在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)中，對(duì)空間的幾何描述成為了理論物理學(xué)追求的主要課題。我們普遍接受的空間是三維的，廣義相對(duì)論描繪了一個(gè)四維的宇宙，而弦論則說(shuō)宇宙有10維，它的擴(kuò)展版本M理論認(rèn)為宇宙有11維，最近甚至還出現(xiàn)了新的24維版本。四維以上的世界究竟是什么樣子？它們又有什么樣的意義呢？
作者 | Margaret Wertheim
伏案寫作，抬手打開(kāi)臺(tái)燈，落手拉開(kāi)抽屜拿出筆，伸手讓指尖劃過(guò)一尊奇形怪狀的小雕像——那是我妹妹送我的幸運(yùn)符——背過(guò)手拍了拍蜷縮在我身后的貓。右手邊是為文章準(zhǔn)備的研究筆記，左手邊則是一堆“必做”的事項(xiàng)（賬單和信件）。上下、前后和左右，我以這個(gè)世界的直角坐標(biāo)軸為刻度，在自己的三維宇宙中航行。
我們的建筑、我們的教育和我們的字典告訴我們：空間有三個(gè)維度。牛津字典定義空間（space）為“一片連續(xù)的自由的，可獲得的或者可被占用的區(qū)域……所有東西都在高度、深度和寬度這些維度中存在和移動(dòng)?！?8世紀(jì)時(shí)，康德（Immanuel Kant）稱三維的歐幾里得空間是一種先驗(yàn)必然。如今，隨著計(jì)算機(jī)生成的圖像和電子游戲的滲透，我們始終處于一個(gè)似乎是公理的笛卡爾坐標(biāo)系表征中。站在21世紀(jì)的視角，這一點(diǎn)近乎不證自明。
不過(guò)，“我們生活的空間具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”這個(gè)觀念，是西方文化的激進(jìn)創(chuàng)新，它迫使我們拋棄長(zhǎng)久以來(lái)對(duì)現(xiàn)實(shí)本質(zhì)的信念。盡管現(xiàn)代科學(xué)的誕生通常被談?wù)摮蓪?duì)自然界的機(jī)制機(jī)械性解釋的過(guò)渡，但我們可以看到，更加重要，當(dāng)然也更加持久的是另一種轉(zhuǎn)變：我們對(duì)空間的概念變成了一種幾何建構(gòu)。
在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)中，對(duì)空間的幾何描述成為了理論物理學(xué)追求的主要課題，從阿爾伯特·愛(ài)因斯坦（Albert Einstein）開(kāi)始，學(xué)者們都試圖將自然界所有基本作用力解釋成空間形狀本身的副產(chǎn)品。盡管在局部層次我們被訓(xùn)練成將空間想成三維，廣義相對(duì)論描繪了一個(gè)四維的宇宙，而弦論則說(shuō)宇宙有10維，它的擴(kuò)展版本M理論甚至認(rèn)為宇宙有11維。有些宇宙模型將宇宙描繪為26維，最近還出現(xiàn)了讓純數(shù)學(xué)家們興奮不已的24維版本。但這些“維度”到底是什么？談?wù)撘粋€(gè)10維的空間存在又有什么樣的意義呢？
什么是“空間”？
要理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)中對(duì)空間的描述，需要把空間想成物質(zhì)可以占據(jù)的舞臺(tái)。至少，“空間”應(yīng)該是某種延展出去的東西。這對(duì)我們來(lái)說(shuō)似乎是顯而易見(jiàn)的，但亞里士多德卻十分厭惡這個(gè)觀點(diǎn)，他對(duì)物理世界的概念定義，在古典時(shí)代晚期和中世紀(jì)統(tǒng)治了西方思想界。
嚴(yán)格地說(shuō)，亞里士多德的物理學(xué)中并不包括空間理論，只有位置的概念。想象桌子上的一個(gè)杯子，對(duì)亞里士多德來(lái)說(shuō) ,杯子被本身也是實(shí)體的空氣環(huán)繞，在他的世界圖景中，并不存在真正“空無(wú)一物”的空間，這里只有空氣和杯子者兩種物質(zhì)的邊界。對(duì)于亞里士多德來(lái)說(shuō)，“空間”（如果你愿意這么稱呼的話）只是杯子和環(huán)繞在其旁邊的無(wú)限小邊界。如果空間不能擴(kuò)展，那么任何東西都不會(huì)在空間之中。
