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之前我們發(fā)過(guò)一篇文章，但是有朋友看了表示有疑惑，問(wèn)小編：為什么當(dāng) $x$ 是弧度(radian)時(shí)，

$\begin{equation} \frac{{\rm d}(\sin x)}{{\rm d}x}=\cos x \tag{1} \end{equation}$ 但當(dāng) $x$ 是以度(degree)為單位時(shí)，卻是 $\begin{equation} \frac{{\rm d}(\sin x)}{{\rm d}x}=\frac{\pi}{180}\cos x\tag{2} \end{equation}$

能否給個(gè)令人心服口服的證明呢？

小編說(shuō)：一般的高數(shù)書(shū)上應(yīng)該有講啊。

朋友追問(wèn)：高數(shù)書(shū)上只證明了(1)式，而且挺復(fù)雜的，要用到那個(gè)極限的夾逼準(zhǔn)則，不太直觀，能否直觀講一講？

經(jīng)過(guò)思考之后，我給出了如下證明過(guò)程。

先來(lái)看弧度制下的情形。

如下圖，設(shè)有長(zhǎng)度為 $x$ 的弧，它的半徑為1，按照弧度制，那么這段弧對(duì)圓心張開(kāi)的角也為 $x$ 。若弧長(zhǎng)增加 $\Delta x$ ，即沿逆時(shí)針?lè)较驈腂延申到D，則角度也相應(yīng)的增加 $\Delta x$ 。

根據(jù) $\sin$ 函數(shù)的定義，圖中標(biāo)出的紅色和綠色豎線的長(zhǎng)度分別是 $\sin x$ 和 $\sin(x \Delta x)$ 。

從B點(diǎn)作CD的垂線BE，則 $\overline{DE}$ 即為 $\sin x$ 的增量，而弧 $\overset{\LARGE{\frown}}{DB}$ 即為 $x$ 的增量，故有 $\frac{\overline{DE}}{\overset{\LARGE{\frown}}{DB}}=\frac{\sin(x \Delta x)-\sin x}{\Delta x}$ 當(dāng) $\Delta x\to 0$ 時(shí)，弧 $\overset{\LARGE{\frown}}{DB}$ 就是 $\overline{DB}$ ，上式即 $\frac{\overline{DE}}{\overline{DB}}=\frac{{\rm d}({\sin x})}{{\rm d} x}$ 上式左邊就是角 $\angle{DBE}$ 的正弦值，也就是角 $\angle{EBO}$ 的余弦，而 $\angle{EBO}$ 與弧 $\overset{\LARGE{\frown}}{FB}$ 的張角 $x$ 相等，故上式左邊等于 $\cos x$ ，因此就得到 $\frac{{\rm d}(\sin x)}{{\rm d}x}=\cos x$ 這就得到了弧度制下的情形。

那么，若 $x$ 是度制， $\sin x$ 的導(dǎo)數(shù)為什么會(huì)多出一個(gè)因子 $\pi/180$ ？

為了清楚的說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，首先要解決的一個(gè)問(wèn)題是：若角度分別用度與弧度表示，它們的函數(shù)表示該如何區(qū)分？

要知道，現(xiàn)在我們有兩種不同的角度制，一個(gè)叫度，一般寫(xiě)作 $\theta^\circ$ ，例如 $\sin45^\circ=\sqrt{2}/2$ 還有一個(gè)角度制，叫弧度，它沒(méi)有符號(hào)，就是普通的數(shù)，例如 $\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}/{2}$ 一般情況下，我們可以根據(jù)是否存在那個(gè)小圓圈來(lái)判定到底根據(jù)哪一種角度制的，從而確定其結(jié)果，這個(gè)中學(xué)都學(xué)過(guò)，沒(méi)問(wèn)題的。

