【編者按】實驗是科學研究的基本方法之一，數學也不例外。不能設想，所有的數學知識和方法都可以離開實驗而僅僅通過計算或推理得到。但是，傳統(tǒng)數學教學常常把數學過分形式化，忽視探索重要數學知識形成過程的實踐活動。目前，這一觀念正在轉變，并且，信息技術為學生在教師指導下進行數學實驗提供了極好的條件和便利。下面兩篇文章的作者分別介紹了自己對數學實驗教學的認識和嘗試，讀者也許能得到某些啟發(fā)。
一、問題的提出
數學實驗是指在典型的環(huán)境或特定的條件下所進行的一種發(fā)現某種數學理論的探索活動。這種活動的特征是通過實際嘗試，產生假設或猜想，進行驗證，最終形成有待于進行嚴密論證的數學命題，或形成解決問題的思路。
?。?#183;波利亞指出：數學有兩個側面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數學看起來都像一門試驗性的歸納科學。大數學家歐拉說：數學這門科學需要觀察，也需要實驗。然而，由于學生所學的數學知識都是前人發(fā)現并經過嚴格論證的真理，因此，過去學生的數學活動大多表現為以歸納和演繹為特征的思維活動，簡約了數學的發(fā)現過程。這制約了學生的發(fā)展。數學實驗教學是再現數學發(fā)現過程的有效途徑，它為學生提供了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創(chuàng)新的學習環(huán)境，提供了一條解決數學問題的全新思路。信息技術與數學課程的整合，更為數學實驗教學開辟了無限廣泛的前景。
二、開展數學實驗教學的理論依據
1.建構主義的學習觀和教學觀
建構主義認為認識不是主體對客觀實在的簡單、被動的反應，而是主體以自己已有知識經驗為依托所進行的積極主動的建構過程。因此，在學習過程中，主體已有的認知結構和對建構過程的積極參與是非常重要的。學生在已有知識結構的基礎上，對信息進行主動選擇、加工和處理，不斷地同化和順應，從而構建新的知識結構。建構主義的學習觀清楚地闡明了學習者積極參與、主動探求對新知識構建的重要作用。
2.主體教育的理論
主體教育理論認為，教育應該注重培養(yǎng)和發(fā)展人的主體性，應該為學生主體性的發(fā)展提供適當的環(huán)境和一切便利的條件，充分調動他們學習和自我發(fā)展的主動性。“活動”是主體性的具體體現，只有在活動中，人的個性才得以形成和發(fā)展，人格的各種要素才得以產生并結合成一個整體。人的活動越豐富，人的發(fā)展就越充分、越全面；人的活動越深入，人的研究意識就越強，越有創(chuàng)造力。
三、數學實驗教學的模式舉例
1.傳統(tǒng)數學實驗教學模式
該教學模式是通過對一些工具、模型的動手操作，創(chuàng)設問題情境，引導學生自主探索數學知識，檢驗數學結論（或假設）的教學活動。它由以下５個環(huán)節(jié)組成：準備——設計方案——實驗操作——觀察猜想——歸納結論。
【案例】“線面垂直的判定”的引入
每位同學事先準備一張頂點分別為Ａ，Ｂ，Ｃ的三角形紙片，進行下述實驗：
?、龠^頂點Ａ折疊紙片得到折痕ＡＤ，如圖１，再將折疊后的紙片放置在水平的桌面上，如圖２，請觀察：折痕ＡＤ與桌面垂直嗎？
②研究：如何折疊紙片，能使折痕ＡＤ與桌面垂直？如圖３。
③在圖３的情況下，若將折紙展平并讓它豎起來，如圖４，這張紙還能穩(wěn)穩(wěn)地豎立在桌面上嗎？即ＡＤ仍與桌面垂直嗎？ 
在動手操作中，同學們很容易發(fā)現：僅當折痕ＡＤ是ＢＣ上的高線時，ＡＤ可能與桌面垂直。此時，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ。引發(fā)學生思考：當ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ時，要使ＡＤ⊥面ＢＤＣ，還需要補充什么條件？從而進入理論證明。
經過這樣處理，一個抽象的數學定理就直觀地展示在我們面前。實驗活動不僅能幫助學生快速感知、記憶這個定理，而且能讓學生更加深刻地感知線面垂直的條件。
2.現代信息技術條件下的數學實驗教學模式這種教學模式是借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現問題情境，引導學生自主探究數學知識、檢驗數學結論（或假設）的教學活動。它包括以下５個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境——實驗探究——提出猜想——驗證猜想——問題拓展。
【案例】 網絡教室中一人一機環(huán)境下對直線與雙曲線交點個數問題的探究
