中考數(shù)學(xué)知識點：幾何中的邏輯思維與形象思維
2014-11-21 14:48
來源：上海新東方
作者：鄧娟
淺談幾何中的邏輯思維與形象思維
所謂邏輯思維,即是人們運用概念、判斷、推理等思維形式及其邏輯結(jié)構(gòu),反映客觀事物的內(nèi)在本質(zhì)或規(guī)律性活動的思維過程。它是人們在認識客觀事物的過程中,以對感性認識材料加工制作為基礎(chǔ)所形成的理性認識。這種思維滲透在人類獲取新知識、新理論以及解決新問題的各個領(lǐng)域。如果說人的思維是一種網(wǎng)絡(luò)狀態(tài),各種思維類型相互交織影響人們的認識活動和行為方式,那么,其中的邏輯思維就是主線,它發(fā)揮著制約、協(xié)調(diào)、牽動全局的作用。
初中數(shù)學(xué)中幾何是很重要的一個知識點，而幾何證明的推導(dǎo)過程則恰恰是邏輯思維的體現(xiàn)，在證明過程中，按照證明中推理的思路順逆的不同，證明方法可分為分析法和綜合法。
分析法，它是未知到已知的推理方法，這是初中幾何教學(xué)中常見的方法，具體的講就是從未知看需知，逐步靠攏已知的過程。
綜合法，它是由已知引導(dǎo)到未知的推理方法，具體一點說它是“從已知，看可知，逐步推向未知”的過程。
分析法與綜合法是兩種不同的思維方法，它們還是有區(qū)別的，一個是從條件出發(fā)推導(dǎo)出結(jié)論，一個是從結(jié)論出發(fā)尋找條件，兩者思考是順逆相反的，但它們又是相聯(lián)系的，不可分割的，通常我們在思考一個問題時，既有分析，又有綜合，分析綜合的過程就是大腦進行邏輯推理的過程，考驗人嚴密的邏輯思維能力。
但是隨著邏輯思維在幾何中的主導(dǎo)作用，不少人對其在幾何中的作用有所夸大或者認識存在偏差，認為邏輯思維是解決問題的唯一通道，從而忽略了形象思維在幾何證明中發(fā)揮的作用，幾何圖形常常引起我們的想象，給我們很多的啟迪．我們利用幾何圖形進行形象思維,再綜合演繹推理、歸納推理和類比推理等,將直覺思維和抽象思維結(jié)合，形成一定的思維模式,將人們已有的知識分門別類,把有邏輯聯(lián)系的內(nèi)容集中在一起,碰撞出認識的火花,從而實現(xiàn)思維活動目標。
所以幾何證明的推導(dǎo)過程是邏輯思維和形象思維相結(jié)合的過程，二者是互相滲透,交錯運用。
幾何學(xué)研究的是規(guī)律
比如，等腰三角形的性質(zhì)“等腰三角形兩底角相等（即等邊對等角）”，顯然說的就是一條規(guī)律，因為這并不是針對具體的某一個幾何圖形得出的結(jié)論，而是對任何有兩條邊相等的三角形都成立的命題，這樣的三角形有無窮多個，不可能將其全部畫出一一進行核實，只能通過抽象的邏輯推理才能確認結(jié)論是否成立。否則，即使畫出億萬個等腰三角形核實了兩底角相等，也不能證明結(jié)論成立，也許下一個等腰三角形就不相等了呢！當(dāng)然，經(jīng)驗論者能夠接受這個結(jié)論，但是經(jīng)驗論本身就承認其經(jīng)驗存在出錯的可能性。然而，在同一個幾何體系中（下同），若命題經(jīng)過嚴密的邏輯推導(dǎo)確認成立，則不存在任何出錯的可能性！
邏輯嚴密的幾何學(xué)
因為，只有這樣的命題才能用于新的邏輯推導(dǎo)中，才能成為幾何邏輯體系中的一員，所以必須確保命題的絕對正確性。事實上，整個幾何邏輯體系就是這樣一層一層建立起來的，具有絕對正確性，所以能長存不衰！自從兩千多年前歐幾里德在《幾何原本》中首次采用這種方式建立歐氏幾何以來，該方法被后人廣泛應(yīng)用于非歐幾何、科學(xué)、哲學(xué)甚至倫理學(xué)和神學(xué)等思維領(lǐng)域的研究之中。
所以，幾何雖然常常表現(xiàn)為一些簡單的圖形，但這些圖形本身并不是幾何研究的目的，圖形表達的規(guī)律才是幾何研究的目的，所以說幾何本質(zhì)上其實是邏輯，當(dāng)然這里實際上更應(yīng)該說是“幾何學(xué)”。
“幾何學(xué)”與經(jīng)驗論的本質(zhì)區(qū)別是其結(jié)論是否絕對正確。對經(jīng)驗論來說，通過某些具體情形下的正確結(jié)論來大致判斷其它類似情形下是否正確，并不能確保正確，在一些不重要的場合沒其它辦法時才勉強使用，而幾何結(jié)論需要能在任何情況下均可放心使用并確保正確。
也正因為如此，幾何學(xué)常常對一些看起來很“常識”性的命題也要進行嚴密的邏輯推導(dǎo)。整個歐氏幾何中龐大的命題體系中，只有五個“公設(shè)”不需要證明，其余命題都經(jīng)過了嚴密的邏輯證明，可以確保在歐氏體系中絕對正確。
如以下命題，雖然憑直觀可確認是正確的常識性命題，但在《幾何原本》中都使用定義、公設(shè)、公理作了嚴密的邏輯證明：
命題1：以一條已知線段為邊可作等邊三角形；
命題2：以任意點為端點可作一條與已知線段長度相等的線段；
命題10：可以在線段上取一個中點；
看到這些命題，牛頓認為《幾何原本》只是一本研究常識問題的書，從而忽視了它的重要性。后來因此遇到了挫折，牛頓又重新學(xué)習(xí)研究了《幾何原本》，完善了邏輯思維體系，他的不少著作都有明顯的《幾何原本》邏輯體系的影子，最后做出了巨大的科學(xué)貢獻。
綜上所述，可知幾何誕生之初就含有邏輯基因，事實上，整個幾何體系都是在邏輯的土壤中建立起來的，幾何的本質(zhì)就是一種形式邏輯，學(xué)習(xí)和研究幾何的主要意義就在于提高邏輯思維能力。
