【同步教育信息】
一. 本周教學(xué)內(nèi)容：
互斥事件有一個發(fā)生的概率；相互獨立事件同時發(fā)生的概率
二. 本周教學(xué)重、難點：
1. 重點：
（1）了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率。
（2）相互獨立事件，獨立重復(fù)試驗的概率，相互獨立事件的概率乘法公式。
2. 難點：
（1）把復(fù)雜事件分拆成彼此互斥的簡單事件，求簡單事件的基本事件數(shù)。
（2）判斷各事件之間是否獨立。
【典型例題】
[例1] 在20件產(chǎn)品中，有15件一級品；5件二級品，從中任取3件，其中至少有1件為二級品的概率是多少？
解法一：基本事件總數(shù)為，從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件二級品的事件為
，恰有2件二級品的事件為
，恰有3件二級品的事件為
，則
=
解法二：
[例2] 從10個數(shù)字0，1，2，……，9中取4個不重復(fù)的數(shù)字排四位數(shù)，能排成一個4位偶數(shù)的概率是多少？
解：試驗結(jié)果的總數(shù)為種情況，設(shè)所求事件為A，因為要求的是偶數(shù)，所以個位數(shù)字只能取0，2，4，6，8中的任何一個，它需要分兩種情況：（1）個位數(shù)是0時，其余三位數(shù)可從1，2，……，9中選出，共有種；（2）當個位數(shù)取2，4，6，8中任何一個時，還需從其余的9個數(shù)字中任取3個，共有種。由于0不能放在首位（而0在首位有種），故以2，4，6，8為個位的四位偶數(shù)共有，于是能排成一個4位偶數(shù)的概率為。
[例3] 在一只袋子中裝有7個紅玻璃球和3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個。試求：
（1）取得兩個紅球的概率；
（2）取得兩個綠球的概率；
（3）取得兩個同顏色的球的概率；
（4）至少取得一個紅球的概率。
解：從10個球中先后取2個，共有種不同取法。
（1）由于取得兩個紅球的情況有種，所以取得兩個紅球的概率為
。
（2）取得兩個綠球的概率為。
（3）由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同色球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩同色球的概率為。
（4）由于事件C“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，因而至少取得一個紅球的概率為
[例4] 甲、乙兩個獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
（1）兩個人都譯出密碼的概率；
（2）兩個人都譯不出密碼的概率；
（3）恰有一個譯出密碼的概率；
（4）至多一個人譯出密碼的概率；
（5）至少一個人譯出密碼的概率。
解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A、B為相互獨立事件，且。
（1）兩個人都譯出密碼的概率為。
（2）兩個人都譯不出密碼的概率為
（3）恰有一個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有一個人譯出密碼的概率為
（4）“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“有兩個人譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為。
（5）“至少有1個人譯出密碼”的對立事件為“兩個未譯出密碼”，所以至少有1個人譯出密碼的概率為
[例5] 某戰(zhàn)士射擊中靶的概率為0.99，若連續(xù)射擊兩次，求：
（1）兩次都中靶的概率；
（2）至少有一次中靶的概率。
解：記事件為“第一次射擊中靶”，事件為“第二次射擊中靶”。
（1）兩次都中靶的概率為
（2）方法一：（直接法）
事件“至少有一次中靶”為，其概率為
方法二：（間接法）
事件“至少有一次中靶”的對立事件為“兩次都未中靶”，，其概率為
∴ 至少有一次中靶的概率為
[例6] 加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是2%、3%、5%，假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是什么？
解法一：設(shè)、、分別是第一、二、三道工序得到次品的事件，由題設(shè)可知，這些事件是相互獨立的，因為這些事件中任意一個、兩個或三個事件發(fā)生時，加工出來的零件即為次品。
設(shè)加工出來的零件為次品的事件為A，則
∴
即加工出來的零件為次品的概率為0.09693。
解法二：、、分別為第一、二、三道工序得到次品的事件，A為加工出來的零件為次品的事件，則，
又，
∴
∴
即加工出來的零件為次品的概率為0.09693。
[例7] 在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙三人各自通過測試的概率分別為、、，求：
（1）3人都通過體能測試的概率；
（2）只有2人通過體能測試的概率；
（3）只有1人通過體能測試的概率。
解：設(shè)A表示事件“甲通過體能測試”，B表示事件“乙通過體能測試”，C表示事件“丙通過體能測試”。由題意有，，。
（1）設(shè)M1表示“甲、乙、丙3人都通過體能測試”，即M1=ABC。由事件A、B、C相互獨立，可得。
（2）設(shè)M2表示事件“甲、乙、丙3人只有2人通過體能測試”，則。
由于事件A、B、，A、、C，、B、C均相互獨立，并且事件、、兩兩互斥，因此所求的概率為
。
（3）設(shè)表示事件“甲、乙、丙3人只有1人通過體能測試”，則
。
由于A、、，、B、，、、C相互獨立，并且事件，，兩兩互斥，所以所求的概率為
。
[例8] 如下圖，設(shè)每個電子元件能正常工作的概率均為，問甲、乙哪一種正常工作的概率大？
解：記元件正常工作為事件
甲電路中：、串聯(lián)，路中能工作的概率為，不能正常工作的概率為。
同理，路中不能工作的概率為。
而路與路為并聯(lián)電路，不能工作的概率為路，路同時不能工作，故甲線路中不能工作的概率為，所以甲線路正常工作的概率為
對于乙電路：、為并聯(lián)電路，路不能工作的概率為，能正常工作的概率為
同理，路能正常工作的概率為
又路與路為串聯(lián)電路，能正常工作的概率為
∵
∴ 圖乙正常工作的概率大。
[例9] 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“√”，不正確的記“×”，若某考生完全記上六個符號，試求：