作為三角函數(shù), $\sin$ 或 $\cos$ 是什么，函數(shù)符號(hào)對(duì)嗎？如果是，那對(duì)于丟入的一個(gè)確定的數(shù)字，算出的結(jié)果應(yīng)該是確定的，因?yàn)榇_定的函數(shù)符號(hào)代表一個(gè)確定的運(yùn)算法則。例如 $\sin x$ 的值等于多少，應(yīng)該只取決于 $x$ 的值??！

但現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了， $x$ 有兩種度量方式，那會(huì)出現(xiàn)同一個(gè) $x$ 值，有兩種函數(shù)值？例如 $\sin45^\circ\neq\sin45$ 你會(huì)說(shuō)，這沒(méi)問(wèn)題啊，前面是度，后面那個(gè)是弧度啊，不會(huì)導(dǎo)致胡亂??！

問(wèn)題是，當(dāng)自變量符號(hào) $x$ 是采用度制的時(shí)候，你難道也帶上一個(gè)度的符號(hào)？你只是心里知道，但你不能寫(xiě)成 $x^\circ$ ，例如對(duì)度制的數(shù)的正弦，你只能記作 $\sin x$ 。但這顯然會(huì)造成混亂，因?yàn)橐粋€(gè)自變量不可能對(duì)應(yīng)多個(gè)函數(shù)值！

讓弧度制優(yōu)先用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 這些符號(hào)，而度制的函數(shù)就謙讓一下，另外再發(fā)明一個(gè)符號(hào)表示，例如用 $f(x)$ 表示度的正弦，而用 $g(x)$ 表示度的余弦。

好了，現(xiàn)在來(lái)看 $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}$ 等于多少？

根據(jù)弧度與度的關(guān)系， $f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{180}x\right)$ 所以 $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\sin\left(\frac{\pi}{180}x\right)\right]$ 根據(jù)熟悉的弧度制下的三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)，我們都知道右邊等于 $\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\sin\left(\frac{\pi}{180}x\right)\right]=\frac{\pi}{180}\cos\left(\frac{\pi}{180}x\right)$ 而根據(jù)弧度值與度制的關(guān)系 $g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{180}x\right)$ 所以有 $\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\sin\left(\frac{\pi}{180}x\right)\right]=\frac{\pi}{180}g(x)$ 所以有 $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}=\frac{\pi}{180}g(x)$ 如果你不想讓弧度優(yōu)先使用三角函數(shù)符號(hào)，而是想度與弧度平起平坐的使用三角函數(shù)的符號(hào)，那你只要將上面的 $f(x)$ 換成 $\sin x$ ， $g(x)$ 換成 $\cos x$ ，你就得到了 $\frac{{\rm d}(\sin x)}{{\rm d}x}=\frac{\pi}{180}\cos x$ 這就是角度采用度制時(shí)的情形。

但這樣做，你一定不要將這里的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 與前面推導(dǎo)過(guò)程中使用的那些 $\sin x$ 和 $\cos x$ 搞混了?；《戎频恼遥膶?dǎo)數(shù)與弧度值的余弦是相等的，即

$\frac{{\rm d}(\sin x)}{{\rm d}x}=\cos x$ 符號(hào)一樣，關(guān)系卻不同！但作為函數(shù)符號(hào)，它們的運(yùn)算法則本應(yīng)是相同的！這是造成有人感覺(jué)暈暈的原因！

實(shí)際上，如果不想暈，你只要依舊承認(rèn)弧度制的優(yōu)先地位，對(duì)度制的三角函數(shù)，發(fā)明一種新的符號(hào)，例如 $\sin^{\circ}x$ 表示正弦，而類(lèi)似的， $\cos^{\circ}x$ 表示余弦，那么上面那個(gè)式子就可以記為 $\frac{{\rm d}(\sin^\circ x)}{{\rm d}x}=\frac{\pi}{180}\cos^\circ x$ 這樣，就沒(méi)有那種怪怪的違和感了！

