免费视频淫片aa毛片_日韩高清在线亚洲专区vr_日韩大片免费观看视频播放_亚洲欧美国产精品完整版

　　學(xué)過矩陣?yán)碚摶蛘呔€性代數(shù)的肯定知道正交矩陣（orthogonal matrix）是一個非常好的矩陣，為什么這么說？原因有一下幾點：

1. 正交矩陣每一列都是單位矩陣，并且兩兩正交。最簡單的正交矩陣就是單位陣。
2. 正交矩陣的逆（inverse）等于正交矩陣的轉(zhuǎn)置（transpose）。同時可以推論出正交矩陣的行列式的值肯定為正負(fù)1的。
3. 正交矩陣滿足很多矩陣性質(zhì)，比如可以相似于對角矩陣等等。

　　以上可以看出正交矩陣是非常特殊的矩陣，而本文題目中的旋轉(zhuǎn)矩陣就是一種正交矩陣！它完美的詮釋了正交矩陣的所有特點。

 　　先說一下什么是旋轉(zhuǎn)矩陣？如圖1所示，我們假設(shè)最開始空間的坐標(biāo)系X_A，Y_A，Z_A就是笛卡爾坐標(biāo)系，這樣我們得到空間A的矩陣V_A={X_A，Y_A，Z_A}^T，其實也可以看做是單位陣E。進過旋轉(zhuǎn)后，空間A的三個坐標(biāo)系變成了圖1中紅色的三個坐標(biāo)系X_B，Y_B，Z_B，得到空間B的矩陣V_B={X_B，Y_B，Z_B}^T。我們將兩個空間聯(lián)系起來可以得到V_B=R·V_A，這里R就是我們所說的旋轉(zhuǎn)矩陣。 

圖1

　　由于X_A={1,0,0}^T，Y_A={0,1,0}^T，Z_A={0,0,1}^T，結(jié)合圖2可以看出，旋轉(zhuǎn)矩陣R就是由X_B，Y_B，Z_B 三個向量組成的。講到這里，大家應(yīng)該會發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足第一個條件，因為單位向量無論怎么旋轉(zhuǎn)長度肯定不會變而且向量之間的正交性質(zhì)也不會變。那么旋轉(zhuǎn)矩陣就是正交陣！不過這還不能說明問題，下面我更進一步利用數(shù)學(xué)公式進行證明。

　　進一步討論之前，我們先說兩點數(shù)學(xué)知識。（1）點乘（dot product）的幾何意義：如圖3，我們從點乘的公式可以得到α·β相當(dāng)與β的模乘上α在β上投影的模，所以當(dāng)|β|=1時，α·β就是指α在β上投影的模。這一點在下面的內(nèi)容中非常重要。（2）旋轉(zhuǎn)矩陣逆的幾何意思：這個比較抽象，不過也好理解。旋轉(zhuǎn)矩陣相當(dāng)于把一個向量（空間）旋轉(zhuǎn)成新的向量（空間），那么逆可以理解為由新的向量（空間）轉(zhuǎn)回原來的向量（空間）。

圖3

　　接下來就是重點了，我們結(jié)合圖4進行分析。上面已經(jīng)說明了，旋轉(zhuǎn)矩陣R就是由X_B，Y_B，Z_B 三個向量組成的。我們來看看X_B，Y_B，Z_B究竟是什么？由于圖中所有的向量均是單位向量，所以X_B與X_A點乘的結(jié)果可以看成X_B在X_A上的投影的模，也就是X_B在空間A中x軸的分量?。D中中間的位置列出了X_B向量中的三個分量分別為X_B在X_A上的投影的模、X_B在Y_A上的投影的模和X_B在Z_A上的投影的模。這從幾何角度很好理解。以此類推，可以得出的旋轉(zhuǎn)矩陣R的表達形式。我們根據(jù)圖4可以驚喜的發(fā)現(xiàn)，矩陣R的第一行就是X_A在X_B，Y_B，Z_B上的投影的模，也就是X_A^T。

圖4

　　這個發(fā)現(xiàn)有什么用呢？圖5做出解釋。根據(jù)上面公式可以推出A到B的旋轉(zhuǎn)矩陣等于B到A的旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置。根據(jù)我們上一段所說的A到B的旋轉(zhuǎn)矩陣的逆就是等于B到A的旋轉(zhuǎn)矩陣，因此很容易推出R^_-1等于R^T！這滿足正交矩陣的第二個條件，又一次證明了旋轉(zhuǎn)矩陣就是正交陣。在平時的工作中，我也測試過所有的旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式的值都是為1的，所以旋轉(zhuǎn)矩陣滿足正交陣的一切性質(zhì)，可以說是很完美的矩陣。

圖5

 　　現(xiàn)在以三個歐拉角中的RotX為例（其余兩個歐拉角以此類推），驗證一下以上說的結(jié)論。

　　首先結(jié)合圖5的公式，計算出RotX的旋轉(zhuǎn)矩陣R_rotx。

• 由于X軸是垂直于YoZ平面的，所以X_A和Y_B，Z_B的點乘結(jié)果為0，同時X_B和Y_A，Z_A的點乘結(jié)果也為0。
• 由于X_A，X_B都是單位向量，所以X_A和X_B的點乘結(jié)果為1。
• 由于繞x軸旋轉(zhuǎn)，所以我們觀察Y_B和Z_B分別在Y_A和Z_A上的投影情況，如圖6，我已經(jīng)將坐標(biāo)標(biāo)注了。
  
  

  圖6

　　這樣就完成旋轉(zhuǎn)矩陣R_rotx，我們接下來驗證一下。

1. 我們計算每一行每一列的模，都為1；并且任意兩個列向量或者任意兩個行向量都是正交的。所以滿足上文列出的第一個性質(zhì)。
2. 我們計算R_rotx的行列式，很簡單可以算出為1。這時我們計算一下該矩陣的逆和轉(zhuǎn)置，這里我不寫出來了是相等的。所以滿足上文列出的第三個性質(zhì)。
3. 第三個性質(zhì)要牽扯到更多的數(shù)學(xué)知識，在這里就不驗證了。

　　總結(jié)一下：旋轉(zhuǎn)矩陣是一個完美的矩陣——正交矩陣。它的行列式為1，且每個列向量都是單位向量且相互正交，它的逆等于它的轉(zhuǎn)置。