亞里士多德之前幾世紀(jì)，留基伯（Leucippus）和德謨克利特（Democritus）就已經(jīng)提出了一種調(diào)用內(nèi)含空間的“原子化”視角來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的理論，他們認(rèn)為，在虛空中移動(dòng)的微小粒子(或原子)組成了物質(zhì)世界。但亞里士多德拒絕原子論,聲稱虛空的概念在邏輯上不自洽，他說(shuō)根據(jù)定義，“什么都沒(méi)有”是不可能存在的。擺脫亞里士多德對(duì)虛空的異議，從而形成延展空間的概念，是一個(gè)世紀(jì)課題。直到伽利略和笛卡爾在17世紀(jì)早期，將延展時(shí)空變成了現(xiàn)代物理的基石之一，這才讓這個(gè)創(chuàng)新的設(shè)想發(fā)展成熟。就像1924年美國(guó)哲學(xué)家埃德溫·伯特（Edwin Burtt）評(píng)論的那樣，對(duì)這兩個(gè)思想家而言，“物理空間與幾何領(lǐng)域等同起來(lái)”，這里的幾何領(lǐng)域，也就是如今學(xué)校教的三維歐幾里得幾何。
早在物理學(xué)家接受歐幾里得視角之前，畫家已經(jīng)在空間的幾何概念上先行一步。多虧了他們，我們才在概念框架中跨出一大步。在中世紀(jì)晚期，在新興起的柏拉圖和畢達(dá)哥拉斯的思潮的影響下（這兩位也是亞里士多德的學(xué)界對(duì)手），“上帝按照歐式幾何定律創(chuàng)造世界”的觀念開(kāi)始滲透進(jìn)歐洲。因此，當(dāng)藝術(shù)家想要正確地描繪世界，他們應(yīng)當(dāng)模仿造物主的表現(xiàn)手法。從14世紀(jì)到16世紀(jì)，諸如喬托（Giotto）、保羅·烏切洛（Paolo Uccello）和皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡（Pierodella Francesca）等藝術(shù)家建立了現(xiàn)在所知的“透視”技巧，這種風(fēng)格在當(dāng)時(shí)被稱為“幾何圖像”。通過(guò)有意識(shí)地探索幾何原理，這些畫家逐漸學(xué)會(huì)如何構(gòu)建三維空間內(nèi)物體的圖像。在這個(gè)過(guò)程中，他們重新編譯了歐洲人的思維，使他們用歐幾里得的方式來(lái)看待空間。
歷史學(xué)家塞繆爾·埃杰頓（Samuel Edgerton）在《喬托幾何的遺產(chǎn)》（The Heritage of Giotto’sGeometry，1991）中敘述了這段值得銘記的延續(xù)，他注意到我們對(duì)亞里士多德空間觀的摒棄，有一部分是來(lái)自透視畫緩慢長(zhǎng)期的影響：當(dāng)人們站在透視畫前，發(fā)自內(nèi)心地感受，就好像他們透過(guò)墻壁看到了另一邊的一個(gè)三維世界。而其中的非凡之處在于，當(dāng)哲學(xué)家和科學(xué)家小心翼翼地挑戰(zhàn)亞里士多德的空間概念時(shí)，藝術(shù)家們卻通過(guò)對(duì)感知的依附，在知識(shí)界的疆域中大出風(fēng)頭。用大白話說(shuō)，透視的表現(xiàn)方式是一種虛擬現(xiàn)實(shí)，就像如今的VR游戲一樣，試圖給觀者制造一種幻覺(jué)——他們被轉(zhuǎn)移到了另一個(gè)在幾何上一致，心理上可信的世界。
透視表達(dá)的歐幾里得幻想空間逐漸印刻在了歐洲人的意識(shí)中，并被笛卡爾和伽利略接受為現(xiàn)實(shí)世界的空間。值得補(bǔ)充的是，伽利略自己就受過(guò)透視法的訓(xùn)練。他對(duì)深度的表現(xiàn)能力是他在對(duì)月亮的開(kāi)創(chuàng)性繪畫中的一個(gè)關(guān)鍵特征，他畫出了月亮上的高山和峽谷，暗示了月亮和地球一樣是固態(tài)的實(shí)體。
