我們經常會遇到涉及全體自然數(shù)的命題，對待這種問題，如果要否定它，你只要能舉出一個反例即可。如果要證明它，由于自然數(shù)有無限多個，若是一個接一個地驗證下去，那永遠也做不完。怎么辦?數(shù)學家想出了一種非常重要的數(shù)學方法來解決這類問題，那就是數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法在數(shù)學中有著廣泛的應用，它是溝通有限和無限的橋梁。
歐幾里得的開端
實際上，人們很早就遇到了無限集合的問題，而當時具體的推導或計算都只是針對有限對象，實施有限次論證。怎樣在具體的推導或計算中把握無限的難題，這很早就擺在數(shù)學家面前了。
最先是古希臘數(shù)學家歐幾里得在他的《幾何原本》中采用了近似于數(shù)學歸納法的思想。該書第9卷第20命題是：“素數(shù)比任何給定的一批素數(shù)都多。”
歐幾里得在證明這一命題時采用了獨特的“幾何”方式，他把數(shù)視為線段：設有素數(shù)a、b、c，另設d=a·b·c+1，則d或是素數(shù)或不是素數(shù)。如果d是素數(shù)，則d是與a、b、c三者都不同的素數(shù)。如d不是素數(shù)，則它必有素因數(shù)e，并且e與a、b、c都不同，所以一定有比給定的素數(shù)更多的素數(shù)。
這一證明里隱含了：若有n個素數(shù)，就必然存在n+1個素數(shù)，因而自然推出素數(shù)有無限多個。這是一種試圖用有限推導把握無限的做法。雖然它不是很完善，但由于它隱含著這個命題，是人們還是普遍接受了它。這可以說是數(shù)學歸納法思想產生的早期，是人們溝通有限和無限的一種初步的嘗試。
帕斯卡的工作
歐幾里得之后，似乎是由于數(shù)學的發(fā)展長期沒有進一步提出涉及無限集合的問題，所以在漫長的18個世紀中沒有人在這個問題上前進一步。直到16世紀，一位意大利數(shù)學家毛羅利科在他的《算術》一書中明確地提出了一個“遞歸推理”原則，并提出了一個例子：
“證明1+3+5+…+(2k-1)=k2對任何自然數(shù)都成立?！彼眠@一例子來說明這一原則的應用。不過他并沒有對這一原則作出清晰的表述，所作的證明也僅限于對k=2、3、4時進行的計算。他仍像歐幾里得那樣，隱含地表示出原則的必要性。但由于他第一次正式提出這一原則，并以例子說明，所以人們認為毛羅利科是第一個正式應用數(shù)學歸納法的人。
明確而清晰地闡述并使用了數(shù)學歸納法的是法國數(shù)學家、物理學家帕斯卡。帕斯卡發(fā)現(xiàn)了一種后來被稱為“帕斯卡三角形”的數(shù)表，即二項展開式系數(shù)表，中國稱為“賈憲三角形”(是宋代賈憲于公元11世紀最先發(fā)現(xiàn)的)。而帕斯卡在研究證明這個算術三角形命題時，他最先準確而清晰地指出了證明過程所必須且只需的兩個步驟，他稱之為第一條引理和第二條引理。
第一條引理該命題對于第一個數(shù)(即n=1)成立，這是很顯然的。
第二條引理如果該命題對任一數(shù)(對任一n)成立，它必對其下一數(shù)(對n+1)也成立。由此可見，該命題必定對所有n值都成立。
帕斯卡的證明方法正是現(xiàn)在的數(shù)學歸納法，他所提出的兩個引理就是數(shù)學歸納法的兩個步驟，他在1654年寫出的著作《論算術三角形》中做了詳盡的論述。因此，在數(shù)學史上，人們認為帕斯卡是數(shù)學歸納法的創(chuàng)建人。
歸納法的完善
由于帕斯卡的時代尚沒有建立表示自然數(shù)的符號，所以帕斯卡證明的第二步仍然只能以例子來陳述。
1686年，瑞士數(shù)學家J·伯努利提出了表示任意自然數(shù)的符號，在他的《猜度術》一書中，給出并使用了現(xiàn)代形式的數(shù)學歸納法。
這樣，數(shù)學歸納法開始得到世人的承認并得到數(shù)學界日益廣泛的應用。后來，英國數(shù)學家德·摩根給定了“數(shù)學歸納法”的名稱。1889年，意大利數(shù)學家皮亞諾建立自然數(shù)的公理體系時，把數(shù)學歸納法作為自然數(shù)的公理之一(稱為遞歸公理或數(shù)學歸納法公理)確立起來。這才為數(shù)學歸納法奠定了堅實的理論基礎。
那么數(shù)學歸納法與人們通常說的邏輯學中的“歸納法”有什么關系呢?對這一問題曾有過數(shù)學歸納法是歸納方法還是演繹方法的爭論。這主要緣于“數(shù)學歸納法”的名稱有誤，實際上，它應稱為“遞歸方法”或“遞推方法”，是一種“從n過渡到n+l”的證明方法，與邏輯學中的歸納法沒有什么關系。嚴格地說，它倒屬于演繹方法：遞歸公理是它的一個大前提。
