鞏固基礎(chǔ)，提升認(rèn)識(shí)
-----《分式方程復(fù)習(xí)課》教學(xué)設(shè)計(jì)
褚愛(ài)華（山東省濟(jì)南育英中學(xué)）
內(nèi)容簡(jiǎn)析
北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》八年級(jí)下冊(cè)三章《分式》第二單元.
本節(jié)課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是分式方程的概念、解法及應(yīng)用，是對(duì)分式方程單元學(xué)習(xí)的梳理、歸納、深化和鞏固.解分式方程的基本思想是通過(guò)“轉(zhuǎn)化”，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，所以也是對(duì)一元一次方程的復(fù)習(xí). 分式方程是將具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化的重要模型，通過(guò)復(fù)習(xí)能夠幫助學(xué)生更好的形成建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系.，增根的出現(xiàn)也將會(huì)使學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)有更進(jìn)一步的理解，因此本節(jié)復(fù)習(xí)可起到鞏固基礎(chǔ)，提升認(rèn)識(shí)的作用.
復(fù)習(xí)內(nèi)容較多，依據(jù)學(xué)生情況，可用一課時(shí)或兩課時(shí)完成.
教學(xué)目標(biāo)
1．通過(guò)變式練習(xí)復(fù)習(xí)分式方程的概念，體會(huì)分式方程的兩個(gè)重要特征，會(huì)識(shí)別分式方程和含有字母已知數(shù)的一元一次方程，加深對(duì)分式方程概念的理解.
2．通過(guò)解分式方程的訓(xùn)練，進(jìn)一步鞏固解分式方程的一般步驟，明確可化為一元一次方程的分式方程與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想..
3．通過(guò)對(duì)增根的討論，認(rèn)清關(guān)鍵，突破難點(diǎn)，提高認(rèn)識(shí).
4．通過(guò)層層深入的列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的練習(xí)，經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題—建立分式方程模型—求解—解釋解的合理性”的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).
教學(xué)重點(diǎn)
分式方程的解法以及列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn)
對(duì)分式方程增根的理解.
難點(diǎn)診斷：其一，解分式方程較之解整式方程對(duì)學(xué)生來(lái)講難度加大，在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中，容易出現(xiàn)去分母時(shí)漏乘整式項(xiàng)、符號(hào)變化錯(cuò)誤等.其二，學(xué)生對(duì)于解分式方程時(shí)產(chǎn)生增根的原因有疑惑，解整式方程的思維定勢(shì)對(duì)于解分式方程的步驟、檢驗(yàn)等會(huì)有負(fù)遷移.
方法闡釋
復(fù)習(xí)本單元知識(shí)時(shí)，將以層層深入的練習(xí)為主線，通過(guò)精選典型例題，暴露學(xué)生的思維，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題和疑惑，一方面鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，一方面解決新問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生在該知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到復(fù)習(xí)的目的.同時(shí)將有效利用信息技術(shù)，幫助學(xué)生分析問(wèn)題，指導(dǎo)解題方法.
教學(xué)流程
【設(shè)計(jì)意圖】在進(jìn)行復(fù)習(xí)之前，教師帶領(lǐng)學(xué)生以結(jié)構(gòu)圖的形式精要梳理本單元重點(diǎn)知識(shí)，使學(xué)生形成清晰的思路，以便更好地完成復(fù)習(xí)練習(xí).
二、 核心復(fù)習(xí)
活動(dòng)1：考考你（考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握）：
1．你能正確識(shí)別分式方程嗎？
下列方程是含有x的方程，其中是分式方程的是 （只填序號(hào)）.
(1) (2)
(3) 
(4) (5) 
(6) 
(7) (8) (9)
提出問(wèn)題：(1)什么是分式方程？（學(xué)生回答：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程）
(2)像題3、8中這樣的方程為什么不是分式方程？它們應(yīng)該是什么方程？如何看待其分母中的字母？根據(jù)學(xué)生的回答，幫助學(xué)生總結(jié)以下幾點(diǎn)：
點(diǎn)悟：
（1）分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.分式方程的特征是：①含分母，②分母中含有未知數(shù).分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)別分式方程與整式方程的標(biāo)志.