通過(guò)接受透視畫作的空間觀，伽利略可以用數(shù)學(xué)法則展示諸如炮彈等物體的運(yùn)動(dòng)方式。空間本身就是一種抽象——一種沒(méi)有特征、不活躍、不可觸摸、不可感知的虛空，它唯一的可知性質(zhì)就是它的歐幾里得形式。到了17世紀(jì)末期，牛頓（Isaac Newton）將伽利略的視角拓展到整個(gè)宇宙，延展出潛在的無(wú)限的三維真空——向所有方向永恒延伸的廣闊無(wú)物的“空”?！皩?shí)在”的結(jié)構(gòu)就這樣從哲學(xué)和理論問(wèn)題轉(zhuǎn)換到了幾何命題上。
維度，數(shù)學(xué)的圖像化
當(dāng)畫家用數(shù)學(xué)工具開(kāi)發(fā)出創(chuàng)作的新方法時(shí)，科學(xué)革命也曙光初現(xiàn)，笛卡爾探索了將數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行圖像化的方法。在這個(gè)過(guò)程中，他形式化了“維度”的概念，不僅在我們的意識(shí)中注入了一種看待世界的新方式，更創(chuàng)造了一種新的科學(xué)工具。
當(dāng)今幾乎所有人都能認(rèn)出笛卡爾的天才成果，笛卡爾坐標(biāo)系，一個(gè)帶有x軸和y軸的直角坐標(biāo)系統(tǒng)。
根據(jù)定義，笛卡爾平面是一個(gè)二維空間，因?yàn)槲覀冃枰獌蓚€(gè)坐標(biāo)來(lái)定義其中的任意一個(gè)點(diǎn)。笛卡爾發(fā)現(xiàn)在這個(gè)框架下他可以將幾何形狀與方程聯(lián)系在一起：一個(gè)半徑為1的圓就可以用等式x2 y2= 1來(lái)描述。
我們?cè)谄矫嫔袭嫷囊幌盗袌D像都可以用方程來(lái)描述，這種“解析幾何”或者“笛卡爾幾何”，很快就成為牛頓和萊布尼茲發(fā)明的微積分的基礎(chǔ)，之后的物理學(xué)家以此來(lái)描述運(yùn)動(dòng)。理解微積分的一種方式是研究曲線，它讓我們可以規(guī)范地定義曲線在哪里最陡，或者它在哪里達(dá)到局部極小或者極大。在對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究中時(shí)，微積分使我們能夠分析和預(yù)測(cè)被拋出的物體在哪里可以達(dá)到最高點(diǎn)，或者何時(shí)沿著彎曲軌道滑落到特定的速度。微積分發(fā)明以后，它已經(jīng)成為了科學(xué)幾乎所有分支的重要工具。
從上一張圖的基礎(chǔ)上，我們可以很容易想到如何再加一條坐標(biāo)軸。通過(guò)x,y,z軸我們就可以描述一個(gè)球面，一個(gè)半徑為1的球面的方程是：x2 y2 z2= 1。
通過(guò)三根軸，我們可以描述三維空間的形式。同樣地，每個(gè)點(diǎn)都可以被三個(gè)坐標(biāo)唯一確定，這是使空間成為三維的必要條件。
我們?cè)俳釉賲?，再加到第四個(gè)維度會(huì)怎樣？姑且把多出來(lái)的這個(gè)參數(shù)稱其為“p”，現(xiàn)在我可以寫下一個(gè)方程，來(lái)描述這個(gè)存在于四維空間的球面：x2 y2 z2 p2=1。我不能把這個(gè)物體畫給你看，但是從數(shù)學(xué)上看，再加另一個(gè)維度是一個(gè)合理的操作。這個(gè)“合理”指的是不存在邏輯上的矛盾，即沒(méi)有理由不能這么做。
我可以繼續(xù)這樣做，增加更多維度。我可以定義一個(gè)五維空間中的球面，其空間擁有5個(gè)坐標(biāo)軸（x,y, z, p, q），球面方程x2 y2 z2 p2 q2= 1。再定義一個(gè)六維的：x2 y2 z2 p2 q2 r2= 1，等等等等。
盡管我可能難以將這些高維球面可視化，我卻可以用符號(hào)來(lái)描述它們，理解數(shù)學(xué)歷史的方式，就是抱著開(kāi)放性的心態(tài)，超越那些看似合理的事情。這就是查爾斯·道奇森（CharlesDodgson）在《愛(ài)麗絲鏡中奇遇記》（Through the Looking Glass, and What Alice Found There,1871）中描述的“早餐前做6件不可能的事”。
