第20講 多邊形的面積
我們已經(jīng)學習過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計算，圖形及計算公式如下：
正方形面積=邊長×邊長=a2，
長方形面積=長×寬=ab，
平行四邊形面積=底×高=ah，
圓面積=半徑×半徑×π=πr2，
扇形面積=半徑×半徑×π×圓心角的度數(shù)÷360°
在實際問題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計算。在本講和后面的兩講中，我們將學習如何計算它們的面積。
例1 小兩個正方形組成下圖所示的組合圖形。已知組合圖形的周長是52厘米，DG=4厘米，求陰影部分的面積。
分析與解：組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因為CG部分重合了。用組合圖形的周長減去DG，就得到大、小正方形邊長之和的三倍，所以兩個正方形的邊長之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由兩個正方形的邊長之差是4厘米，可求出
大正方形邊長=（16+4）÷2=10（厘米），
小正方形邊長=（16-4）÷2=6（厘米）。
兩個正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，就得到陰影部分的面積。
102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
例2如左下圖所示，四邊形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。
分析與證明：這道題兩個平行四邊形的關系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié)CE（見右上圖），這時通過三角形DCE，就把兩個平行四邊形聯(lián)系起來了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。
兩個平行四邊形的面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。
例3如左下圖所示，一個腰長是20厘米的等腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點，這個點到兩腰的垂線段的長分別是a厘米和b厘米。求a+b的長。
分析與解：a，b與三角形面積的關系一下子不容易看出來。連結(jié)等腰三角形的頂點和底邊上所取的點，把等腰三角形分為兩個小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米（見右上圖）。大三角形的面積與a，b的關系就顯露出來了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個小三角形的面積分別為 20×a÷2和20×b÷2。
因為這兩個小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有
20×a÷2+20×b÷2=140，
10×（a+b）=140，
a+b=14（厘米）。
在例2、例3中，通過添加輔助線，使圖形間的關系更清晰，從而使問題得解。下面再看一例。
例4如左下圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長一倍到D，E，F(xiàn)，兩兩連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到一個新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。
分析與解：想辦法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯(lián)系。連結(jié)FB（見右上圖）。
因為CA=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因為AB=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20（厘米2）。
同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。
所以三角形DEF的面積等于20×3+10=70（厘米2）。
例5一個正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長方形比原來正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長方形的面積。
分析與解：根據(jù)已知條件畫出下頁左上圖，其中甲、乙、丙為截去的部分。
由左上圖知，丙是長15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150（厘米2）。
因為甲、丙形成的矩形的長等于原正方形的邊長，乙、丙形成的矩形的長也等于原正方形的邊長，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于10+15=25（厘米），長等于原正方形的邊長，面積等于
?。?丙）+（乙+丙）
= 甲+乙+丙）+丙
= 1725+150
= 1875（厘米2）。
所以原正方形的的邊長等于1875÷25=75（厘米）。剩下的長方形的面積等于75×75-1725=3900（厘米2）。
例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見右圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。
分析與解：把黃色正方形紙片向左移動并靠緊盒子的左邊。由于三個正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁右上圖。此時露出的黃、綠兩部分的面積相等，都等于
?。?4+10）÷2=12。
因為綠：紅=A∶黃，所以
綠×黃=紅×A，
A=綠×黃÷紅
=12×12÷20=7.2。
正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2。
練習20
1.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個最大的正方形，求這個正方形的面積。
2.如左下圖所示，平行四邊形ABCD的周長是75厘米，以BC為底的高是14厘米，以CD為底的高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。
3.如右上圖所示，在一個正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平方米？
4.如右圖所示，一個長方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是28厘米2，梯形的上底長是多少厘米？
5.如下圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形ABC的面積是多少？
6.一個長方形的周長是28厘米，如果它的長、寬都分別增加3厘米，那么得到的新長方形比原長方形的面積增加了多少平方厘米？
7.如下圖所示，四邊形ABCD的面積是1，將BA，CB，DC，AD分別延長一倍到E，F(xiàn)，G，H，連結(jié)E，F(xiàn)，G，H。問：得到的新四邊形EFGH的面積是多少？