以有限把握無限
數(shù)學歸納法中的遞推思想在我們的生活實踐中經常會遇到。比如家族的姓氏，我們知道通常按父系姓氏遺傳，即下一代的姓氏隨上一代父親的姓確定，并且知道了有個家族第一代姓李，只要明確了這兩點，我們就可以得出結論：這個家族世世代代都姓李。再比如，把許多磚塊按一定的間隔距離豎立起來，假定將其中任何一塊推倒都可以波及下一塊磚倒掉，這時你如果推倒了第一塊磚，后面無論有多少塊磚，肯定全部會倒掉。
這兩個事例告訴我們這樣一個道理：在證明一個包含無限多個對象的問題時，不需要也不可能逐個驗證下去，只要能明確肯定兩點：一是問題所指的頭一個對象成立，二是假定某一個對象成立時，則它的下一個也必然成立，這兩條合起來就足以證明原問題。數(shù)學歸納法就是在這個簡單道理的基礎上抽象而成的，它的現(xiàn)代表述是：證明關于自然數(shù)n的命題P(n)，只要：一證明P(1)為真；二假設P(k)為真，則P(k+1)為真。兩項都得到證明，則P(n)為真。
依賴于自然數(shù)的命題在數(shù)學中普遍存在，用數(shù)學歸納法證明這類命題，兩步缺一不可：第一步叫奠基，是基礎；第二步叫歸納，實際上是證明某種遞推關系的存在。這是以有限來把握無限，通過有限次的操作來證明關于無限集合的某些命題。
數(shù)學界把數(shù)學歸納法視為溝通有限和無限的橋梁。假如沒有這個橋梁，很難想象人類如何認識無限集合問題，數(shù)學的發(fā)展也將會大打折扣。所以，數(shù)學家非常重視并經常使用它，正是這座橋梁使人類通向了認識的彼岸。
18世紀的德國，有一位年過半百的中年人，在看起來并沒有什么特別的數(shù)字里，竟發(fā)現(xiàn)了一個秘密，提出了一個似乎很簡單的猜測，可這一猜想令后人折騰好幾百年，仍一籌莫展。這是他從未料到的像神話般的一個真實的科學故事。
公使提出的難題
18世紀普魯士有一位法律系畢業(yè)的大學生，名叫哥德巴赫。1725年他來到俄國，出眾的才華使他成為彼得堡科學院院士并兼任秘書，1742年，被德國任命為常駐莫斯科外交公使。哥德巴赫辦公之余，愛思考數(shù)學問題。有一天他對“奇數(shù)+奇數(shù)：偶數(shù)”這一數(shù)字規(guī)律細細推敲，發(fā)現(xiàn)其中似乎還存在另一個奧妙：
奇素數(shù)+奇素數(shù)=偶數(shù)
他驗算了許多偶數(shù)都是對的。于是，他大膽地產生了一個奇想：“任何一個不小于6的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和?！痹诖嘶A上，他還發(fā)現(xiàn)：“每一個不小于9的奇數(shù)都可以寫成三個奇素數(shù)的和。”
他的“異想天開”對不對?他不能證明。1742年6月7日，52歲的公使先生寫信給在俄國彼得堡工作的世界著名的瑞士數(shù)學家歐拉，告訴他發(fā)現(xiàn)的這一奧秘，并希望數(shù)學大師給出證明。
同年6月30日，歐拉在給他的回信中說：“任何不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認為這是完全正確的結論?！憋@然，公使先生信中的第二個問題可以從第一個問題推出，但從第二個問題卻推不出第一個問題。因此，人們把第一個問題叫做“哥德巴赫猜想”，把第二個問題叫做猜想的推論。
歐拉是當時首屈一指的數(shù)學家，解決了許多難題，然而面對這一看似簡單的猜想，竟也感到為難，直到去世時都沒能證明，這引起了大家的注意。在以后的200多年里，無數(shù)數(shù)學家和數(shù)學愛好者試圖證明這一猜想，可無人能完成。他們的心血都被這一猜想所吞沒。
公元1900年，德國著名的哥廷根大學教授希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學家會議上，提出了震動數(shù)學界的23個世界數(shù)學難題，其中第8個問題就是哥德巴赫猜想。他把這一猜想比作數(shù)學皇冠上一顆美麗的寶石，希望有人能摘取它。不少數(shù)學家做了很多驗證工作，他們檢查過3300萬以內的全部偶數(shù)，發(fā)覺猜想都是對的，但是，偶數(shù)是無窮無盡的，驗證不能代替證明。他們還是悲觀地認為，這是“現(xiàn)代數(shù)學家所力不能及的”。
蘭道是把從正面進攻改為從側面攀登，逐步接近猜想，在數(shù)學上叫做“弱型哥德巴赫問題”。證明時，C越小越好，特別當不小于6的偶數(shù)時，若證明了C=2就證明了猜想成立。這是一個更誘惑人的命題，于是人們開始冥思苦想，尋找C=2的另一條路子了。