（1）全部正確的概率；
（2）正確解答不少于4道的概率；
（3）至少正確解答一半的概率。
解：
（1）
（2）
（3）
【模擬試題】
一. 選擇：
1. 設(shè)有10個零件，其中6個是一等品，4個是二等品，從中任取3個，至少有一個是一等品的概率為（ ）
A. B.
C. D.
2. 奔騰市派出甲、乙兩支球隊參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊奪取冠軍的概率分別是和，則該市足球隊奪得全省足球冠軍的概率為（ ）
A. B. C. D.
3. 從1，2，……9中任取兩數(shù)，其中① 恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；② 至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③ 至少有一個是奇數(shù)和兩個是偶數(shù)；④ 至少有一個是奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)。
在上述事件中，是對立事件的是（ ）
A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③
4. 若事件A與B相互獨立，則下列不相互獨立的事件為（ ）
A. A與 B. 與 C. 與 D. B與A
5. 甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，那么恰好有1人解決這個問題的概率是（ ）
A. B.
C. D.
6. 設(shè)A、B互斥，且，有下面四個命題，其中正確命題的個數(shù)為（ ）
① A與B相互獨立 ② A與B對立
③ A與B不一定相互獨立 ④
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 某機械零件加工由2道工序組成，第1道工序的廢品率為，第2道工序的廢品率為，假定這2道工序出廢品是彼此無關(guān)的，那么產(chǎn)品的合格率是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在一次考試中，某班語文、數(shù)學(xué)、外語平均分在80分以上的概率分別為、、，則該班的三科平均分在80分以上的概率是（ ）
A. B. C. D.
二. 解答：
1. 在放有5個紅球，4個黑球，3個白球的袋中，任意取出3個球，分別求出3個全是同色球的概率及三球顏色互不相同的概率。
2. 一個工人看管三臺車床，在1小時內(nèi)車床不需要工人照管的概率：第一臺等于0.9，第二臺等于0.8，第三臺等于0.7，求在1小時內(nèi)至少有一臺車床需要工人照管著的概率。
3. 一電路由電池A與兩個并聯(lián)的電池B及C串聯(lián)而成，如圖，設(shè)電池A、B、C損壞的概率分別為0.3、0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率。
4. 甲廠生產(chǎn)的脫粒機，每臺連續(xù)使用不少于10年的概率是，乙廠生產(chǎn)的柴油機，每臺連續(xù)使用不少于10年的概率是。將一臺脫粒機與一臺柴油機配套使用，求下列各事件的概率。
（1）A（脫粒機與柴油機的連續(xù)使用期都不少于10年）；
（2）B（只有脫粒機的連續(xù)使用期不少于10年）；
（3）C（至少有一臺機器的連續(xù)使用期不少于10年）。
【試題答案】
一.
1. D 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. D
二.
1. 解：從12個球中任取3個，共有種不同取法，故全是同色球的概率為
三球的顏色互不相同的概率為
∴ ，
2. 解：設(shè)第一、二、三臺車床在1小時內(nèi)不需要工人照管的事件分別為A、B、C；在1小時內(nèi)至少有一臺車床需要工人照管的事件為D，則
又由于三臺車床在1小時內(nèi)不需要工人照管的事件是相互獨立的，所以
3. 解：設(shè)電池A、B、C損壞的事件分別為，電路發(fā)生間斷的事件為D，則
又 ∵
∴
∴
∴
即電池發(fā)生間斷的概率為0.328。
4. 解：記事件“脫粒機連續(xù)使用期不少于10年”為，事件“柴油機連續(xù)使用期不少于10年”為。
（1）脫粒機與柴油機的連續(xù)使用期都不少于10年的概率為
（2）只有脫粒機的使用期不少于10年的概率為
（3）至少有一臺機器的連續(xù)使用期不少于10年的概率為
【勵志故事】
半杯理論
亨利福特被美國人稱為“汽車之父”。1913年他率先采用流水線組裝汽車，第一次實現(xiàn)了10秒鐘組裝一部汽車的神話。幾年后民用汽車的價格降低了一半，小轎車不再是富豪的專屬。福特的思想對全世界的制造業(yè)也產(chǎn)生了極大的影響。今天，大到一架飛機，小到一包糖果，都可以在流水線上生產(chǎn)。福特汽車公司初具規(guī)模后，有一次，福特在高層會議中建議改進現(xiàn)有的裝配線，從而提高生產(chǎn)效率。這個提議遭到很多人反對：有人覺得改進裝配線，既要投資購買機器，又得重新培訓(xùn)工人，風險太大了；另一部分人則認為公司的生產(chǎn)能力已經(jīng)夠強，效益也很好，沒必要花力氣去提高效率。
聽完大家的意見，福特舉起桌上的玻璃杯問：“你們看到了什么？”有人擔憂地說：“半杯水被喝了，杯子空了一半。”“別擔心，”有人樂觀地說，“杯子里還有一半水，渴了還有半杯水可喝。”“和你們不同，我看到杯子容積是水的2倍。”福特說，“這里的水用個一半大小的杯子就能盛下。用一只大杯子做一只小杯子能做到的事，是對資源的浪費，是低效率。現(xiàn)在生產(chǎn)線上的員工們就像這個大杯子，有一半的潛力沒發(fā)揮出來。我要做的是換個小杯子，然后我們就可以用大杯子來盛更多、更好的東西了！”