數(shù)學(xué)上，我可以描述一個(gè)任何維數(shù)的球面。我只要不斷添加新坐標(biāo)軸就可以了，數(shù)學(xué)家稱之為“自由度”。按照習(xí)慣它們被命名為x1、x2、x3、x4、x5、x6等等。就像笛卡爾平面上的任意一點(diǎn)可以被兩個(gè)（x,y）坐標(biāo)描述一樣，任何一個(gè)在17維空間中的點(diǎn)都可以用一組17個(gè)的坐標(biāo)（x1,x2,x3,x4,x5,x6… x15,x16,x17）描述。這樣高維空間中的球面被稱為流形（manifolds）。
從數(shù)學(xué)視角，一個(gè)“維度”只不過(guò)是另一條坐標(biāo)軸（自由度），最終成為一個(gè)純粹的符號(hào)概念，并不一定與物質(zhì)世界的任何東西發(fā)生聯(lián)系。在1860年代，曾影響過(guò)路易斯·卡羅的先鋒邏輯學(xué)家?jiàn)W古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）總結(jié)了這個(gè)領(lǐng)域越來(lái)越抽象的觀念，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是純粹的“符號(hào)的科學(xué)”，并不需要與自身之外的任何東西關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)在某種程度上，是在想象的空間中馳騁的邏輯。
數(shù)學(xué)家在理念世界中自由玩耍，物理學(xué)家則不同，他們被限制在自然界中，至少在原則上，必須與物質(zhì)世界保持一致。然而這一切還是宣告了一種解放的可能性，因?yàn)榧热粩?shù)學(xué)允許多于三個(gè)維度，而且我們認(rèn)為數(shù)學(xué)在描述世界中很實(shí)用，我們?cè)趺粗牢锢砜臻g的維數(shù)被限制為3個(gè)？盡管伽利略、牛頓和康德將長(zhǎng)度、寬度、高度視為公理，我們的世界就不會(huì)有更多維度了嗎？
從三維出發(fā)
宇宙有多于三個(gè)維度這個(gè)觀念，又一次通過(guò)藝術(shù)形式進(jìn)入公眾意識(shí)，這一次是來(lái)自文學(xué)的猜測(cè)，其中最著名的是數(shù)學(xué)家埃德溫·A·艾伯特（Edwin A Abbott）的《平面國(guó)》（Flatland,1884）。這部迷人的社會(huì)諷刺作品講述了住在平面國(guó)上的一位謙卑的方塊先生的故事。有一天，一個(gè)三維生物，球大人，前來(lái)拜訪并帶方塊先生去了立體王國(guó)。在這個(gè)有體積的仙境，方塊先生看見(jiàn)了一個(gè)三維版本的自己——立方體，之后開(kāi)始幻想推進(jìn)到第四個(gè)、第五個(gè)和第六個(gè)維度。他很疑惑，為什么沒(méi)有超立方體和超超立方體？
悲哀的是，當(dāng)方塊先生回到平面國(guó)，他被視為瘋子，關(guān)到了瘋?cè)嗽?。這個(gè)故事另一個(gè)值得稱道之處在于，它意識(shí)到了鼓吹社會(huì)慣例的危害。當(dāng)方塊先生聲稱有其它維度的空間時(shí)，他同時(shí)也力圖證明其他維度生物的存在——他是一個(gè)數(shù)學(xué)怪人。
在19世紀(jì)晚期和20世紀(jì)早期，包括許多許多數(shù)學(xué)家、作家查爾斯·漢頓（Charles Hinton，發(fā)明了四維立方體的名稱“tesseract”的和科幻作家）、藝術(shù)家達(dá)利（Salvador Dalí）和神秘主義思想家鄔斯賓斯基（P D Ouspensky）探索了第四維度的想法以及人們碰到它們會(huì)意味著什么。