1937年，蘇聯(lián)數(shù)論大師維諾格拉多夫應用英國人創(chuàng)造的“圓法”與他自己創(chuàng)造的“三角和法”，證明了猜想的推論：“充分大的奇數(shù)可以表示為三個素數(shù)之和”是正確的。由此推出每一個充分大的正整數(shù)都是四個素數(shù)之和。”換句話說：當正整數(shù)為充分大的偶數(shù)時，C≤4；當正整數(shù)為充分大的奇數(shù)時，C≤3。
1938年，我國著名數(shù)學家華羅庚證明了“幾乎全體偶整數(shù)都能表示成兩個素數(shù)之和”，也就是說，哥德巴赫猜想幾乎對所有偶數(shù)都成立，被譽為“華氏定理”。
證明的喜訊不斷傳來以后，曾有人認為從維諾格拉多夫的“四個素數(shù)”到哥德巴赫猜想的“兩個素數(shù)”只有兩步之遙了，誰知這兩步的腿邁出六十多年，還沒有著地。
另辟蹊徑沖刺“1+1”
人們從各個角度設法攻克哥德巴赫猜想，一些人從各種推論設法證明，另一些人尋找反例否定，還有一些人另辟蹊徑，采用古老的“篩法”努力去攀登。
我們知道，任何一個偶數(shù)總可以表示成兩個正整數(shù)的和，這兩個正整數(shù)可能是素數(shù)，也可能不是素數(shù)。但我們可以把其中不是素數(shù)的正整數(shù)分解為素因子，并用代號簡記為“1+1”、“1+2”、“2+3”等。“1+l”表示兩個素數(shù)的和；“1+2”表示一個素數(shù)加上兩個素因子的乘積。于是，哥德巴赫猜想就變成命題“1+1”，即充分大的偶數(shù)可以表示成兩個素數(shù)的和。
數(shù)學家通常把這種逐步逼近猜想的方法叫做“因子哥德巴赫問題”或叫“殆素數(shù)之和”。向“1+1”進軍的號角從1920年吹響了，世界各國一些數(shù)學家像奧林匹克運動會上的健兒，不斷刷新著世界紀錄。
1920年，挪威數(shù)學家布朗，用篩法證明了“每一個大偶數(shù)是兩個素因子都不超過9個的素數(shù)之和”，即“9+9”；1924年，拉德馬哈爾證明了“7+7”；1932年，愛斯斯爾曼證明了“6+6”；1938年，布赫斯塔勃證明了“5+5”，1946年又證明了“4+4”；1956年，維諾格拉多夫證明了“3+3”；1958年，我國數(shù)學家王元證明了“2+3”。
1948年，匈牙利數(shù)學家蘭易用一種新的方法證明了“l(fā)+6”；1962年，我國數(shù)學家潘承洞證明了“1+5”，同年，王元、潘承洞又證明了“l(fā)+4”；1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數(shù)學家龐皮艾黎都證明了“1+3”；而最新的紀錄是我國數(shù)學家陳景潤證明的“1+2”。
移動群山的人
陳景潤是福州市人，1950年考入廈門大學數(shù)學系，畢業(yè)后當了幾年數(shù)學教師。1957年，經華羅庚推薦調到中國科學院數(shù)學研究所。在華羅庚教授等老一輩數(shù)學家的精心指導下，陳景潤投入到數(shù)學研究中，取得了一個又一個令人矚目的成果。
他在福州英華中學讀高二的時候，從曾在清華大學教過書的沈元老師那里聽到了哥德巴赫猜想扣人心弦的故事，從此暗下決心，長大后要去摘取這顆“皇冠上的明珠”。
1963年開始，他用自己的全部精力，向“1+1”的頂點沖擊。他不分節(jié)假日，苦讀寒窗夜，挑燈黎明前，殫精竭慮，探測精蘊，進行了大量的手工運算，一心一意搞這道難題的研究，搞得他發(fā)呆了。有一次自己撞在樹上，還問是誰撞了他。他為證明這道難題，付出了很高的代價，磨禿了一支又一支筆；演算草稿紙已經裝滿了幾麻袋，然而，新的草稿紙又鋪滿了他的斗室；數(shù)字、符號、引理、公式、推理積在樓板上有1米厚。他的肺結核病加重了，喉頭炎嚴重，咳嗽不停；腹脹、腹痛，難以忍受，有時已人事不知了，卻還記掛著數(shù)字和符號。他在抽象的思維高原，緩慢地向陡峭的巉巖攀登；不管是善意的誤會，還是無知的嘲諷，他都不屑一顧，未予理睬。他沒有時間來分辯，寧可含垢忍辱。
苦心不負有心人，經過三年的苦心耕耘，終于在1966年5月，他寫出了厚達200多頁心織筆耕的長篇論文，以他羸弱的身軀、執(zhí)著的追求，向全世界宣布他證明了“1+2”，這一成功距“1+1”只有一步距離。
陳景潤領先世界的成果，轟動全世界。
英國數(shù)學家哈勃斯丹和德國數(shù)學家李希特合著《篩法》一書原有10章，付印后才見到陳景潤“1+2”的論文，立即要求暫不付印，特為之添寫了第11章，章目為“陳氏定理”，并在序言中評價說：“這是一個相當好的成就”，是運用篩法的“光輝頂點”。一個英國數(shù)學家在給他的信里還說：“你移動了群山?！?/span>
