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9.6乘法公式再認識——因式分解（二）

第1課時

云用平方差公式進行分解因式

一、教學目標：

1、使學生進一步理解因式分解的意義。

2、使學生理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征。

3、會運用平方差公式分解因式。

4、通過對比整式乘法和分解因式的關系，進一步發(fā)展學生的逆向思維能力。

5、感受整式乘法和分解因式矛盾的對立統(tǒng)一觀點。

6、培養(yǎng)學生積極主動參與探索的意識以及觀察能力。

7、感悟換元的思想方法。

說明  現(xiàn)在我們學習因式分解，如果要分解因式的多項式能寫成乘法公式的右邊形式，那么，我們就可以反過來運用乘法公式將它分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法，“反過來”指的是把公式左右兩邊換過來，這樣就可以利用這三個公式將某些多項式寫成因式的積的形式，即進行因式分解。這正是運用公式法的依據(jù)。

二、教學重點、難點：

1、理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征。

2.會運用平方差公式對某些多項式進行分解因式

三、教具、學具：

投影儀、條件較好的使用多媒體演示

四、教學過程：

（一）設置情景：

情景1、(x+5)(x-5)=（    ）     (a+b)(a-b)=(     )        (1)

        x² -25=(x+5)(     )      a² -b² =(a+b)(     )       (2)

情景2：計算圖中的陰影部分面積（用a、b的代數(shù)式表示）

問題一：整體計算可以怎樣表示？

問題二：分割成如圖兩部分可以怎樣計算？

問題三：比較兩種計算的結果你有什么發(fā)現(xiàn)？

說明：學生可能先分割再整體得出：(a+b)(a－b)=a²－b²    (1)

也有的是先整體再分割得出 a²－b²=(a+b)(a－b)           (2)

兩種形式加以比較進一步明確整式乘法和因式分解的關系。

思考：

1.對于（1）式從左邊到右邊的變形叫什么？

2.對于（2）式從左邊到右邊的變形叫什么？

3.我們已經學習提公因式法分解因式。在（2）式的左邊有公因式嗎？但它寫成右邊的形式是分解因式嗎？可見，沒有公因式的某些多項式也可以用別的方法分解。

（二）平方差公式的特征辨析：

把乘法公式(a+b)(a－b)=a²－b²反過來得：a²－b²=(a+b)(a－b)

我們可以運用這個公式對某些多項式進行分解因式。這種方法叫運用平方差公式法。

[議一議]：

下列多項式可以用平方差公式分解嗎？

（1）x²－y²    （2）x²+y²    （3）－x²－y²

（4）－x²+y²   （5）64－a²   （6）4x²－9y²

說明：這里是學生自主辨析公式特點的好機會，一定讓學生自己討論，只要能辨別哪些能用公式就可以，教師在具體使用時，可以先出示前面4道題，為了降低難度可以先把第5題寫為8²－a²然后改寫成64－a²形式，讓學生體會轉化的數(shù)學思想。對于最后一題若學生對冪的運算較生疏，可以適當補充練習，如：填空：4a²=(  )²  b²=(  )²   x²y²=(  )²。進而讓學生自己體會公式中的a與b可以表示一個數(shù)，也可以表示一個式子，滲透換元的思想方法。最后，教師可以用簡練的語言總結平方差公式的特點：

1.左邊特征是：二項式，每項都是平方的形式，兩項的符號相反。

2.右邊特征是：兩個二項式的積，一個是左邊兩項的底數(shù)之和，另一個是這兩個底數(shù)之差。

3.在乘法公式中，平方差是指計算的結果，在分解因式時，平方差是指要分解的多項式。

（三）例題教學

例1 把下列多項式分解因式：

(1)    36－25x²  (2)   16a²－9b²

分析：觀察是否符合平方差公式的形式，應引導學生把36、25x²、16a²、9b²改寫成6²、(5x)²、(4a)²和(3b)²形式，能否準確的改寫是本題的關鍵。

解：  36－25x²=6²－(5x)²

=(6+5x)(6－5x)

16a²－9b²=(4a)²－(3b)²

=(4a+3b)(4a－3b)

說明： (1)對于多項式中的兩部分不是明顯的平方形式,應先變形為平方形式,再運用公式分解,以免出現(xiàn)16a²－9b²=(16a+9b)(16a－9b)的錯誤。

（2）在此還要提醒防止出現(xiàn)分解后又乘開的現(xiàn)象，這是舊知識的“倒攝作用”所引起的現(xiàn)象。

例2 如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積。

解：   35²π－15²π

=π(35²－15²)

=(35+15)(35－15)π

=50×20π

=1000π(m²)

這個綠化區(qū)的面積是1000πm²

說明：在這里列出算式后可以讓學生自己討論怎么計算，要讓學生解釋他的解法，可能解釋為逆運用乘法結合律，也可能解釋為合并同類項，都要予以肯定，在這兒不要怕浪費時間，通過比較得出上述解法和前一節(jié)的提取公因式是一致的，從而為分解因式的一般步驟打下伏筆，即：先提公因式，再運用公式。

例3 把下列多項式分解因式：

1. (x+p)²－(x+q)²   2. 9(a+b)²－4(a－b)²

分析：在這里，尤其要重視對運用平方差公式前的多項式觀察和心算，而后是進行變形。這一點在這兒尤為重要。

解： (x+p)²－(x+q)²

=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]

=(2x+p+q)(p－q)

9(a+b)²－4(a－b)²

=[3(a+b)]²－[2(a－b)]²

=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]

=(5a+b)(a+5b)

說明：設計本題的目的是讓學生加深平方差公式中的a、b不僅可以表示數(shù)字、單項式，也可以是多項式，進一步滲透整體、換元的思想。

例4.（供選擇）觀察下列算式回答問題：

3²－1=8

5²－1=24=8×3

7²－1=48=8×6

9²－1=80=8×10

………

問：根據(jù)上述的式子，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用自己的語言表達你所發(fā)現(xiàn)的結論嗎？你能用數(shù)學式子來說明你的結論是正確的嗎？

解： 任意一個奇數(shù)的平方與1的差是8的整數(shù)倍。

(2n+1)²－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]

= (2n+2)·2n

=2(n+1)·2n

=4n(n+1)

因為n是整數(shù)，所以n、n+1是兩個連續(xù)的整數(shù)，而兩個連續(xù)的整數(shù)一定有一個是偶數(shù)，即n(n+1)是2的倍數(shù)，因此4n(n+1)是8的倍數(shù)。

（四）練習

1.下列分解因式是否正確：

（1）－x²－y²=(x+y)(x－y)

（2）9－25a²=(3+25a)(3+25b)

（3）－4a²+9b²=(－2a+3b)(－2a－3b)

2.把下列各式分解因式：

（1） 36－x²      （2）   a²－ b²      （3） x²－16y²

（4） x²y²－z²    （5） (x+2)²－9       （6）(x+a)²－(y+b)²

（7） 25(a+b)²－4(a－b)²                （8） 0.25(x+y)²－0.81(x－y)²

3.已知x²－y²=－1 ， x+y= ，求x－y的值。

（五）小結

學生自己說出通過本節(jié)課的學習進一步理解了整式的乘法與因式分解的關系。能用自己的語言說出平方差公式的特點。能體會出公式中的字母a、b不僅可以表示數(shù)字，而且可以是單項式、多項式。

選做

利用因式分解計算：

（1）

（2）(1－ )(1－ )(1－ )…(1－ )(1－ )

（3）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)²－(3m－n)²的值。