chǎn)生聯(lián)系，那么就會產(chǎn)生雙倍效應，也就是說一種情況是在桌子高度上增加了一個值，另一種情況是在桌子的高度上減少一個值，兩種情況差10的話，自然這個值就是10的一半，這個問題又是與前面數(shù)軸問題是一樣的。（數(shù)軸圖我就省略了）
第六：知道了差值后，我們又回到了整體部分關系，桌子高度加一個值得到80，或桌子高度減一個值得到70，我們逆轉一下關系，自然就能求得桌子高度是75。
以上思考方式屬于更高階層的抽象化的思考方式，但是很顯然，要達到這樣的抽象化程度，就需要你在輔導孩子前面那些簡單問題的時候，用對方法，這樣思維才能逐級提升，直到解答最后這道題目的時候，可以綜合運用之前的數(shù)學思維模式，上升到一個新的高度。