二百六七十多年過去了，哥德巴赫猜想仍未得到最終的證明。數(shù)學家預言，這顆皇冠上璀璨的明珠在21世紀有望被人摘取。
1870年，馬克思52歲壽辰時，朋友庫格曼送給他兩塊當年萊布尼茨用過的壁毯。馬克思非常喜歡，把它懸掛在自己的工作室里。馬克思在那年5月10日給恩格斯的信里特意談到這件事，并且寫道：“我已把這兩樣東西掛在我的工作室里。你知道，我是佩服萊布尼茨的?！笨梢娙R布尼茨是個了不起的人物。
的確，萊布尼茨是德國百科全書式的天才。他不僅是微積分的創(chuàng)始人之一，而且是數(shù)理邏輯、計算機理論及控制論的先驅。他既是一位大名鼎鼎的數(shù)學家，也是一位才華橫溢的博學巨人。
萊布尼茨
萊布尼茨于1646年6月21日出生在德國東部的萊比錫城。他是哲學教授的兒子，然而這位教授父親在他6歲那年就過早地離開了人世。如果說他的父親對他后來成為偉大的科學家有影響，那也只能是說他父親為他提供了飽覽豐富藏書的條件。
萊布尼茨8歲時進入學校學習，幼年起學習運用多種語言表達思想，促進了他童年思維的超常發(fā)展。15歲時考入萊比錫大學，開始對數(shù)學產生興趣。17歲時在耶拿大學學習了一段時間的數(shù)學，受到數(shù)學家特雷維和魏格爾的指導和影響。1666年，他轉入紐倫堡的阿爾特道夫大學。這年他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文《論組合的藝術》，顯示了萊布尼茨的數(shù)學才華。這篇論文，正是近代數(shù)學分支——數(shù)理邏輯的先聲，后來他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。
大學畢業(yè)后，萊布尼茨獲得法學博士學位，謝絕了教授職位的聘約，投身外交界。1672年3月萊布尼茨作為大使出訪法國巴黎，為期四年。在那里深受法國少年早慧的數(shù)學家帕斯卡事跡的鼓舞，使他立下決心：鉆研高等數(shù)學。他在巴黎結識了荷蘭數(shù)學家惠更斯，并在惠更斯的指導下，利用業(yè)余時間鉆研了笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的原著，為他后來步入數(shù)學王國的殿堂打下了重要的基礎。
1673年，萊布尼茨在英國倫敦將1642年帕斯卡發(fā)明的簡單計算器進行了改造，制成了能進行加、減、乘、除、開方的計算機，因此被選為英國倫敦皇家學會會員。1676年，他到漢諾威，在不倫瑞克公爵的王家圖書館任顧問兼館長。他博覽群書，涉獵百科，獨立創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，同英國牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學的基礎。1693年，他發(fā)現(xiàn)了機械能(動能和位能)的能量守恒定律。到19世紀中葉，這條定律被推廣到所有能的形式中。1700年，他被選為巴黎科學院院士。他說服了普魯士國王弗里德里希一世建立柏林科學家協(xié)會，并出任第一任會長。這一協(xié)會即為皇家科學院，它可與倫敦的皇家學會和巴黎的皇家科學院相媲美。
萊布尼茨生逢的時代，正是歐洲科學技術飛速發(fā)展的時期。隨著生產力的提高及社會各方面的迫切需要，經過各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎上的微積分理論應運而生。1665～1666年，牛頓在英國創(chuàng)立了微積分(流數(shù)術)，1671年寫成他的巨著《自然哲學之數(shù)學原理》，1671年寫了論文《流數(shù)術和無窮級數(shù)法》，1687年出版了他的巨著。1673～1676年，萊布尼茨也獨立地創(chuàng)立了微積分，1684年在《學術學報》上首先發(fā)表了微分法的論文“一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算”。1686年，他又發(fā)表了最早的積分法的論文《潛在的幾何與分析不可分和無限》，他把微積分稱為“無窮小算法”。因此，在科學的發(fā)展道路上，由于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權問題，曾發(fā)生過一場爭論激烈的公案。