之后，在1905年，當(dāng)時(shí)名不見(jiàn)經(jīng)傳的物理學(xué)家阿爾伯特·愛(ài)因斯坦發(fā)表了一篇論文，將真實(shí)世界描繪為一個(gè)四維的宇宙。在他的“狹義相對(duì)論”中，時(shí)間是空間的三個(gè)經(jīng)典維度之外的另一維度。在相對(duì)論的數(shù)學(xué)表述中，四個(gè)維度都是緊密相連的，也形成了時(shí)空這一詞匯。這種對(duì)時(shí)空的組合絕對(duì)不是任意的。通過(guò)這種途徑，愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)有一種非常強(qiáng)大的數(shù)學(xué)方法出現(xiàn)了，這種方法超越了牛頓力學(xué)，并且可以對(duì)帶電粒子的行為做出預(yù)測(cè)。只有在四維的模型中才可以使電磁學(xué)得到完整精確的描述。
相對(duì)論絕不是簡(jiǎn)單的文字游戲，尤其是在愛(ài)因斯坦將狹義相對(duì)論擴(kuò)展為廣義相對(duì)論后。多維宇宙有了更深層的物理含義。
在牛頓的物理圖像中，物質(zhì)在自然力尤其是引力的影響下隨著時(shí)間在空間中移動(dòng)?？臻g，時(shí)間，物質(zhì)和力是現(xiàn)實(shí)中相互獨(dú)立的幾個(gè)物理要素。在狹義相對(duì)論中，愛(ài)因斯坦強(qiáng)調(diào)時(shí)間和空間是統(tǒng)一的，這就將基本的物理要素由四個(gè)減少到三個(gè)：時(shí)空，物質(zhì)和力。廣義相對(duì)論又進(jìn)了一步，將引力描述為時(shí)空本身的結(jié)構(gòu)。從四維時(shí)空的角度來(lái)看，引力只不過(guò)是空間形狀產(chǎn)生的效果罷了。
為了理解這一意義重大的物理圖像，我們先想象一下它的二維類比。假如有一張有彈性的薄膜，我們?cè)谏厦娈嬌现苯亲鴺?biāo)系的網(wǎng)格?，F(xiàn)在我們?cè)诰W(wǎng)格上放置一個(gè)保齡球。在保齡球周圍，薄膜就會(huì)有伸展形變，所以一些點(diǎn)之間的距離就會(huì)變得更遠(yuǎn)。我們通過(guò)使這個(gè)空間不均勻，改變了空間中測(cè)量得到的固有距離。廣義相對(duì)論說(shuō)這種空間形變是諸如像太陽(yáng)一樣的大質(zhì)量物體對(duì)時(shí)空造成的影響。這種時(shí)空本身和直角坐標(biāo)之間的偏離也就形成了我們所知的引力。
在牛頓理論中，引力是無(wú)中生有的，然而在愛(ài)因斯坦的理論中，引力產(chǎn)生于四維流形的內(nèi)在幾何性質(zhì)中。在流形中伸展更多，或者和直角坐標(biāo)偏離更大的地方，引力也就更強(qiáng)。有時(shí)人們將其稱為“橡膠膜物理”。在這種物理模型中，使行星繞著恒星轉(zhuǎn)，恒星繞著星系轉(zhuǎn)的巨大的力，不過(guò)是彎曲空間的副產(chǎn)品。引力實(shí)際上是幾何的作用。
如果在四維空間中可以解釋引力的形成，那么五維空間會(huì)給我們帶來(lái)什么科學(xué)上的優(yōu)勢(shì)呢？為什么不試一試呢？1919年，一個(gè)叫卡魯扎（Theodor Kaluza）的年輕波蘭數(shù)學(xué)家提出了這個(gè)問(wèn)題，他想著既然愛(ài)因斯坦將引力整合到了時(shí)空中，那么類似的，或許再多加一個(gè)維度就可以將電磁力視為時(shí)空的幾何副產(chǎn)物。所以卡魯扎在愛(ài)因斯坦的方程中又加了一個(gè)維度，他很高興地發(fā)現(xiàn)在五維空間中兩種力都很好地變成了幾何模型的產(chǎn)物。
盡管在數(shù)學(xué)上這個(gè)模型如魔法般的好，但是問(wèn)題是這個(gè)額外的維度似乎并不和任何物理實(shí)際相吻合。在廣義相對(duì)論中，這個(gè)第四維度是時(shí)間；在卡魯扎的理論中，第五維度并不是任何你可以指向，看到或者感覺(jué)的東西，它只是在數(shù)學(xué)上存在。甚至愛(ài)因斯坦都不愿意接受這個(gè)看起來(lái)不切實(shí)際的創(chuàng)新。他問(wèn)道，這個(gè)維度是什么？它到底在哪？
