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如果機(jī)器字長為n，那么一個數(shù)的原碼就是用一個n位的二進(jìn)制數(shù)，其中最高位為符號位：正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1。剩下的n-1位表示該數(shù)的絕對值。

例如：

X= 101011 , [X]原= 0010_1011X=-101011 , [X]原= 1010_1011 

位數(shù)不夠的用0補(bǔ)全。

PS：正數(shù)的原、反、補(bǔ)碼都一樣，0的原碼跟反碼都有兩個，因?yàn)檫@里0被分為 0和-0。

反碼

知道了原碼，那么你只需要具備區(qū)分0跟1的能力就可以輕松求出反碼，為什么呢？因?yàn)榉创a就是在原碼的基礎(chǔ)上，符號位不變其他位按位取反(就是0變1，1變0)就可以了。

例如：

X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100

補(bǔ)碼

補(bǔ)碼也非常的簡單，就是在反碼的基礎(chǔ)上按照正常的加法運(yùn)算加1。

例如：

X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]補(bǔ)=1101_0101

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼這么記更簡單：符號位不變，其他的從低位開始，直到遇見第一個1之前，什么都不變；遇見第一個1后保留這個1，以后按位取反。

例：

[-7]原= 1 000011_1[-7]補(bǔ)= 1 111100_1

PS：0的補(bǔ)碼是唯一的，如果機(jī)器字長為8那么[0]補(bǔ)=0000_0000。

移碼

移碼最簡單了，不管正負(fù)數(shù)，只要將其補(bǔ)碼的符號位取反即可。

例如：

X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]補(bǔ)=1101_0101，[X]移=0101_0101

一些基本概念

本篇文章講解了計(jì)算機(jī)的原碼、反碼和補(bǔ)碼，并且進(jìn)行了深入探求了為何要使用反碼和補(bǔ)碼，以及更進(jìn)一步的論證了為何可以用反碼、補(bǔ)碼的加法計(jì)算原碼的減法。論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正！

機(jī)器數(shù)和符號位

在學(xué)習(xí)原碼、反碼和補(bǔ)碼之前，需要先了解機(jī)器數(shù)和真值的概念。

一個數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式,  叫做這個數(shù)的機(jī)器數(shù)。

機(jī)器數(shù)是帶符號的，在計(jì)算機(jī)用一個數(shù)的最高位存放符號, 正數(shù)為0、負(fù)數(shù)為1。

比如，十進(jìn)制中的數(shù) 3 ，如果計(jì)算機(jī)字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是0000_0011。如果是 -3 ，就是 1000_0011(原碼) 。

那么，這里的 0000_0011 和 1000_0011(原碼) 就是機(jī)器數(shù)。

真值

因?yàn)榈谝晃皇欠栁唬詸C(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) 1000_0011，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3，而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機(jī)器數(shù)對應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。

例：0000_0001的真值 =  000_0001 = 1，1000_0001的真值 = –000_0001 = –1

在探求為何機(jī)器要使用補(bǔ)碼之前，讓我們先了解原碼、反碼和補(bǔ)碼的概念。

對于一個數(shù)，計(jì)算機(jī)要使用一定的編碼方式進(jìn)行存儲，原碼、反碼、補(bǔ)碼是機(jī)器存儲一個具體數(shù)字的編碼方式。

原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其余位表示值。比如如果是8位二進(jìn)制：

[ 1]原 = 0000_0001[-1]原 = 1000_0001

因?yàn)榈谝晃皇欠栁?，所?位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是：

[1111_1111 , 0111_1111]  即 [-127 , 127] 

注意不是 [-128 , 127] 或 [-128 , 128] 

原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式。

反碼

反碼的表示方法是：

正數(shù)的反碼是其本身。負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，【符號位不變】，其余各個位【取反】。

[ 1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反

可見如果一個反碼表示的是負(fù)數(shù)，人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值，通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算。

補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的表示方法是：

正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，【符號位不變】，其余各位取反，最后 1，即【取反 1】。

[ 1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]補(bǔ)[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]補(bǔ)

對于負(fù)數(shù)，補(bǔ)碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的，通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算其數(shù)值。

以上概念其實(shí)很好理解，就是一些規(guī)則而已，但問題是，為什么要制定這些規(guī)則呢？下面我們就來探討探討這個問題。

為何要使用原碼、反碼和補(bǔ)碼

現(xiàn)在我們知道了，計(jì)算機(jī)可以有三種編碼方式表示一個數(shù)，對于正數(shù)因?yàn)槿N編碼方式的結(jié)果都相同，所以不需要過多解釋。但是對于負(fù)數(shù)，其原碼、反碼和補(bǔ)碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別并用于計(jì)算表示方式，為何還會有反碼和補(bǔ)碼呢?