事情是這樣的，1676年，牛頓在寫給萊布尼茨的信中，宣布了他的二項式定理，提出了根據(jù)流的方程求流數(shù)的問題。但在交換的信件中，牛頓卻隱瞞了確定極大值和極小值的方法以及做切線的方法等。而萊布尼茨在給牛頓的回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法，并訴說了他的方法，這個方法與牛頓的方法幾乎沒有什么兩樣。二者的區(qū)別是：牛頓主要是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分的；萊布尼茨主要是在研究曲線和切線的面積問題上，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則。牛頓是在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達式采用的數(shù)學符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓，既簡潔又準確地揭示出微分、積分的實質，強有力地推進了高等數(shù)學的發(fā)展。
萊布尼茨在1675年以后，陸續(xù)創(chuàng)立的微積分符號有：dx表示微分，即為拉丁“differentia”的第一個字母，意思是“分細”；dy/dx表示導數(shù)；dnx表示n階微分；∫表示積分，即為拉丁文“Summa”的第一個字母“s”的拉長變形，意思是“求和”。他創(chuàng)立的這些符號，為數(shù)學語言的規(guī)范化和獨立化起到了極為重要的推動作用，正像印度—阿拉伯數(shù)碼促進了算術與代數(shù)發(fā)展一樣，它推進了微積分學的發(fā)展。
然而，萊布尼茨卻因微積分發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權問題，蒙受了長期的冤屈。1699年，瑞士數(shù)學家法蒂奧德迪利在寄給皇家學會的一篇文章中提出，萊布尼茨的思想獲自牛頓。盡管這時牛頓參與爭論，也給萊布尼茨的聲譽帶來了很大的影響。后來，牛津的實驗物理學講師，后來成為薩維爾天文學教授的凱爾，指控萊布尼茨是剽竊者。為此，萊布尼茨參與了這場爭論，使英國人對他不滿，直到1716年11月14日，萊布尼茨在漢諾威默默地離開人世的時候，朝廷竟不聞不問，教士們也借口說萊布尼茨是“無信仰者”而不予理睬。
在科學真理面前，萊布尼茨永遠是強者。英國皇家學會為牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分的優(yōu)先權問題專門成立了評判委員會，經過長時間的調查，在《通訊》上宣布牛頓的“流數(shù)術”和萊布尼茨的“無窮小算法”只是名詞不同，實質是一回事，肯定了萊布尼茨的微積分也是獨立發(fā)現(xiàn)的。
萊布尼茨的數(shù)學業(yè)績，除了微積分，還涉及了高等數(shù)學的許多領域。
爭論、誣陷沒有使他減弱對科學真理的追求。1678年前他就開始對線性方程組進行研究，1693年他在給洛必達的信中提出三條相異直線：
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
共點的條件是：
10·21·32+11·22·30+12·20·31=10·22·31+11·20·32+12·21·30。
如用現(xiàn)代通用的符號即：
a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1=0
這正好是三階行列式的展開式。它是西方數(shù)學史上行列式的最早起源。
此外，萊布尼茨還提出了使用“函數(shù)”一詞，首次引進了“常量”、“變量”和“參變量”，確立了“坐標”、“縱坐標”的名稱。他對變分法的建立及在微分方程、微分幾何、某些特殊曲線(如懸鏈曲線)的研究上都作出了重大貢獻。
當你漫步在森林公園或在水庫邊領略自然風光的時候，你是否知道森林中的樹有多少棵，水庫里到底有多少條魚?這些都無法具體去數(shù)，具體去量。而當我們必須知道某一無法具體測量的事物的量時，就可以用一種可行的數(shù)學方法來計算，那就是數(shù)理統(tǒng)計。
從一個總體中抽取樣本，將收集來的樣本數(shù)據(jù)加以整理，并從中得出認識總體的結論，這是科學研究工作和日常生活中屢見不鮮的手段。數(shù)理統(tǒng)計是現(xiàn)代數(shù)學中一個非?；钴S的分支，它在20世紀獲得巨大的發(fā)展和迅速普及，被認為是數(shù)學史上值得提及的大事。然而它是如何產生的呢?