管子上的螞蟻
1926年，瑞典物理學(xué)家克萊因（Oskar Klein）回答了這個(gè)問(wèn)題，而他的答案看起來(lái)像是幻想王國(guó)來(lái)的。他說(shuō)，想象你是在一條細(xì)長(zhǎng)的管子上生活的螞蟻，你可以前后走而感覺(jué)不到腳下這個(gè)小的環(huán)狀的維度。只有你們世界的螞蟻物理學(xué)家們可以用螞蟻的顯微鏡來(lái)看到這些小的維度。根據(jù)克萊因的說(shuō)法，我們四維時(shí)空中的每個(gè)點(diǎn)都有一圈像管子一樣的額外維度，這一維度太小以至于我們看不見(jiàn)。因?yàn)檫@個(gè)維度尺度的數(shù)量級(jí)比原子都要小很多，我們一直以來(lái)都忽略了這個(gè)維度也不足為奇。物理學(xué)家只有用超級(jí)強(qiáng)大的粒子加速器才有希望看到這么小的尺度。
在震驚散去后，物理學(xué)家們就被克萊因的想法迷住了，在上世紀(jì)四十年代，他們對(duì)這一理論進(jìn)行了進(jìn)一步發(fā)展，理論有了更多的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，同時(shí)也加入了量子力學(xué)的闡釋。不幸的是，這一新的維度的尺度極小，讓我們很難想象如何通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證它的存在。克萊因計(jì)算出這個(gè)小圈的直徑只有10-30厘米。與之相比，氫原子的直徑有10-8厘米，所以我們討論的是一個(gè)比最小的原子還要小20個(gè)數(shù)量級(jí)以上的尺度。直至今日，我們都沒(méi)有任何辦法看到如此小的尺度。所以這個(gè)想法就逐漸失去了關(guān)注。
但是卡魯扎并不是一個(gè)輕言放棄的人。他相信自己第五維度的想法，他也相信理論的重要意義，所以他決定自己做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的項(xiàng)目是游泳。卡魯扎不會(huì)游泳，所以就讀了所有能讀到的關(guān)于游泳的理論。在他感覺(jué)自己已經(jīng)掌握了足夠多的理論知識(shí)后，他陪著家人去了海邊，然后沖進(jìn)了浪中，驚奇地發(fā)現(xiàn)他就這樣游了起來(lái)。在卡魯扎看來(lái)，這個(gè)游泳的實(shí)驗(yàn)支持了理論的真實(shí)性，盡管他最終沒(méi)有看到自己心愛(ài)的第五維度理論的成功，在六十年代研究弦論的理論工作者又重新拾起了高維空間的工作。
到上世紀(jì)六十年代，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了自然界另外的兩種力，這兩種力都是在亞原子尺度作用的。它們叫做弱核力和強(qiáng)核力，這兩種力可以導(dǎo)致一些輻射，也可以將夸克組合在一起形成原子核中的質(zhì)子和中子。在六十年代末期，隨著物理學(xué)家開(kāi)始探索弦論新的方面（將粒子假設(shè)為空間中極小的橡皮筋的振動(dòng)），卡魯扎和克萊因的想法又重新浮現(xiàn)到了理論工作者的腦海中，他們逐漸開(kāi)始思考這兩種亞原子力是否也可以通過(guò)時(shí)空的幾何性質(zhì)來(lái)描述。
后來(lái)證明，為了完全包括這兩種力，我們必須在數(shù)學(xué)描述中再加入另外五個(gè)維度。當(dāng)然，沒(méi)有任何先驗(yàn)的理由來(lái)說(shuō)明必須有五個(gè)維度，同時(shí)，這些額外的維度和我們的感官經(jīng)驗(yàn)沒(méi)有任何關(guān)系。它們只是存在于數(shù)學(xué)描述中。所以我們就有了弦論中的10維宇宙。10個(gè)維度中有4個(gè)是大尺度的時(shí)空維度（可以通過(guò)廣義相對(duì)論描述），另外有6個(gè)額外的“致密”維度（一維用于描述電磁力，5維用于描述核力），這些維度都卷曲在一起，幾何結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜。