講到這里，我得意的回頭看了看老A。

但老A卻摸了摸腦袋說(shuō)，他當(dāng)然相信這些都是對(duì)的！但直覺(jué)上又覺(jué)得，既然弧度和度是角度的兩種平等的單位制，那么僅僅變換單位制，怎么會(huì)影響自身的規(guī)律的形式呢？

聽(tīng)到他這么說(shuō)，我啞然失笑：這廝學(xué)物理學(xué)傻了。

他大概率將數(shù)學(xué)公式與物理規(guī)律一樣對(duì)待了！

果不其然，他反手就舉了牛頓方程的例子 $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ 他問(wèn)我：對(duì)動(dòng)量用不同的單位，這個(gè)公式不還是這樣嗎？

我說(shuō)，雖然你眼里看到的是物理公式，但你心里想的是物理規(guī)律，既然你相信物理規(guī)律不變，所以你自然覺(jué)得它總是一樣的。

但實(shí)際上，你看到的是物理公式，它與物理規(guī)律是兩碼事。物理公式本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)公式。

當(dāng)你采用不一樣的單位制時(shí)，物理量之間的數(shù)值關(guān)系也一樣變了！所以，不同的單位制下，物理規(guī)律不會(huì)變，但物理公式肯定會(huì)變。

例如，采用國(guó)際單位制時(shí)，庫(kù)侖定律是 $F=K\frac{q_1q_2}{r^2}$ 這里的 $K$ 取值為 $9\times10^9$ Nm2/c2。但當(dāng)你選用不同的電荷單位時(shí)， $K$ 值不就變了嗎？

另一個(gè)例子是法拉第電磁感應(yīng)定律，正是因?yàn)椴捎脟?guó)際單位制，它才有如下簡(jiǎn)單的形式 $\varepsilon_i=-\frac{d\phi}{dt}$ 否則，這里也會(huì)多出一個(gè)不等于1的系數(shù)，變成 $\varepsilon_i=-\alpha\frac{d\phi}{dt}$ 這里的系數(shù) $\alpha$ 是多少，取決于你采用的單位制是什么。

單位制的選擇不光會(huì)影響物理公式的比例，甚至還會(huì)在原有的物理公式中加上或減去一個(gè)東東。例如采用攝氏度作為溫度的單位時(shí)，理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的關(guān)系為 $p=p_0\left(1 \frac{1}{273.15}t\right)$ 式中的 $p_0$ 為無(wú)限稀薄的氣體在0攝氏度時(shí)的壓強(qiáng)。

當(dāng)采用開(kāi)爾文作為溫度單位，即定義 $T=t 273.15$ 后，則上述關(guān)系式變?yōu)?nbsp; $p=\frac{p_0}{273.15}T$

再舉個(gè)例子，光速不變是狹義相對(duì)論的一條基本規(guī)律，但光速到底等于多少，這是人為定義的。當(dāng)我們選擇國(guó)際單位制時(shí)，它的值為299792.458km/s，當(dāng)采用不同的單位時(shí)，它的值當(dāng)然就不是這么多了！

所以說(shuō)嘛，單位制的改變，當(dāng)然會(huì)改變物理公式的樣子！但是，物理規(guī)律是不會(huì)變的，因?yàn)樗强陀^的嘛。

聽(tīng)我這么一講，老A似乎有點(diǎn)明白了。但他還是有點(diǎn)不甘心，他說(shuō)，弧度和度是地位相當(dāng)?shù)膬煞N角度單位，為什么一個(gè)導(dǎo)致如此簡(jiǎn)單的關(guān)系，另一個(gè)卻變得復(fù)雜呢？

那么，弧度和度真的地位相當(dāng)?shù)膯幔?/p>

當(dāng)然不是！

從它們與長(zhǎng)度的關(guān)系可以看出差別。

如下圖，半徑長(zhǎng)為1的一段弧，假設(shè)它對(duì)應(yīng)的角度記為 $x$ ，現(xiàn)在來(lái)分別看弧度與度的情況下，有什么不同。