隨著生物學發(fā)展而產生的數(shù)學方法
萊爾根據(jù)各個地層中的化石種類和現(xiàn)仍在海洋中生活的種類作出百分率，然后定出更新世、上新世、中新世、始新世的名稱，并于1830~1833年出版了三卷《地質學原理》。這些地質學中的名稱沿用至今，可是他使用的類似于現(xiàn)在數(shù)理統(tǒng)計的方法，卻沒有引起人們的重視。
生物學家達爾文關于進化論的工作主要是生物統(tǒng)計，他在乘坐“貝格爾”號軍艦到美洲的旅途上帶著萊爾的上述著作，二者看來不無關系。
從數(shù)學上對生物統(tǒng)計進行研究的第一人是英國統(tǒng)計學家皮爾遜。他曾在倫敦大學學院學習，然后去德國學物理，1881年在劍橋大學獲得學士學位，1882年任倫敦大學應用數(shù)學力學教授。
1891年，他和劍橋大學的動物學家討論達爾文自然選擇理論，發(fā)現(xiàn)他們在區(qū)分物種時用的數(shù)據(jù)有“好”和“比較好”的說法。于是皮爾遜便開始潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論，他借鑒前人的做法，并大膽創(chuàng)新，其研究成果見諸著作《機遇的法則》，其中提出了“概率”和“相關”的概念。接著又提出“標準差”、“正態(tài)曲線”、“平均變差”、“均方根誤差”等一系列數(shù)理統(tǒng)計的基本術語。這些文章都發(fā)表在進化論的雜志上。
直至1901年，他創(chuàng)辦了雜志《生物統(tǒng)計學》，使得數(shù)理統(tǒng)計有了自己的陣地。這可以說是數(shù)學在進入20世紀時最初的重大收獲之一。
學科奠基者——費歇爾
數(shù)理統(tǒng)計作為一個進一步完善的數(shù)學學科的奠基者是英國人費歇爾。他1909年進入劍橋大學，攻讀數(shù)學物理專業(yè)，三年后畢業(yè)。畢業(yè)后，他曾去投資辦工廠，又到加拿大農場管過雜務，也當過中學教員。1919年，他開始對生物統(tǒng)計學產生了濃厚的興趣，而后參加羅薩姆斯泰德試驗站的工作，并致力于數(shù)理統(tǒng)計在農業(yè)科學和遺傳學中的應用研究。
年輕的費歇爾主要的研究工作是用數(shù)學將樣本的分布給以嚴格的確定。在一般人看來枯燥乏味的數(shù)學，常能帶給研究者極大的慰藉。費歇爾熱衷于數(shù)理統(tǒng)計的研究工作，后來的理論研究成果有：數(shù)據(jù)信息的測量、壓縮數(shù)據(jù)而不減少信息、對一個模型的參數(shù)估計等。
最使科學家稱贊的工作則是試驗設計，它將一切科學試驗從某一個側面“科學化”了，不知節(jié)省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。
費歇爾培養(yǎng)了一個學派，其中有專長純數(shù)學的，有專長應用數(shù)學的。在20世紀30~50年代，費歇爾是統(tǒng)計學的中心人物。1959年費歇爾退休后在澳大利亞度過了最后三年。
源自戰(zhàn)爭需要的統(tǒng)計思想
英國是數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)源地和研究中心，但從第二次世界大戰(zhàn)開始，美國也發(fā)展得很快。
在戰(zhàn)爭中，人們要研究飛機上某種投彈裝置的效果。如果用數(shù)學分析的方法要得出連續(xù)向矩形陣地靶子投三顆炸彈的方程，不僅方程難列，計算也相當復雜，然而實際獲得的結果又很少。如果使用若干統(tǒng)計數(shù)據(jù)，綜合投彈的概率模型，就很容易得出許多重要的信息。因此，數(shù)學研究方法的改變伴隨統(tǒng)計方法的運用而產生。美國在第二次世界大戰(zhàn)中，就有三個統(tǒng)計研究組在投彈問題上進行了九項研究。
1943年，被稱為“30年來最有威力的統(tǒng)計思想”——序貫分析出現(xiàn)了。序貫分析是數(shù)理統(tǒng)計學科中最占優(yōu)勢的領域之一，它是由于軍事上的需要而產生的。
1942年底，美國科學研究發(fā)展局首腦韋弗給哥倫比亞大學應用數(shù)學研究組一項任務，要求對在海軍中服務的斯凱勒的一項簡化公式作出評價。這項公式來自英國，用來求出敵機一次射擊恰巧擊中并引爆己機攜帶炸彈的概率。
哥倫比亞小組中的沃利斯和保爾森認為斯凱勒的公式不大好，提出了一個更簡單的公式。斯凱勒認為這個公式雖好，但為了達到精密度需要很大的樣本，而且需要實彈試驗。這種好幾千項的實彈試驗實在太浪費了。
能不能設想出一條原則，當試驗達到一定精密度時會自動停止，節(jié)約一些呢?