物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家正在花費(fèi)大量的精力來(lái)理解這些極小的維度的可能形狀，并試圖找出現(xiàn)實(shí)世界中有哪些是與之對(duì)應(yīng)的。技術(shù)上來(lái)說(shuō)，這些可能的形式被稱之為卡拉比－丘流形，它們可以存在于任何更高的偶數(shù)維度的空間中。這些形式奇怪詭異，又精細(xì)復(fù)雜，它們構(gòu)成了一個(gè)多維空間中抽象的類別。一個(gè)穿過(guò)它們二維薄片（這幾乎是我們所知的最好的可視化方式）可以讓人聯(lián)想到病毒的晶體結(jié)構(gòu)，它們看起來(lái)幾乎是活的。
穿過(guò)卡拉比－丘流形的二維薄片。圖片來(lái)源：維基百科
描述10維空間的弦論方程有很多版本，但是在上世紀(jì)九十年代，普林斯頓高等研究院（愛(ài)因斯坦的常常出沒(méi)的地方）的數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·威滕（Edward Witten）說(shuō)明假如我們將空間視為11維，問(wèn)題就會(huì)簡(jiǎn)單很多。他將這一理論稱為M理論，而對(duì)“M”到底代表什么諱莫如深。通常人們認(rèn)為M代表膜的英文membrane，但是也有人認(rèn)為是“矩陣”（matrix），“大師”（master），“迷”（mystery）或“怪物”（monster）。
5維空間中的一個(gè)4維泡泡
迄今為止，我們?nèi)匀粵](méi)有任何證據(jù)證明這些額外的維度確實(shí)存在，我們?nèi)匀幌裼斡镜奈锢韺W(xué)家一樣，夢(mèng)想著我們沒(méi)有辦法到達(dá)的微觀世界——但弦論確實(shí)是數(shù)學(xué)本身的一個(gè)有力的結(jié)論。最近，這一理論的某個(gè)24維的版本又取得了進(jìn)步，顯示出了和數(shù)學(xué)的幾大分支之間的相互聯(lián)系，這也就是說(shuō)，即使弦論最終在物理上不能取得成功，那也會(huì)在純理論方面得到豐厚的回報(bào)。在數(shù)學(xué)中，24維的空間十分特殊，有很多神奇的事會(huì)在其中發(fā)生，比如以一種極其優(yōu)雅的方式將球體堆疊在一起，雖然現(xiàn)實(shí)世界卻不太可能是24維的。大多數(shù)弦論方面的理論工作者認(rèn)為，對(duì)于我們所熱愛(ài)并居住的世界來(lái)說(shuō)，10維或者11維就足夠了。
還有最后一部分的弦論發(fā)展值得關(guān)注。1999年，麗薩·蘭達(dá)爾（Lisa Randall）（哈佛大學(xué)第一位拿到終身教職的女性理論物理學(xué)家）和拉曼·桑德魯姆（Raman Sundrum，一位美籍印度裔粒子理論物理學(xué)家）提出了很可能還有一個(gè)額外的在宇宙尺度上的維度，這個(gè)尺度是由廣義相對(duì)論描述的。根據(jù)他們的“膜”理論(即brane理論，brane是membrane的簡(jiǎn)稱)，我們通常認(rèn)為的宇宙很可能嵌在一個(gè)更大的五維空間中，類似于一個(gè)超級(jí)宇宙。在這個(gè)超級(jí)空間里，我們的宇宙很可能只是很多共同存在的宇宙中的一個(gè)，這些宇宙中的每一個(gè)都是5維空間中的一個(gè)4維泡泡。
我們很難得知是否能夠證實(shí)蘭達(dá)爾和桑德魯姆的理論。即使這個(gè)想法和現(xiàn)代天文學(xué)最開(kāi)始的發(fā)展過(guò)程有不少相似之處。歐洲人在500年前幾乎無(wú)法想象我們生活的地球之外的其他“世界”，但是現(xiàn)在我們知道宇宙中存在著數(shù)以億計(jì)的圍繞著恒星旋轉(zhuǎn)的行星。誰(shuí)知道是否或許有一天我們的后人會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)以億計(jì)的其他的宇宙，每一個(gè)都有自己獨(dú)特的時(shí)空方程。