（2）本例中的方程是關(guān)于x的方程，未知數(shù)是x，其他字母皆為字母系數(shù).要注意分式方程與含有字母已知數(shù)方程的區(qū)別.
（3）分式方程的定義是形式上的定義.
（4）分式方程與整式方程統(tǒng)稱為有理方程.如就不是分式方程.
【設(shè)計(jì)意圖】以上教學(xué)設(shè)計(jì)，不是簡(jiǎn)單的讓學(xué)生重復(fù)概念，而是通過(guò)展示一組有一定難度的方程讓學(xué)生進(jìn)行辨別，在此過(guò)程中學(xué)生必將調(diào)動(dòng)自己對(duì)分式方程概念的理解，同時(shí)還要注意區(qū)分分式方程與整式方程，3、8中輔助字母的設(shè)計(jì)又幫助學(xué)生理解分式方程概念的關(guān)鍵點(diǎn)——分母中含有未知數(shù)，所以本設(shè)計(jì)可以說(shuō)是站在較高的層次上對(duì)分式方程概念的復(fù)習(xí)，達(dá)成核心目標(biāo).點(diǎn)悟中所設(shè)計(jì)的問(wèn)題（3）、（4）是對(duì)學(xué)生提出的發(fā)展性目標(biāo).
2．你會(huì)解分式方程嗎？
解下列分式方程：
（1） （2）
分析：(1)為確定最簡(jiǎn)公分母，各分母必須按照未知數(shù)的降冪排列，確定最簡(jiǎn)公分母是
2x-5；(2)將各分母按x的降冪排列，并分解因式確定最簡(jiǎn)公分母是（x-2）(x-3).
解：（1）原方程可變?yōu)椋?/span>，
方程兩邊同乘以（2x-5）得：x -5-（2x-5）= 0，
解得：x = 0，
檢驗(yàn)：把x = 0帶入最簡(jiǎn)公分母2x - 5 = -5≠0，
∴ x = 0是原方程的根.
（2）原方程可變?yōu)椋?/span>，
方程兩邊同乘以（x-2）(x-3)得：x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2），
解得：x = 1，
檢驗(yàn)：把x = 1帶入最簡(jiǎn)公分母（x-2）(x-3) =（1-2）(1-3)≠0，
∴ x = 1是原方程的根.
讓學(xué)生獨(dú)立解方程的基礎(chǔ)上總結(jié)以下解題步驟：
點(diǎn)悟：1.解分式方程的一般步驟：
（1） 去分母，即在方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；
（2） 解這個(gè)整式方程；
（3） 驗(yàn)根：把整式方程的根帶入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于0的根是原方程
的根，使最簡(jiǎn)公分母等于0的根是原方程的增根，必須舍去；
但是，此種驗(yàn)根方法并不能驗(yàn)出解方程過(guò)程中出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，因此還可以采用另一種
驗(yàn)根方法，即把所求得的未知數(shù)的值帶入原方程進(jìn)行檢驗(yàn).
2. 思維悟區(qū)分析：
(1) 最簡(jiǎn)公分母確定的不準(zhǔn)確；
(2) 去分母時(shí)漏乘整式項(xiàng)；
(3) 區(qū)分母時(shí)忽略符號(hào)的變化；
(4) 忘記驗(yàn)根.
【設(shè)計(jì)意圖】因?yàn)榻夥质椒匠淌且髮W(xué)生掌握的基本技能，所以先讓學(xué)生解方程，通過(guò)獨(dú)立解題，復(fù)習(xí)解方程的一般步驟，再通過(guò)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，反思解題中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，從正反兩個(gè)方面加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.所選兩個(gè)例題有一定的代表性.
活動(dòng)2：直擊難點(diǎn)（討論增根的問(wèn)題）：
1. 討論：增根到底從哪里來(lái)？
2．下面分式方程的解法是否正確？談?wù)勀愕南敕?/span>.
分式方程的增根是它變形后整式方程的根，產(chǎn)生增根的原因是由在分式方程的左右兩邊乘的最簡(jiǎn)公分母是0造成的，所以使最簡(jiǎn)公分母為0的未知數(shù)的值均有可能是增根，而且增根只有可能在這些值中出現(xiàn).
