歷史上，古希臘數學家阿基米德最早求出了球的體積及表面積公式。
阿基米德的結果記錄在他的兩卷著作《論球與圓柱》第一卷中，可以簡單地敘述為：
球與其外切圓柱體的體積之比、表面積之比，都等于三分之二。
據說阿基米德希望把這一值得驕傲的發(fā)現(xiàn)刻在自己的墓碑上。
本文介紹阿基米德得到球及球冠面積公式的方法，適合中學生閱讀。
(一)直圓臺的側面積
初中數學已經學過圓錐的側面積公式。
利用展開圖可知，直圓錐的側面積等于
其中R是底面圓的半徑， L是母線長。
進一步，容易得到直圓臺的側面積公式。
命題直圓臺的側面積等于
其中r, R為上下底面圓的半徑，d為母線長。
證明：直圓臺是從一個大的直圓錐，用平行于底面的平面切除一個小的直圓錐得到的。因此，直圓臺的側面積S等于這兩個直圓錐的側面積之差。
設大小圓錐的底面圓半徑分別為R, r母線長分別為L, l 則有L=l+d, 及
由三角形相似，有
因此得到
這就證明了命題。
(二)旋轉體的側面積
如圖，圓弧AL圍繞直徑AA'旋轉，得球冠。
我們的目標是求出這個球冠的面積S
為此，先求出特殊的旋轉體的側面積。
任意 n等分圓弧AL, 設分點依次為
則有弦長相等關系式：
對稱地，n等分圓弧AL', 設分點依次為
折線ABCD…KL圍繞直徑AA'旋轉一周，所得曲面的面積記為Sn
引理 這個旋轉曲面的面積
證明：所求的面積是一些圓臺(圓錐、圓柱)的側面積之和。
連LL', 交AA'與M 由上節(jié)的命題，得
由相似三角形序列
得到比例式
由合比定理，得
因此
這就證明了引理。
說法：AL, AM分別稱為球冠的斜邊與高。
(三)球冠的面積
利用窮竭法(古希臘數學的一種特殊極限理論)，阿基米德嚴格地證明了：
當n->∞， 面積Sn的極限等于 S
用上一節(jié)的記號，當n->∞有B->A
由引理，直接得到
這個結論可以陳述為
定理1 球冠的面積等于球冠的高、直徑及圓周率的乘積。
定理2 球冠的面積等于以斜邊為半徑的圓面積。
同樣的討論，給出球的面積公式。
定理3 球的面積等于球的大圓面積的四倍。
(四)由球的面積得出體積
熟知，由圓的周長公式可以得出圓的面積公式：
圓的面積等于周長與半徑乘積的一半，即
完全類似地，由球的面積公式可以得出球的體積公式：
球的體積等于表面積與半徑乘積的三分之一，即
利用球的體積公式，也可以得出面積公式。
(五)結束語
阿基米德利用最基本的數學知識和極限思想，奇思妙算，求得球冠面積公式，令人嘆為觀止。
按球面幾何來看，球冠是球面幾何的“圓”。
因此，球冠的面積公式可以翻譯成球面幾何的“圓面積公式”：
半徑為 R 的球面上的“半徑”為a 的圓的面積為
把正弦改為雙曲正弦，就得到雙曲幾何的圓面積公式。
阿基米德的名字意為“大思想家”，再恰當不過。
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