《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、 《九章算術(shù)》
生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒(méi)有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問(wèn)題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。 《九章算術(shù)》共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章、它們的主要內(nèi)容分別是： 第一章“方田”：田畝面積計(jì)算；提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分?jǐn)?shù)的通分、約分和加減乘除四則運(yùn)算的完整法則。后者比歐洲早1400多年。 第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)； 第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題；介紹了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開(kāi)方法則。它奠定了中國(guó)在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。 第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等； 第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法； 第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。 第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。 第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組， 勾股定理求解
相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國(guó)則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比《九章算術(shù)》晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。
主要特點(diǎn)
《九章算術(shù)》確定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架，以計(jì)算為中心的特點(diǎn)，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的的風(fēng)格。其影響之深，以致以后中國(guó)數(shù)學(xué)著作大體采取兩種形式：或?yàn)橹髯ⅲ蚍缕?/font>體例著書(shū)；甚至西算傳入中國(guó)之后，人們著書(shū)立說(shuō)時(shí)還常常把包括西算在內(nèi) 《九章算術(shù)》
的數(shù)學(xué)知識(shí)納入九章的框架。 然而，《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點(diǎn)：沒(méi)有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒(méi)有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年(263年)，劉徽給《九章算術(shù)》作注，才大大彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。 劉徽是中國(guó)數(shù)學(xué)家之一。他的生平現(xiàn)在知之甚少。據(jù)考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念，全面論證了《九章算術(shù)》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數(shù)學(xué)理論方面成績(jī)斐然。 劉徽對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì)，基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對(duì)概念定義的要求。而且他使用概念時(shí)亦保持了其同一性。如他提出凡數(shù)相與者謂之率，把率定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負(fù)數(shù)定義為今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之，擺脫了正為余，負(fù)為欠的原始觀念，從本質(zhì)上揭示了正負(fù)數(shù)得失相反的相對(duì)關(guān)系。 《九章算術(shù)》的算法盡管抽象，但相互關(guān)系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運(yùn)算的綱紀(jì)。許多問(wèn)題，只要找出其中的各種率關(guān)系，通過(guò)乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。 一平面(或立體)圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，其面積(或體積)不變。把一個(gè)平面(或立體)圖形分解成若干部分，各部分面積(或體積)之和與原圖形面積(或體積)相等?；谶@兩條不言自明的前提的出入相補(bǔ)原理，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何推演和證明時(shí)最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補(bǔ)原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問(wèn)題的勾股、開(kāi)方的公式和算法的正確性。
數(shù)學(xué)成就
《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)成就是多方面的： (1)、在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問(wèn)題和“盈不足”算法?！毒耪滤阈g(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，在第二、三、六章中有許多比例問(wèn)題，在世界上也是比較早的。“盈不足”算法需要給出兩次假設(shè)，是一項(xiàng)創(chuàng)造，中世紀(jì)歐洲稱它為“雙設(shè)法”，有人認(rèn)為它是由中國(guó)經(jīng)中世紀(jì)阿拉伯國(guó)家傳去的． (2)、在幾何方面，主要是面積、體積計(jì)算。 (3)、在代數(shù)方面，主要有一次方程組解法、平方、立方、一般二次方程解法等?！胺匠獭币徽逻€在世界數(shù)學(xué)史上首次引入了負(fù)數(shù)及其加減法運(yùn)算法則．作為一部世界科學(xué)名著，《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期就已傳入朝鮮、日本。現(xiàn)在它已被譯成日、俄、德、英、法等多種文字。 《九章算術(shù)方程》章共18問(wèn)，全都是一次方程組問(wèn)題，未知數(shù)最多時(shí)可達(dá)五個(gè)。其解法，首先以豎行用算籌列出各方程的系數(shù)，如“方程”章第一題，它相當(dāng)于求解： 《九章算術(shù)》