在上例中若采用這種解法：解：
2x-5 ≠ 0 ，∴ x = 0是原方程的根.
采用以上解法就避免了增根的出現(xiàn).你對(duì)這種解法有什么看法？?jī)煞N解法矛盾嗎？
3．靈活應(yīng)用：當(dāng)m為何值時(shí)，解方程： 會(huì)產(chǎn)生增根？
分析：當(dāng)方程的解使分式方程的某個(gè)分母值為0時(shí)，這個(gè)解就是此分式方程的增根..因此應(yīng)先解方程，用含m 的代數(shù)式表示x，再根據(jù)增根的條件進(jìn)行討論，求出m 的值.
解：（1）方程兩邊同乘以（x 1）（x-1）得：2（x-1）-5（x 1）= m
解得：
當(dāng)x=1或x=-1時(shí)，原方程有增根，
即： 或
解得：m = -10 或 m = -4，
∴當(dāng)m = -10 或 m = -4時(shí)，方程 會(huì)產(chǎn)生增根.
【設(shè)計(jì)意圖】由于分式方程的增根問(wèn)題是學(xué)生理解上的難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)過(guò)的情況下可能還會(huì)存在疑惑，因此安排了“直擊難點(diǎn)”這一專題，帶領(lǐng)學(xué)生討論增根的問(wèn)題.所選例題是在理解增根基礎(chǔ)上的靈活應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生較好的理解增根概念，并能利用其解決問(wèn)題.
活動(dòng)3：學(xué)以致用（對(duì)分式方程知識(shí)的靈活應(yīng)用）：
我國(guó)著名的數(shù)學(xué)大
例1：買西瓜的問(wèn)題（復(fù)習(xí)分式的應(yīng)用）
買西瓜時(shí)都是以斤論價(jià)，我們都希望瓜瓤部分占整個(gè)西瓜的比例越大越好.如果一批西瓜的瓜皮厚度都是d，請(qǐng)問(wèn)是買大西瓜合算還是買小西瓜合算？
分析：本題為分式的應(yīng)用，要想知道購(gòu)買大西瓜合算還是購(gòu)買小西瓜合算，需要計(jì)算可食用部分的多少，應(yīng)從尋求比例入手.
解：設(shè)西瓜的半徑R，則：
整個(gè)西瓜的體積=，西瓜瓤的體積=，
則，
利用“z z”課件展示，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化得出結(jié)論：R越大，越小，則1–越大，從而可以食用的部分占整個(gè)西瓜的比例越大，所以購(gòu)買大西瓜更合算.
例2：某自來(lái)水公司水費(fèi)計(jì)算辦法如下：若每戶每月用水不超過(guò)
分析: 列分式方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出相等關(guān)系,分析出數(shù)量關(guān)系, 從而恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù), 列出方程. 此題的主要等量關(guān)系是:：張家用水量 = 李家用水量?,
所以應(yīng)首先表示出兩家的用水量,這可以用水費(fèi)除以水的單價(jià)得出,但要注意水費(fèi)是由兩部分組成的:
解:設(shè)超過(guò)
根據(jù)題意得: .
解得: x = 2.
經(jīng)檢驗(yàn), x = 2是所列方程的根.
答: 超過(guò)
活動(dòng)4：開(kāi)放創(chuàng)新點(diǎn)擊:
兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游.甲公司給出的優(yōu)惠條件是: 一名教師收全票價(jià), 其余按7.5折;乙公司給的優(yōu)惠條件是:全部按8折收費(fèi). 經(jīng)核算甲公司的優(yōu)惠價(jià)比乙公司的優(yōu)惠價(jià)便宜. 問(wèn)參加旅游的學(xué)生人數(shù)是多少?
解:設(shè)有學(xué)生x人,全票價(jià)為a元.
根據(jù)題意,得: .
約去a得: .
解得: x = 8.
經(jīng)檢驗(yàn): x = 8是原方程的根.
點(diǎn)悟：有時(shí)為了列方程需要引入輔助未知數(shù)，在解題中消去這個(gè)未知數(shù)，即通常所說(shuō)
的“設(shè)而不求”，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法.