1943年春天，沃利斯仍然沒有辦法。于是他們請來了數(shù)理統(tǒng)計專家沃爾德幫助研究這一問題。
沃爾德第一天沒有表態(tài)，他把自己關在屋子里苦思冥想，時而列表、時而計算、時而作圖、時而做模擬試驗，終于在第二天宣布他已經有辦法了。這就是序貫分析法。
序貫分析的創(chuàng)始人沃爾德是羅馬尼亞出生的猶太人，先后就讀于克盧日大學和奧地利的維也納大學。在那里門杰指導他學了一些統(tǒng)計學和經濟學。1938年德寇侵戰(zhàn)奧地利，沃爾德被送進集中營。不久，美國設法把他營救出來，并讓他移居美國。
沃爾德用他以前學得的經濟和統(tǒng)計學知識在大經濟學家摩根斯頓那里工作。沃爾德以前是研究純粹數(shù)學的，到美國才轉搞統(tǒng)計。在第二次世界大戰(zhàn)期間，他首創(chuàng)序貫分析法與決策函數(shù)理論，開創(chuàng)統(tǒng)計學的新局面。
1950年沃爾德因飛機失事不幸在印度遇難，當時只有48歲。他從事統(tǒng)計研究工作也只有12年。
序貫分析法在戰(zhàn)后獲得巨大發(fā)展。沃爾德的決策函數(shù)理論也贏得了廣泛的贊譽。人們把他看作20世紀最杰出的統(tǒng)計學家之一。
引人注目的廣泛應用
近幾十年來，數(shù)理統(tǒng)計的廣泛應用是非常引人注目的。在社會科學中，選舉人對政府的意見調查、民意測驗、經濟價值的評估、產品銷路的預測、犯罪案件的偵破等，都有數(shù)理統(tǒng)計的功勞。
在自然科學、軍事科學、工農業(yè)生產、醫(yī)療衛(wèi)生等領域，沒有一個門類能離開數(shù)理統(tǒng)計。
具體地說，與人們生活有關的如某種食品營養(yǎng)價值高低的調查；通過用戶對家用電器性能指標及使用情況的調查，得到全國某種家用電器的上榜品牌排名情況；一種藥品對某種疾病的治療效果的觀察評價等都是利用數(shù)理統(tǒng)計方法來實現(xiàn)的。
飛機、艦艇、衛(wèi)星、電腦及其他精密儀器的制造需要成千上萬個零部件來完成，而這些零件的壽命長短、性能好壞均要用數(shù)理統(tǒng)計的方法進行檢驗才能獲得。
在經濟領域，從某種商品未來的銷售情況預測到某個城市整個商業(yè)銷售的預測，甚至整個國家國民經濟狀況預測及發(fā)展計劃的制定都要用到數(shù)理統(tǒng)計知識。
數(shù)理統(tǒng)計用處之大不勝枚舉?？梢赃@么說，現(xiàn)代人的生活、科學的發(fā)展都離不開數(shù)理統(tǒng)計。從某種意義上來講，數(shù)理統(tǒng)計在一個國家中的應用程度標志著這個國家的科學水平。
難怪在談到數(shù)理統(tǒng)計的應用時，有人稱贊它的用途像水銀落地一樣無孔不入，這恐怕并非言過其實。
幾何，其嚴密的邏輯推理使人信服，其精巧的思維方法令人陶醉。它以其獨特的魅力吸引著眾多的數(shù)學愛好者。兩千多年以來，一直統(tǒng)治幾何學的傳統(tǒng)證題方法，在當代計算機參與下受到了挑戰(zhàn)，從而使幾何證題又出現(xiàn)了一條新路。
機械證明的創(chuàng)立
利用機械進行運算的想法，最早可以追溯到中國古代數(shù)學。中國古算以算法為中心，注重計算技術的提高，與古希臘及其延續(xù)的數(shù)學公理化和演繹推理的傳統(tǒng)迥然不同。從實際問題出發(fā)，建立算法的機械化一直是古代中國數(shù)學研究的傳統(tǒng)，也是中國數(shù)學家所努力的方向和孜孜以求的目標。成書于公元前l(fā)世紀的數(shù)學名著《九章算術》，是中國算法機械化的光輝典范。
《九章算術》中解決問題的方法，不是公理化的演繹法，而是按照一定的程序運算獲得結果，算法化、程序化很強，即使求解幾何問題也是如此。17世紀中葉，笛卡爾有過類似的思想，可惜他的設想未能實現(xiàn)。
近代的機器證明思想由萊布尼茨首先提出。他設想過數(shù)學領域的推理機器，并認識到這一計劃的重要性。但是，萊布尼茨并沒有能實際地去實現(xiàn)自己的計劃。到了19世紀末，希爾伯特等創(chuàng)立并發(fā)展了數(shù)理邏輯，為定理證明機械化提供了一個強有力的工具，使這一設想有了明確的數(shù)學形式。
20世紀40年代，電子計算機的出現(xiàn)才使前人設想的實現(xiàn)有了現(xiàn)實可能性。到50年代，機器證明開始興起為一個數(shù)學領域。人們試圖把人證明定理的過程，通過一套符號體系加以形式化，變成一系列在計算機上自動實現(xiàn)的符號計算過程。數(shù)學家們首先從最古老而不太復雜的歐氏幾何開刀。