（１）創(chuàng)設問題情境
①已知雙曲線ｘ２－ｙ２＝４和過定點Ｐ（０，２）的直線Ｌ，問直線Ｌ何時與雙曲線只有一個公共點？
②在計算機上觀察四條所求出的直線的位置特征。
③問題：當點Ｐ在平面內的其它位置時，過該點且與雙曲線只有一個公共點的直線有幾條？
（２）實驗探究
學生借助教師制作的課件（或積件），在計算機上進行自主探究或協(xié)作探究實驗。學生在計算機上繞定點Ｐ（０，２）旋轉直線，發(fā)現當直線Ｌ與雙曲線的漸近線平行時，直線Ｌ與雙曲線只有一個交點。這個規(guī)律是否有普遍性？從而引出新問題：若點Ｐ在平面內的其他位置，過該點并且與雙曲線只有一個公共點的直線有幾條？實驗繼續(xù)進行。
（３）提出猜想
通過實驗探索，學生大膽猜想：只要直線Ｌ與雙曲線的漸近線平行，那么直線Ｌ與雙曲線只有一個交點。
（４）驗證猜想
提出猜想之后，通過演繹推理來驗證猜想，或通過反例來否定猜想，是獲得正確結論的關鍵步驟。
（５）問題的拓展
①給定雙曲線和一個定點，過這個定點與雙曲線有兩個交點的直線有幾條？
②把雙曲線改為其它圓錐曲線，情況又如何？
四、數學實驗教學的功用和價值
1.數學實驗創(chuàng)設了良好的教學情境，使學生有興趣、有信心地學習數學
創(chuàng)設良好的教學環(huán)境可從兩方面進行。其一是創(chuàng)設寬松和諧的教學氛圍，倡導教學民主，從而使學生能夠有信心地參與教學活動。其二是創(chuàng)設有挑戰(zhàn)性的數學問題情景，吸引學生積極參與知識的建構過程。教學實踐表明，運用現代教育技術建立數學實驗室進行教學活動，是一種能夠引起態(tài)度和個性情緒變化的學習方式。
2.數學實驗為學生提供了探究學習的平臺，使學生積極主動地學習數學改變被動學習方式的關鍵是教師教學方式的變革。在“數學實驗”的活動中，教師設置實驗題目，組織學生小組學習，引導學生進行實驗，并將實驗結果進行歸納證明。教師變成教學的組織者和學習的引導者、合作者，學生則通過實驗操作進行觀察、分析、探索、猜想和歸納，從而親身體驗數學、理解數學，由接受性學習轉變?yōu)樘剿餍詫W習。
3.數學實驗拓展了學生探究問題的空間，使學生富有創(chuàng)造性地學習數學在數學實驗室的活動中，學生們模擬數學家發(fā)現數學的活動，積極觀察、比較、分析、猜想、歸納、論證，再現了數學發(fā)現過程。在這一過程中，學生的創(chuàng)造性思維能力得到了有效的培養(yǎng)。
五、對數學實驗教學存在問題和解決方法的思考
1.轉變觀念，正確認識數學實驗教學的意義盡管絕大多數數學教師認為做數學實驗是非常必要的，但在教學中卻做得很少，甚至不做。這是因為“數學實驗”是一種過程教學，盡管能有效地培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，但是在短期內難以提高學生的成績，就應試效果來說，比不上傳統(tǒng)的講解模式和大容量、高強度、多復習的課堂訓練。教師們面對升學壓力，舍不得在這上面多花費時間和精力。
其實，對學生來說，恰當的數學實驗能引起學習興趣、激發(fā)學習熱情、增加知識的深度和廣度，有利于分析和解決問題能力的培養(yǎng)。他們通過實驗形成的數學素質，日后將逐漸顯露出來。事實上，當前正在進行的課程改革對這一方面已比較重視。因此，數學教師必須轉變觀念，自覺加強數學實驗教學。
2.重視對學生數學實驗能力的培養(yǎng)
學生初次進行數學實驗嘗試，往往會不知所措。他們的主要困難是難以設計完整的實驗方案，在實驗中提不出問題，不善于歸納和形成猜想。針對這些問題，教師要循序漸進，從操作、交流開始，逐漸增加提問、猜想和評估，直到實驗設計，逐步提高要求。開始時要突出數學實驗的設計思想，并要演示操作過程，指導觀察和記錄，啟發(fā)學生進行驗證和歸納，有意識地讓學生提高參與的程度。
3.重視數學實驗的軟硬件建設
硬件是指計算機（包括圖形計算器）、測量工具等。目前不少學校計算機房只是供計算機課使用，輪不到數學課，因而利用計算機或網絡進行數學實驗難以開展。軟件就更加缺乏，教材中缺少實驗的內容，教學雜志上關于數學實驗的信息也很少，教師缺乏設計數學實驗的教學經驗。這就要求加大數學實驗所需要的軟硬件的投入力度，確保數學實驗教學的正常開展。
六、結束語
在提倡素質教育多年的今天，我們要審視傳統(tǒng)的數學教學模式，深刻理解課程改革的理念，積極探索，使我們的數學教學水平和效益上一個臺階。數學實驗教學是一種迫切需要。在數學教學中，應該充分挖掘實驗素材，利用好《幾何畫板》、Ｚ＋Ｚ智能教育平臺、圖形計算器等優(yōu)秀軟件平臺，為學生進行數學實驗創(chuàng)設良好的環(huán)境。