當(dāng) $x$ 為弧度時(shí)，它的大小更好等于弧長(zhǎng)與半徑的比值——這就是弧度的定義嘛！因此上圖中的弧長(zhǎng)BC就等于 $x$ 。

而當(dāng)角度值 $x$ 的單位為度時(shí)，必須將它換成弧度才能得到弧長(zhǎng)，因此弧長(zhǎng)BC為 $\pi x/180$ 。

看到了吧，你可以認(rèn)為弧度和度相當(dāng)，但從它們與弧長(zhǎng)的關(guān)系上可以看出，弧度數(shù)值本身就是弧長(zhǎng)，而度的數(shù)值需要經(jīng)過(guò)換算后才得到弧長(zhǎng)。

有人可能會(huì)說(shuō)，干嘛要讓度來(lái)遷就弧長(zhǎng)？讓弧長(zhǎng)來(lái)遷就度不行嗎？就將弧長(zhǎng)記錄為半徑與角度的乘積，不同的角度單位得到不同的數(shù)值的弧長(zhǎng)！換句話說(shuō)，重新定義一個(gè)弧長(zhǎng)的單位叫做“米 $\times$ 度”。

看起來(lái)挺不錯(cuò)，這樣從半徑到弧長(zhǎng)，與弧度制一樣，不再需要換算的系數(shù)了！

例如，一個(gè)半徑為1米，對(duì)應(yīng)角度為45度的弧長(zhǎng)，就記作為 $L=45\times1=45(米\times 度)$

很顯然，半徑為45米，對(duì)應(yīng)角度為1度的弧長(zhǎng)也是這么大，看起來(lái)沒(méi)什么問(wèn)題，因?yàn)槭聦?shí)上，它們的弧長(zhǎng)的確是一樣的。

但現(xiàn)實(shí)中，我們時(shí)刻需要比較和度量各種曲線和直線的長(zhǎng)度，它們既然都是長(zhǎng)度，必定都屬于同一種物理量描述的東西，具有確定的量綱。

什么叫量綱？

簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是物理量的單位的共性。

用來(lái)度量同一個(gè)物理量的不同單位，具有同樣的量綱，為了方便，這個(gè)量綱就用物理量符號(hào)加中括號(hào)表示。

例如公斤、克和磅都是質(zhì)量單位，因此它們的量綱是質(zhì)量，記作 $[{\rm m}]$ ；秒，日和年都是時(shí)間單位，它們的量綱是時(shí)間，記作 $[{\rm t}]$ ；而米，公里和光年則具有同樣的量綱——長(zhǎng)度，記作 $[{\rm l}]$ 。

量綱之間可以通過(guò)乘除得到新的量綱。例如，根據(jù)牛頓第二定律，可以得力的量綱為 ${\rm [F]=[m][l][T]^{-2}}$ 物理上同屬一種物理量描述的東西，必然具有同樣的量綱！只有量綱相同的量才可以進(jìn)行加減運(yùn)算——廢話，單位相同的才可以加減嘛！而單位相同，則量綱必然相同。

有一種特殊的量，它的值是沒(méi)有量綱的純數(shù)字，我們稱之為無(wú)量綱量，也可以說(shuō)它的量綱為1。

因此，按照量綱規(guī)則，上述定義的弧長(zhǎng)的量綱既然是長(zhǎng)度乘以角度，如果角度的量綱不為1，那所得的弧長(zhǎng)必然就不再具有長(zhǎng)度量綱了！

這導(dǎo)致一個(gè)奇怪的問(wèn)題：既然你采用了另一個(gè)不同于長(zhǎng)度量綱的物理量來(lái)度量弧長(zhǎng)，那說(shuō)明弧長(zhǎng)與半徑的長(zhǎng)度是不同的東西！