理解空間幾何結(jié)構(gòu)是科學(xué)的一項(xiàng)重大成就之一，但是很有可能物理學(xué)家們?cè)谶@條路上已經(jīng)走到頭了。因?yàn)樵谀撤N程度上來(lái)說(shuō)，亞里士多德可能是對(duì)的，對(duì)空間擴(kuò)展的概念在邏輯上可能確實(shí)有問(wèn)題。盡管相對(duì)論有卓越的成就，我們知道它對(duì)于空間的描述其實(shí)并不是完備的，因?yàn)樵诹孔訉用嫔希鄬?duì)論就會(huì)失效。在過(guò)去的半個(gè)世紀(jì)，物理學(xué)家一直在嘗試將在宇宙尺度上理解的空間和量子尺度上的觀測(cè)統(tǒng)一起來(lái)，但是一直沒(méi)有成功?，F(xiàn)在人們?cè)絹?lái)越覺(jué)得這樣的一種統(tǒng)一需要激進(jìn)的新物理。
正如普林斯頓高等研究院院長(zhǎng)羅伯特·戴克格拉夫（Robbert Dijkgraaf）最近所說(shuō)的，愛(ài)因斯坦在發(fā)展出廣義相對(duì)論后，用了余生的大部分時(shí)間在嘗試“用時(shí)空的動(dòng)力學(xué)來(lái)構(gòu)建自然法則，將物理學(xué)轉(zhuǎn)化為純粹的幾何。對(duì)于愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)，時(shí)空很自然地是無(wú)限的科學(xué)概念分層中‘最基本的一層’。”就像牛頓的世界圖像一樣，愛(ài)因斯坦的世界圖像將空間視為最基本的存在，空間是其他一切的舞臺(tái)，但是在很小的尺度上，當(dāng)量子性質(zhì)主導(dǎo)時(shí)，相關(guān)的物理定律告訴我們，我們習(xí)以為常的空間實(shí)際上可能不存在。
有些理論物理學(xué)家近來(lái)產(chǎn)生了這樣一種觀點(diǎn)，認(rèn)為空間可能其實(shí)只是一種更基本的物理概念的涌現(xiàn)，就像溫度就是分子運(yùn)動(dòng)的宏觀涌現(xiàn)一樣。正如戴克格拉夫所說(shuō)：“現(xiàn)在的觀點(diǎn)認(rèn)為時(shí)空并不是開(kāi)始，而是結(jié)果，是復(fù)雜量子信息導(dǎo)致的自然結(jié)構(gòu)。“
這種想法的一位主要支持者是加州理工學(xué)院的宇宙學(xué)家肖恩·卡羅爾（Sean Carroll），他最近說(shuō)經(jīng)典空間并不是現(xiàn)實(shí)的基本結(jié)構(gòu)之一，并提出我們將四維，10維或11維這些維度如此重視的想法是錯(cuò)的。戴克格拉夫用溫度來(lái)進(jìn)行比喻，而Carroll讓我們考慮“濕度”，濕度的概念是很多水分子聚集時(shí)的一種涌現(xiàn)現(xiàn)象。沒(méi)有任何一個(gè)水分子是濕的，只有你將很多水分子聚集在一起時(shí)才能夠使用濕度的概念，所以空間是由量子層面更本質(zhì)的東西涌現(xiàn)出來(lái)的。
卡羅爾這樣寫道，從量子角度來(lái)說(shuō)，宇宙在多于1010^100個(gè)維度的數(shù)學(xué)王國(guó)中演化，也就是一萬(wàn)兆兆兆兆兆兆兆兆個(gè)零，想象這樣大的一個(gè)數(shù)字幾乎是不可能的，與這個(gè)數(shù)字相比，已知宇宙中所有的粒子數(shù)目都顯得微不足道。然而這些維度中每一個(gè)都是由量子方程描述的數(shù)學(xué)空間中的獨(dú)立維度；每一個(gè)都是宇宙享有的新“自由度”。
假如笛卡爾知道我們把他的想法延伸了多遠(yuǎn)，以及“維度”這個(gè)簡(jiǎn)單的詞包含的極其復(fù)雜內(nèi)容，他一定會(huì)震驚不已。
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