首先，希望能用符號位代替減法...

首先，因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號位，在計(jì)算的時(shí)候我們會根據(jù)符號位選擇對真值區(qū)域的加減。

但是對于計(jì)算機(jī)，加減乘數(shù)是最最最最基礎(chǔ)的運(yùn)算，要設(shè)計(jì)的盡量簡單，計(jì)算機(jī)辨別"符號位"會讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，于是，人們想出了將符號位也參與運(yùn)算的方法。

我們知道，根據(jù)運(yùn)算法則，減去一個正數(shù)等于加上一個負(fù)數(shù)，即：1-1 = 1 (-1)，所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法，這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了。

但是，用原碼計(jì)算時(shí)有一些問題...

于是人們就開始探索將符號位參與運(yùn)算并且只保留加法的方法。

首先來看原碼：

1 - 1 = 1   (-1) = [0000_0001]原   [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2 

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計(jì)算，顯然對于減法來說結(jié)果是不正確的。

這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個數(shù)。

PS：對于上一句話，白哥要打一個大大的問號？雖說包括Java、C在內(nèi)的很多編程語言，在設(shè)計(jì)整型時(shí)，其定義都是：【8/16/32/64-bit signed two's complement integer】即：【8/16/32/64位有符號二進(jìn)制補(bǔ)碼整數(shù)】但也不能說計(jì)算機(jī)內(nèi)部不是采用原碼表示的吧？

于是，反碼出現(xiàn)了，但還有問題...

為了解決原碼做減法的問題，出現(xiàn)了反碼：

1 - 1 = 1   (-1) = [0000_0001]原   [1000_0001]原= [0000_0001]反   [1111_1110]反 = [1111_1111]反 = [1000_0000]原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法，結(jié)果的真值部分是正確的，而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"0"這個特殊的數(shù)值上。雖然人們理解上 0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0000_0000]原和[1000_0000]原兩個編碼表示0。

補(bǔ)碼解決了遺留的這個問題..

于是補(bǔ)碼出現(xiàn)了，它解決了0的符號以及兩個編碼的問題：

1-1 = 1   (-1) = [0000_0001]原   [1000_0001]原 = [0000_0001]補(bǔ)   [1111_1111]補(bǔ) = [0000_0000]補(bǔ)=[0000_0000]原 = 0

這樣0用[0000_0000]表示， 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了。

并且，還有意外收獲..

除此之外，還可以用 [1000_0000]補(bǔ) 表示-128：

(-1)   (-127) = [1000_0001]原   [1111_1111]原 = [1111_1111]補(bǔ)   [1000_0001]補(bǔ) = [1000_0000]補(bǔ)

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128，在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中， [1000_0000]補(bǔ) 就代表-128。

注意，-128并沒有原碼和反碼表示。

使用補(bǔ)碼不僅僅修復(fù)了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數(shù)，這就是為什么8位二進(jìn)制使用原碼或反碼表示的范圍為 [-127, 127]，而使用補(bǔ)碼表示的范圍為 [-128, 127] 的原因。

因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼，所以對于編程中常用到的32位int類型可以表示范圍是  [-2^31, 2^31-1] ，因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠栁?，而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個最小值。

從數(shù)學(xué)角度深究原碼、反碼、補(bǔ)碼

警告：以下因?yàn)樯婕暗綌?shù)學(xué)原理性的問題，個人不保證絕對正確，且極有可能出現(xiàn)一些原理性錯誤，請謹(jǐn)慎對待！

計(jì)算機(jī)巧妙地把符號位參與運(yùn)算，并且將減法變成了加法，背后蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)原理呢？

將鐘表想象成是一個1位的12進(jìn)制數(shù)，如果當(dāng)前時(shí)間是6點(diǎn)，我希望將時(shí)間設(shè)置成4點(diǎn)，需要怎么做呢？我們可以：

1. 往回?fù)?個小時(shí): 6 - 2 = 4 2. 往前撥10個小時(shí): (6   10) mod 12 = 4 3. 往前撥10 12=22個小時(shí): (6 22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余數(shù)是4。