這是一件不可思議的事情，就好比你把一根直鐵絲完成弧形，它的長(zhǎng)度變成另一個(gè)東西了！

在采用度制時(shí)，它的數(shù)值和量綱都變了！

在采用弧度制時(shí)，雖然弧長(zhǎng)的數(shù)值符合經(jīng)驗(yàn)要求——直鐵絲完成弧形后，弧長(zhǎng)數(shù)值保持與之前直線的長(zhǎng)度數(shù)值相等。但問(wèn)題是，既然弧長(zhǎng)等于半徑乘以弧度，那么弧長(zhǎng)的量綱也是長(zhǎng)度乘以角度，仍然不具有長(zhǎng)度量綱！

換句話說(shuō)，弧度與度一樣，都會(huì)導(dǎo)致弧長(zhǎng)變成與長(zhǎng)度不一樣的東西??！

但直覺(jué)告訴我們，一根直鐵絲彎成弧形，它的長(zhǎng)度應(yīng)該是不變的?。?/span>

那怎么辦呢？

你可能也發(fā)現(xiàn)了，將角度視為無(wú)量綱量就行了！這樣，弧長(zhǎng)和半徑就具有同樣的量綱——長(zhǎng)度！

正如前面提到的那個(gè)例子，你手握一根直鐵絲，彎成弧形，無(wú)論它的半徑是多少，可以肯定相比之前的直線，弧的長(zhǎng)度沒(méi)變??！這個(gè)直覺(jué)告訴我們，直線和弧的長(zhǎng)度是同一個(gè)東西，量綱必然相同嘛！

所以，角度是一個(gè)無(wú)量綱的量，或者也可以說(shuō)，它的量綱為1。

必須要強(qiáng)調(diào)的是，量綱是物理量的基本屬性，描述的對(duì)象是物理量。所以，角度無(wú)量綱，決定了它的單位也就是無(wú)量綱單位。

很多人以為，度不像弧度那樣是純數(shù)，所以度應(yīng)該有量綱。這種理解是錯(cuò)誤的！度和弧度一樣，是角度這個(gè)無(wú)量綱的物理量的不同單位制。

不過(guò)，將角度定義為無(wú)量綱量之后，對(duì)度來(lái)說(shuō)，前面提到的重新定義的弧長(zhǎng)的數(shù)值比實(shí)際大，這不符合人們的直覺(jué)。而對(duì)于弧度來(lái)說(shuō)，它與半徑的乘積不僅具有長(zhǎng)度量綱，而且剛好就是弧長(zhǎng)的真實(shí)大小，正好符合我們的直覺(jué)——想想前面提到的那個(gè)把直鐵絲彎成圓弧的事情。

例如，若角度 $\theta$ 是弧度制的，則從半徑 $r$ 和角度 $\theta$ 計(jì)算弧長(zhǎng) $L$ 按如下方式

$L=r\theta$ 而對(duì)角度 $\theta$ 為度的情況，應(yīng)先將度換算成弧度，再根據(jù)上式計(jì)算，因此計(jì)算公式為

可見(jiàn)，將角度定義為無(wú)量綱的量后，弧度制下，計(jì)算不需要額外轉(zhuǎn)換，多出一個(gè)因子 $\pi/180$ 。

所以，弧度制優(yōu)于度制！

另外，再拓展一下。

弧度表示的角度不局限于平面角，也適用于立體角。如下圖所示，球面上的一部分面積相對(duì)球心張開(kāi)的角度就是立體角。

立體角的弧度制定義為面積與對(duì)應(yīng)半徑的平方的比，即 $\Omega=\frac{S}{r^2}$ 如果考慮整個(gè)球面 $S$ ，顯然立體角為 $4\pi$ 。由此定義可知，分子分母都具有面積量綱，量綱相除之后等于1，所以立體角也是一個(gè)無(wú)量綱量。

實(shí)際上，你還可以將角度推廣到更高維的情形，只不過(guò)它總是等于兩個(gè)同樣冪次的長(zhǎng)度量綱相除，量綱相除的結(jié)果總是1，所以它總是無(wú)量綱的。

END

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