第29講 抽屜原理(一)
我們?cè)谒哪昙?jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)抽屜原理，并能夠解答一些簡(jiǎn)單的 抽屜原理問(wèn)題。這兩講先復(fù)習(xí)一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問(wèn)題，討論如何構(gòu)造抽屜。
抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。
抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（m+1）件。
理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無(wú)妨。
?。?）“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。
?。?）抽屜原理只能用來(lái)解決存在性問(wèn)題，“至少有一個(gè)”的意思就是存在，滿(mǎn)足要求的抽屜可能有多個(gè)，但這里只需保證存在一個(gè)達(dá)到要求的抽屜就夠了。
?。?）將a件物品放入n個(gè)抽屜中，如果a÷n= m……b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。
例1 五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿(mǎn)分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以下，其余學(xué)生的成績(jī)均在75～95分之間。問(wèn)：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？
分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問(wèn)“至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同”，說(shuō)明應(yīng)以成績(jī)?yōu)槌閷?，學(xué)生為物品。除3名成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績(jī)均在75～95分之間，75～95共有21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44（個(gè)）學(xué)生作為物品。
44÷21= 2……2，
根據(jù)抽屜原理2，至少有1個(gè)抽屜至少有3件物品，即這47名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的成績(jī)是相同的。
例2 夏令營(yíng)組織2000名營(yíng)員活動(dòng)，其中有爬山、參觀(guān)博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。那么至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同？
分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱?wèn)的是“至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營(yíng)員當(dāng)成物品。營(yíng)員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問(wèn)題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。
因?yàn)?#8220;每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)”，共有3項(xiàng)活動(dòng)，所以只參加一項(xiàng)活動(dòng)的有3種情況，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的有爬山與參觀(guān)、爬山與海灘游玩、參觀(guān)與海灘游玩3種情況，所以共有3+3=6（個(gè)）抽屜。
2000÷6=333……2，
根據(jù)抽屜原理2，至少有一個(gè)抽屜中有333+1=334（件）物品，即至少有334名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目是相同的。
例3把125本書(shū)分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書(shū)，那么，這個(gè)班最多有多少人？
分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧?shū)分給學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書(shū)是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無(wú)論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問(wèn)題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。由 1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于4件物品。也就是說(shuō)這個(gè)班最多有41人。
同學(xué)們想一想，如果有42個(gè)人，還能保證至少有一人分到至少4本書(shū)嗎？
例4五（1）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒(méi)做得1分，做錯(cuò)得0分。張老師說(shuō)：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？
分析與解：由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。
如果用（a，b）表示各題的得分情況，其中a，b分別表示第一、二題的得分，那么有
?。?，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），
?。?，0），（0，2），（0，1），（0，0）
9種情況，即有9個(gè)抽屜。
本題變?yōu)椋阂阎?個(gè)抽屜中至少有一個(gè)抽屜至少有6件物品，求至少有多少件物品。反著用抽屜原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。
例3與例4盡管都是求學(xué)生人數(shù)，但因?yàn)閱?wèn)題不同，所以構(gòu)造的抽屜也不同，例3中將學(xué)生作為抽屜，例4中則將學(xué)生作為物品?？梢?jiàn)利用抽屜原理解題，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題靈活構(gòu)造抽屜。一般地，當(dāng)問(wèn)“最少有多少××”時(shí)，應(yīng)將××作為物品，如例1，2，4；當(dāng)問(wèn)“最多有多少××時(shí)，應(yīng)將××作為抽屜，如例3。
例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。
分析與解：因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：
?。ㄆ?，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。
將這四種情況作為4個(gè)抽屜，五組作為5件物品，由抽屜原理1知，至少有一個(gè)抽屜中有兩件物品。即這五組中至少有兩組的情況相同，將這兩組人數(shù)相加，男孩人數(shù)與女孩人數(shù)都是偶數(shù)。
練習(xí)29
1.某單位購(gòu)進(jìn)92箱桔子，每箱至少110個(gè)，至多138個(gè)，現(xiàn)將桔子數(shù)相同的作為一組，箱子數(shù)最多的一組至少有幾箱？
2.幼兒園小朋友分200塊餅干，無(wú)論怎樣分都有人至少分到8塊餅干，這群小朋友至多有多少名？
3.有若干堆分幣，每堆分幣中沒(méi)有幣值相同的分幣。任意挑選多少堆分幣，才能保證一定有兩堆分幣的組成是相同的？
4.圖書(shū)館有甲、乙、丙、丁四類(lèi)圖書(shū)，規(guī)定每個(gè)同學(xué)最多可以借兩本不同類(lèi)的圖書(shū)，至少有多少個(gè)同學(xué)借書(shū)，才能保證有兩個(gè)人所借的圖書(shū)類(lèi)別相同？
5.我國(guó)人口已超過(guò)12億，如果人均壽命不超過(guò)75歲，那么我國(guó)至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不會(huì)超過(guò)2秒鐘。這個(gè)結(jié)論是否正確？
6.紅光小學(xué)五（2）班選兩名班長(zhǎng)。投票時(shí)，每個(gè)同學(xué)只能從4名候選人中挑選2名。這個(gè)班至少應(yīng)有多少個(gè)同學(xué)，才能保證有8個(gè)或8個(gè)以上的同學(xué)投了相同的2名候選人的票？
7.把135塊餅干分給16個(gè)小朋友，若每個(gè)小朋友至少要分到一塊餅干，那么不管怎樣分，一定會(huì)有兩個(gè)小朋友得到的餅干數(shù)目相同。為什么？
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