所以鐘表往回?fù)?減法)的結(jié)果可以用往前撥(加法)替代！

現(xiàn)在的焦點(diǎn)就落在了如何用一個正數(shù)來替代一個負(fù)數(shù)。

上面的例子我們能感覺出來一些端倪，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。但是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，不能靠感覺。

首先介紹一個數(shù)學(xué)中相關(guān)的概念：同余

同余的概念

兩個整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。

舉例說明：

4 mod 12 = 4 16 mod 12 = 4 28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余。

負(fù)數(shù)取模的計(jì)算

正數(shù)進(jìn)行mod運(yùn)算是很簡單的，但是負(fù)數(shù)呢？

下面是關(guān)于mod運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義：

上面是截圖，下面是使用"["和"]"替換上圖的"取下界"符號：

x mod y = x - y [ x / y ]

上面公式的意思是:

x mod y 等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界

以 -3 mod 2 舉例:

-3 mod 2= -3 - 2*[-3/2] = -3 - 2*[-1.5] = -3 - 2*(-2)= -3   2 = 1

所以：

(-2) mod 12 = 12-2 =10(-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 

數(shù)學(xué)證明

再回到時(shí)鐘的問題上：

回?fù)?小時(shí) = 前撥10小時(shí)回?fù)?小時(shí) = 前撥8小時(shí)回?fù)?小時(shí)= 前撥7小時(shí)

注意這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律！

結(jié)合上面學(xué)到的同余的概念，實(shí)際上:

(-2) mod 12 = 1010 mod 12 = 10

-2與10是同余的

(-4) mod 12 = 88 mod 12 = 8

-4與8是同余的

距離成功越來越近了，要實(shí)現(xiàn)用正數(shù)替代負(fù)數(shù)，只需要運(yùn)用同余數(shù)的兩個定理：

反身性：

a ≡ a (mod m) 

這個定理是很顯而易見的。

線性運(yùn)算定理：

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm 

所以：

7 ≡ 7 (mod 12)(-2) ≡ 10 (mod 12)7 -2 ≡ 7   10 (mod 12)

現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€負(fù)數(shù)找到了它的正數(shù)同余數(shù)，但是并不是 7-2 = 7 10，而是 7 -2 ≡ 7 10 (mod 12)，即計(jì)算結(jié)果的余數(shù)相等。

接下來回到二進(jìn)制的問題上，看一下：2-1=1的問題。

2-1=2 (-1) = [0000 0010]原   [1000 0001]原= [0000 0010]反   [1111 1110]反

先到這一步，-1的反碼表示是1111 1110，如果這里將[1111 1110]認(rèn)為是原碼，則[1111 1110]原 = -126，這里將符號位除去，即認(rèn)為是126。

發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:

(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126 

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)2-1 ≡ 2 126 (mod 127)

2-1 與 2 126的余數(shù)結(jié)果是相同的！而這個余數(shù)，正式我們的期望的計(jì)算結(jié)果：2-1=1

所以說一個數(shù)的反碼，實(shí)際上是這個數(shù)對于一個膜的同余數(shù)；而這個膜并不是我們的二進(jìn)制，而是所能表示的最大值！

這就和鐘表一樣，轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個正確的數(shù)值！

而2 126很顯然相當(dāng)于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪，而因?yàn)榉栁皇菂⑴c計(jì)算的，正好和溢出的最高位形成正確的運(yùn)算結(jié)果。

既然反碼可以將減法變成加法，那么現(xiàn)在計(jì)算機(jī)使用的補(bǔ)碼呢？為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1還能得到正確的結(jié)果？

2-1=2 (-1) = [0000 0010]原   [1000 0001]原 = [0000 0010]補(bǔ)   [1111 1111]補(bǔ)

如果把[1111 1111]當(dāng)成原碼，去除符號位，則：

[0111 1111]原 = 127

其實(shí)，在反碼的基礎(chǔ)上 1，只是相當(dāng)于增加了膜的值：

(-1) mod 128 = 127127 mod 128 = 127 2-1 ≡ 2 127 (mod 128)

此時(shí)，表盤相當(dāng)于每128個刻度轉(zhuǎn)一輪，所以用補(bǔ)碼表示的運(yùn)算結(jié)果最小值和最大值應(yīng)該是[-128, 128]。

但是由于0的特殊情況，沒有辦法表示128，所以補(bǔ)碼的取值范圍是[-128, 127]