數(shù)學學到平面向量,用向量來表示三角形的“心”是很有意思的事。但,歷來的遺憾都是,很多學生不知道這些“心”是什么,而且學過之后總是忘記。功利化一點說,“四心”是高考考點,事實上,問題發(fā)現(xiàn)本身的樂趣就是一種牽引。整理一下,三角形有“心”有很多,相應的性質(zhì)研究還遠未結(jié)束,雖然一些“心”的發(fā)現(xiàn)與證實充滿艱辛,除了有限的應用價值,更離不開對美的探尋與向往。
每個“心”的做法、相應的性質(zhì)及實際價值等有時間會陸續(xù)補充,個別內(nèi)容來自維基百科,糾正了其中部分漏洞與錯誤。
以下按圖順序,介紹三角形的部分“心”。
重心:三條中線的交點。(重心把每條中線內(nèi)分為2:1兩段;三角形外心和重心的距離等于垂心與重心的距離的一半;重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比;重心到三角形3個頂點距離的平方和最小……)
外心:三邊中垂線交點。(外接圓的圓心;銳角三角形的外心在形內(nèi),鈍角三角形的外心在形外,直角三角形的外心與斜邊中點重合……)
垂心:三條高線交點。(垂心分每條高線的兩部分乘積相等;三角形三個頂點,三個垂足,垂心這7個點可以得到6個四點圓;三角形外心和重心的距離等于垂心與重心的距離的一半……)
內(nèi)心:三個內(nèi)角角平分線交點。(內(nèi)切圓的圓心;內(nèi)心到三邊距離相等;連結(jié)內(nèi)心與三個頂點會得到三個面積相等的三角形……)
旁心:一個內(nèi)角平分線與另兩個角的外角平分線交點。(旁切圓圓心;每個三角形都有三個旁心;旁心到三邊的距離相等……)
界心:D、E、F分別在ABC的三邊BC、CA、AB上,且把周長分成兩條等長的折線,AD、BE、CF三線共點。界心又叫做奈格爾點。有趣的是,D、E、F三點恰好是旁切圓與三邊的切點。
陪位重心:AD、BE、CF為三角形的中線,D'、E'、F'分別在BC、CA、AB上,若∠BAD=∠D'AC,∠CBE=∠E'BA,∠ACF=∠F'CB,則AD'、BE'、CF'三線共點。
布洛卡點:設P是△ABC內(nèi)一點,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=ω,則點P稱作△ABC的布洛卡點。(圖中所做為第一類布洛卡點或正布洛卡點;若∠QBA=∠QCB=∠QAC=ω,則點Q稱作△ABC的第二類布洛卡點或負布洛卡點。
偽垂心:設AD、BE、CF為△ABC的三條高,D、E、F關(guān)于三邊中點的對稱點為D'、E'、F',則AD'、BE'、CF'三線共點。
葛爾剛點:△ABC內(nèi)切圓切三邊與D、E、F,AD、BE、CF的共點。
威畢特點:△ABC兩邊AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG,BF、CD交于N,則AN垂直于BC。
費馬點:△ABC三邊各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB',則AA'、BB'、CC'三線共點,該點到三頂點距離和最小。(另:在一個多邊形中,到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點。)