3x+2+=39，(1) 2x+3+=34，(2) x+2+3=26。(3) 列出的籌式如 123 232 311 263439 [3][2][1]， 豎行[1]、[2]、[3]，即相當(dāng)于上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行連續(xù)相減(如以3乘[2]再連續(xù)減[1]即可消去x項(xiàng)系數(shù))?！俺獭笔侵浮坝?jì)算”、“方”是指這樣列出的籌式是方形的，這才是“方程”這一數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的原意?！毒耪滤阈g(shù)》中的這項(xiàng)成果，比世界其它國(guó)家和地區(qū)的同類成果要早很多年?！胺匠獭闭逻€在世界數(shù)學(xué)史上首次引入了負(fù)數(shù)及其加減法運(yùn)算法則。 在《九章算術(shù)》中，開(kāi)平方和開(kāi)立方時(shí)所列籌式以及演算過(guò)程，其意義和求解x=、x=的數(shù)值解法是相同的。這樣，在開(kāi)平方的過(guò)程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出發(fā)，更開(kāi)宋元時(shí)期高次方程數(shù)值解法的先聲。
歷史考證
現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書(shū)于何時(shí)，目前眾說(shuō)紛紜，多數(shù)認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的作者不詳。很可能是在成書(shū)前一段歷史時(shí)期內(nèi)通過(guò)多人之手逐次整理、修改、補(bǔ)充而成的集體創(chuàng)作結(jié)晶。由于二千年來(lái)經(jīng)過(guò)輾轉(zhuǎn)手抄、刻印，難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)和遺漏，加上《九章算術(shù)》文字簡(jiǎn)略有些內(nèi)容不易理解，因此歷史上有過(guò)多次校正和注釋。 關(guān)于對(duì)《九章算術(shù)》所做的校注主要有：西漢張蒼增訂、刪補(bǔ)，三國(guó)時(shí)曹魏劉徽注，唐李淳風(fēng)注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術(shù)》中80道典型的題作過(guò)詳解并分類，清李潢(？～1811年)所著《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行了校訂、列算草、補(bǔ)插圖、加說(shuō)明，尤其是圖文并茂之作?，F(xiàn)代錢(qián)寶琮(1892～1974年)曾對(duì)包括《九章算術(shù)》在內(nèi)的《算經(jīng)十書(shū)》進(jìn)行了校點(diǎn)，用通俗語(yǔ)言、近代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)《九章算術(shù)》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來(lái)，今人白尚恕、郭書(shū)春、李繼閔等都有校注本出版。
后世影響
《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；現(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書(shū)的一些知識(shí)還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過(guò)這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。 《九章算術(shù)》是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)。 所以，《九章算術(shù)》是中國(guó)為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的一杰出貢獻(xiàn)。
歷史影響
現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書(shū)于何時(shí)， 目前眾說(shuō)紛紜，多數(shù) 祖沖之
認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的作者不詳。很可能是在成書(shū)前一段歷史時(shí)期內(nèi)通過(guò)多人之手逐次整理、修改、補(bǔ)充而成的集體創(chuàng)作結(jié)晶。由于二千年來(lái)經(jīng)過(guò)輾轉(zhuǎn)手抄、刻印，難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)和遺漏，加上《九章算術(shù)》文字簡(jiǎn)略有些內(nèi)容不易理解，因此歷史上有過(guò)多次校正和注釋。 關(guān)于對(duì)《九章算術(shù)》所做的注住要有：三國(guó)時(shí)曹魏劉徽注，唐朝李淳風(fēng)注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術(shù)》中80道典型的題作過(guò)詳解并分類，清李潢(？～1811年)所著《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行了校訂、列算草、補(bǔ)插圖、加說(shuō)明，尤其是圖文并茂之作?，F(xiàn)代錢(qián)寶琮(1892～1974年)曾對(duì)包括《九章算術(shù)》在內(nèi)的《算經(jīng)十書(shū)》進(jìn)行了校點(diǎn)，用通俗語(yǔ)言、近代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)《九章算術(shù)》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來(lái)，今人白尚恕、郭書(shū)春、李繼閔等都有校注本出版。 《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；現(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書(shū)的一些知識(shí)還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過(guò)這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。 《九章算術(shù)》是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)?？梢哉f(shuō)，《九章算術(shù)》是中國(guó)為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的又一杰出貢獻(xiàn)。
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