代數(shù)﹝Algebra﹞是數(shù)學(xué)的其中一門分支，當(dāng)中可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。
初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程﹝組﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。
大約寫于1700年前的埃及萊因特紙草文書中已經(jīng)有解一元一次方程應(yīng)用題的記載，甚至比此更早的古巴比倫人已在泥板文書中用配方法求解一元二次方程了。不過古代的算術(shù)、代數(shù)、幾何是互相交織的，在古希臘時(shí)代，幾何學(xué)明顯地從數(shù)學(xué)中分離出來(lái)，使純算術(shù)的或代數(shù)的問題都被轉(zhuǎn)譯為幾何語(yǔ)言，例如量被解釋為長(zhǎng)度，兩個(gè)量之積解釋為矩形面積等?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中仍稱二次冪「平方」，三次冪為「立方」，就是來(lái)源于此。
古希臘數(shù)學(xué)家尼可馬克﹝1世紀(jì)﹞約在公元100年寫了一本《算術(shù)入門》，使數(shù)的科學(xué)第一次脫離幾何而獨(dú)立。從而為純代數(shù)學(xué)的建立樹立了榜樣。
希臘數(shù)學(xué)家丟番圖﹝約246-330﹞在公元三世紀(jì)發(fā)表了第一部代數(shù)學(xué)著作──《算術(shù)》，內(nèi)容包括了數(shù)論及不定方程等，他在這本書里引入了未知量及一些運(yùn)算符號(hào)，使代數(shù)表達(dá)大為簡(jiǎn)化。由于丟番圖的符號(hào)大都屬于有關(guān)術(shù)語(yǔ)的縮寫，所以后人稱丟番圖的代數(shù)為縮寫式代數(shù)。
公元四世紀(jì)以后，希臘數(shù)學(xué)開始衰微，但印度和中東地區(qū)的數(shù)學(xué)卻獲得了相當(dāng)可觀的發(fā)展。7、8世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家主要研究不定方程的解法，并已經(jīng)用縮寫文字和一些記號(hào)來(lái)表示未知數(shù)和運(yùn)算。在婆羅摩笈多的著作中，還給出了二次方程x2 + px - q = 0的一個(gè)根式解,及某些不定方程的通解。
阿拉伯著名數(shù)學(xué)家阿爾?花拉子米﹝約780-850﹞在825年左右寫了一本關(guān)于代數(shù)的書，書名的原意是《還原﹝或移項(xiàng)﹞和對(duì)消的科學(xué)》；羅伯特在1140年左右把阿拉文的al-jabr譯成拉丁文algebra，后因書名中的其余部分逐漸被遺忘，所以algebra便成了代數(shù)學(xué)的專有名稱了。我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭﹝1811-1882﹞和英人韋烈亞力﹝1815-1887﹞在1851年合譯英國(guó)棣么甘的書，把algebra漢譯成「代數(shù)學(xué)」。
中國(guó)古代在代數(shù)學(xué)方面也有光輝的成就。在數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中已有一元二次方程的數(shù)值解法及線性方程組的解法，從采用的「正負(fù)術(shù)」中給出了負(fù)數(shù)的概念，建立了正、負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。唐代數(shù)學(xué)家王孝通于七世紀(jì)寫成的《緝古算經(jīng)》是世界上最早提出三次方程代數(shù)解法之著作；其后由賈憲﹝11世紀(jì)﹞、秦九韶﹝1202-1261﹞等人于十世紀(jì)后創(chuàng)立求高次方程的數(shù)值解法：「增乘開方法」；十一世紀(jì)的列一元高次方程的「天元術(shù)」及以后的「四元術(shù)」等重要結(jié)果的創(chuàng)立，均為代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出新的貢獻(xiàn)。
十六世紀(jì)時(shí)，三次、四次方程的根式解法先后得到解決；特別是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)﹝1540-1603﹞引進(jìn)一批代數(shù)符號(hào)，建立了「符號(hào)代數(shù)學(xué)」，使代數(shù)學(xué)的應(yīng)用變得更廣泛及一般。
高斯在十八世紀(jì)證明了代數(shù)基本定理；挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾﹝1802-1829﹞在十九世紀(jì)初﹝1824﹞證明了不能用根式求解一般五次方程；法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦﹝1811-1832﹞在1832年運(yùn)用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個(gè)提出「群」的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時(shí)期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時(shí)期。
抽象代數(shù)學(xué)對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)和一些其它科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。抽象代數(shù)學(xué)隨著數(shù)學(xué)中各分支理論的發(fā)展和應(yīng)用需要而得到不斷的發(fā)展。經(jīng)過伯克霍夫、馮?諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數(shù)學(xué)的地位。而自20世紀(jì)40年代中葉起，作為線性代數(shù)的推廣的模論得到進(jìn)一步的發(fā)展并產(chǎn)生深刻的影響。泛代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、范疇等新領(lǐng)域也被建立和發(fā)展起來(lái)。
中國(guó)數(shù)學(xué)家在抽象代數(shù)學(xué)的研究始于30年代。當(dāng)中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。
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