活動(dòng)5：自主探究平臺(tái)（行船問(wèn)題，考查學(xué)生分析較復(fù)雜應(yīng)用題的能力）：
一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí).一天，小船從早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流到達(dá)B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈.
問(wèn)：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少時(shí)間？
（2）救生圈是何時(shí)掉入水中的？
分析：本題是在水中的行船問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，所設(shè)計(jì)的基本關(guān)系除了路程、速度與時(shí)間之間的關(guān)系以外，還涉及到順流速度和逆流速度，另外，從A港到B港的路程不知道，可以將其設(shè)為單位1，由題可知順流速度為，逆流速度為 .第二問(wèn)的解答有一定困難，可通過(guò)“Z Z”課件展示運(yùn)動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生找出路程上的等量關(guān)系：救生圈掉落水中漂流的路程 小船返回逆流趙救生圈的路程=小船從救生圈掉落水中到發(fā)現(xiàn)救生圈丟落這段時(shí)間內(nèi)水流的路程.
解：（1）設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時(shí).
根據(jù)題意，得：—= ，
解方程，得：x = 48，經(jīng)檢驗(yàn)x = 48是原方程的解.
答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小時(shí).
（2）設(shè)救生圈是在y點(diǎn)鐘落入水中的，由題意可知發(fā)現(xiàn)救生圈丟落的時(shí)間是12點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得：（12-y 1） =（12-y），解方程得：y=11.
答：救生圈是在11點(diǎn)落入水中的.
【設(shè)計(jì)意圖】列分式方程解應(yīng)用題是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以上為學(xué)生設(shè)計(jì)了不同難度、
不同類型的四個(gè)題目，一方面復(fù)習(xí)列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，另一方面由于題目有較強(qiáng)的綜合性，可以培養(yǎng)學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
三、歸納小結(jié)
1．列分式方程解應(yīng)用題和列一元一次方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一樣的,不同的是因?yàn)橛辛朔质降母拍?/span>, 表示數(shù)與數(shù)的相互關(guān)系的代數(shù)式不再受整式的限制, 列等量關(guān)系式時(shí)更直接了.
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:
(1)審:審清題意;
(2)設(shè):恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù);
(3)找:找出題目中的等量關(guān)系;
(4)列:列分式方程;
(5)解:解分式方程;
(6)驗(yàn):檢驗(yàn),既要檢驗(yàn)所得到的根是否是原分式方程的根,又要檢驗(yàn)是否符合題意;
(7)答:寫出解答.
2．解分式方程的基本思想方法是：分式方程 →去分母 →整式方程，突出體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 轉(zhuǎn)化思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛.應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想可以把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，化未知為已知.本章中多處應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，例如：
分式除法→分式乘法，異分母分式加減法 → 同分母分式加減法等.
四、作業(yè)(一題多解，開(kāi)拓思維)
請(qǐng)用兩種方法解下列問(wèn)題：
某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期3天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做2天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問(wèn)規(guī)定日期是多少天?
教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
1、本課的教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)整體——部分——整體的思路，首先通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生對(duì)本章知識(shí)有系統(tǒng)的把握，構(gòu)建了完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再通過(guò)層層遞進(jìn)的變式練習(xí)，較好的達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的.本設(shè)計(jì)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容是考查的熱點(diǎn)之一，填空、選擇、解答題、應(yīng)用題是常見(jiàn)的題型，都一一進(jìn)行訓(xùn)練.本單元所設(shè)計(jì)的知識(shí)是分式方程的初步應(yīng)用，且僅為可化為一元一次方程的分式方程，將來(lái)還要學(xué)到可化為一元二次方程的分式方程，與本章知識(shí)有密切聯(lián)系.
2、利用了“Z Z智能教育平臺(tái)”數(shù)據(jù)處理功能和動(dòng)畫演示功能展示數(shù)據(jù)的變化情況更為直接，給學(xué)生動(dòng)態(tài)的感覺(jué)，再根據(jù)代入數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生很好地理解題意.利用課件的動(dòng)態(tài)演示應(yīng)用題的情景，能夠使復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程較為清晰的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，使題目中的數(shù)量關(guān)系清晰明了，形象直觀.
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