我們知道，歐氏幾何學中的許多性質、定理，通過觀察圖形或實驗并不難了解，但要給出嚴格的證明，有時就非常困難。數(shù)學家和計算機專家瞄準這一嶄新領域開始進軍了。根據(jù)計算機高速運算能力和程序化過程，對幾何命題的邏輯關系進行連接。1950年波蘭數(shù)理邏輯學家塔斯基斷言一切初等幾何和初等代數(shù)范圍內的命題，都可以用機械化方法判斷其真?zhèn)?，這使人們很受鼓舞。1956年，美國人紐厄爾、西蒙和肖烏等人通過研究證明定理的心理過程，建立了機器證明的啟發(fā)式搜索法，編制了一個“邏輯理論機”程序，用計算機成功地證明了38條定理。這一年被看作歷史上計算機證明以至于人工智能研究的開端。1959年，美國洛克菲勒大學數(shù)理邏輯學家王浩教授設計了一個用計算機證明定理的程序，計算機只用了9分鐘，就證明了350多條并不簡單的定理。
1975年以后，數(shù)學家創(chuàng)立新理論，開創(chuàng)新方法，開始了計算機證明世界數(shù)學難題。1976年6月，美國數(shù)學家阿佩爾和哈肯等人用高速計算機工作了1200小時，向全世界宣布證明了困擾數(shù)學界百余年的“四色猜想”難題，轟動世界，震撼全球，從中初步摸索了一些規(guī)律和途徑。
中國人的驕傲
1976年，中國科學院院士、中國科學院系統(tǒng)科學研究所研究員吳文俊教授，已經在拓撲學、幾何學、數(shù)學史方面作出了卓越成就以后，開始了從事數(shù)學機械化尖端科學的研究。他發(fā)現(xiàn)《九章算術》的許多數(shù)學題都可以編成程序用計算機解答。在此基礎上，他分析了法國數(shù)學家笛卡爾的數(shù)學思想，又深入探討希爾伯特《幾何基礎》一書隱藏的構造性思想，開拓了機械化數(shù)學的嶄新領域。
他的思路是把幾何問題轉變?yōu)榇鷶?shù)問題，再按程序消去約束元或降低約束元的次數(shù)，使問題得到解決。
按照這一思路，他編寫了一種新程序，然后在一臺檔次很低的計算機上，幾秒鐘就證明了像西孟孫線那樣不簡單的定理，并陸續(xù)證明了100多條幾何定理。他的算法被譽為“吳氏方法”。數(shù)學家周咸青應用吳氏方法也證明了600多條定理。這一新方法引起了科學界的高度關注。1978年初，吳文俊又把他的方法推廣到高深數(shù)學分支——微分幾何定理機械化的證明，走出完全是中國人自己開拓的新數(shù)學道路。
在幾何定理機械證明取得重大成功之后，20世紀到80年代，吳教授把研究重點轉移到數(shù)學機械化的核心問題——方程求解上來，又取得了重大成功。這時，他不僅建立數(shù)學機械化證明的基礎，而且擴張成廣泛的數(shù)學機械化綱領，解決一系列理論及實際問題。他把機器定理證明的范圍推廣到非歐幾何、仿射幾何、圓幾何、線幾何、球幾何等領域，他的成果在國際上產生了很大反響。
消點法震驚了世界
數(shù)學命題種類繁多，不可能所有的數(shù)學命題都能一下子得到解決，于是有不少科學家研究更新的證明方法。
1991年，中國科學院成都計算機應用研究所研究員張景中及楊路等人發(fā)明了“L類幾何定理證明器”，它可以在一臺簡單的電腦上判斷命題的正誤，也是用代數(shù)方法進行論證的。這些方法還不盡如人意，計算機只能判斷命題的真假，并且計算過程很復雜，人們難以檢驗其是否正確。1992年5月，張景中、周咸青和周小山在面積方法的基礎上發(fā)明了“消點法”，編成了世界上第一個“幾何定理可讀證明的自動生成”軟件。“消點法”把證明與作圖聯(lián)系起來，把幾何推理與代數(shù)演算聯(lián)系起來，使幾何解題的邏輯性更強了。運用這一方法在微機上可以證明很多幾何定理，并通過屏幕顯示出證明的過程。這在當時是世界上最新、最好的幾何定理證明軟件。他們在電腦上證明了600多條較難的平面幾何與立體幾何定理。專家認為，這種證明方法，大多數(shù)是簡捷而易理解的，甚至比數(shù)學家給的證明還要簡短、實用。
“消點法”震驚了世界，它使機械證明定理上了一個新臺階。但是，“消點法”還不是證明幾何題的通法，它主要是解決與面積有關的一些命題，而像幾何作圖、幾何不等式、添加輔助線等問題尚未取得令人滿意的成果。因此，“消點法”還不是機器證明幾何定理的終點，這一問題有待于進一步探討。
用電腦證明幾何題，使幾何學改變了從古希臘到現(xiàn)在一直沿用邏輯推證的傳統(tǒng)方法，把邏輯思維才能獲得定性化結論的問題，轉化成通過計算能解決的定量化問題。由于實現(xiàn)了程序化、機械化，從而降低了幾何學的難度。這不僅使幾何學在電子信息社會獲得新發(fā)展有了可能，而且有利于解決幾何與其他數(shù)學難題，將會使幾何學對人類社會發(fā)展的貢獻越來越大。
