說到逆運(yùn)動(dòng)學(xué)（IK），其中最重要的一部分就是利用雅克比矩陣表示目標(biāo)狀態(tài)和變量組之間的關(guān)系。具體文獻(xiàn)參考“Introduction to Inverse Kinematics with Jacobian Transpose, Pseudoinverse and Damped Least Squares methods”。我們今天主要介紹雅克比矩陣在正運(yùn)動(dòng)學(xué)中的推導(dǎo)和應(yīng)用。可能會(huì)用到一些我以前寫的一篇關(guān)于坐標(biāo)變換的相關(guān)知識(shí)，有興趣的可以翻閱一下。
現(xiàn)在先假設(shè)我們已經(jīng)知道一些先驗(yàn)知識(shí)，比如機(jī)械臂是由一些關(guān)節(jié)（Joint）連接的，一直從基座（base）連接到末端執(zhí)行器（End-Effector），關(guān)節(jié)一般只有一個(gè)自由度（要么是旋轉(zhuǎn)，要么是平移），末端執(zhí)行器有六個(gè)自由度。如圖1所示，我們已經(jīng)將機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)描述的很清楚了。我們現(xiàn)在就是要解決，如何通過每一個(gè)關(guān)節(jié)的自由度求出末端執(zhí)行器的角速度和線速度。這里在引入一個(gè)瞬時(shí)動(dòng)力學(xué)的概念，就是任意關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，末端執(zhí)行器也會(huì)跟著運(yùn)動(dòng)，如果時(shí)間足夠小的話，我們可以看作關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器都是瞬時(shí)變化的?，F(xiàn)在我們問題也就轉(zhuǎn)變成找ΔQ（關(guān)節(jié)的變化）和ΔX（末端執(zhí)行器的變化）之間的關(guān)系。
圖1
我們先確定一些變量，我們對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)（revolute）一般討論的是角度的變化，對(duì)于平移關(guān)節(jié)（prismatic）一般討論的是距離的變化。這里為了統(tǒng)一表示，我們將角度和距離統(tǒng)稱為通道量，記為q。同時(shí)，我們將目標(biāo)狀態(tài)（就是指末端執(zhí)行器的角速度和線速度）記為向量組X={x1，x2，x3，x4，x5，x6}。好了，準(zhǔn)備工作差不多了，現(xiàn)在我們來推導(dǎo)公式了。我們假設(shè)X中的每一項(xiàng)都是由q求出來的（事實(shí)上也是如此），記為x=f(q)。這樣我們可以得到一組等式：
圖2
根據(jù)上面等式，我們可以進(jìn)行擴(kuò)展。我們對(duì)X中的每一項(xiàng)進(jìn)行全微分，等式的右邊對(duì)所有的q進(jìn)行偏導(dǎo)。具體展開式如下 , 另外我們可以將圖3左邊的展開式轉(zhuǎn)化成右邊的矩陣形式：
圖3
可以發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，比如矩陣的行等于X中的項(xiàng)數(shù)m，也就是末端執(zhí)行器的自由度個(gè)數(shù)，而矩陣的列等于Q中的項(xiàng)目數(shù)，也就是關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)。我們現(xiàn)在很自然的將上文中提到的ΔQ和ΔX聯(lián)系起來了。這里得到的這個(gè)矩陣我們一般稱為雅克比矩陣（Jacobian Matrix），記為J。上面的等式可以簡(jiǎn)寫成：
圖4
這里，雅克比矩陣的推導(dǎo)就完成了。雅克比主要聯(lián)系的是ΔQ和ΔX，是瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要組成部分。在機(jī)器人學(xué)中，雅克比矩陣主要是用來求末端執(zhí)行器的角速度和線速度，ΔQ和ΔX在時(shí)間片很小的情況下是可以用來表示速度的。在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們通常利用末端執(zhí)行器的自由度反算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度，這是我們只要將ΔX乘以雅克比矩陣的逆就可以得到Q的變化了。
以前我也說過，人體運(yùn)動(dòng)主要計(jì)算的主要是位置信息和速度信息的變化。所以對(duì)于機(jī)械臂來說，我們最終想得到的也就是末端執(zhí)行器的位置和速度。這里重點(diǎn)說一下怎么利用正運(yùn)動(dòng)學(xué)求末端執(zhí)行器的線速度和角速度。我們知道關(guān)節(jié)分為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和平移關(guān)節(jié)，那么這兩種關(guān)節(jié)分別對(duì)線速度和角速度的影響如圖5所示。
圖5
我們逐項(xiàng)分析一下。平移關(guān)節(jié)對(duì)末端執(zhí)行器的角速度是沒有影響的；平移關(guān)節(jié)沿自身的Z軸移動(dòng)，對(duì)末端執(zhí)行器的線速度提供一個(gè)Z軸方向的分速度。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)末端執(zhí)行器的角速度也是提供一個(gè)分量，角速度分量的方向也是沿Z軸的。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)末端執(zhí)行器的線速度影響比較復(fù)雜，我們想象一下圓盤，現(xiàn)在圓盤隨著圓心旋轉(zhuǎn)，越遠(yuǎn)離圓心，P點(diǎn)的速度越快。我們結(jié)合圖5和圖6，Ωi和Pin的叉乘的結(jié)果等于vp。這也就是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)于末端執(zhí)行器線速度的影響。下面進(jìn)行公式推導(dǎo)。
圖6
首先，我們來看一下Vi和Ωi的表示，其實(shí)這兩個(gè)量就是通道量乘上其方向向量，所以可以得到圖7的兩個(gè)公式：
圖7
根據(jù)Vi和Ωi，我們可以寫出末端執(zhí)行器的角速度和線速度的公式：
圖8
這里，ε有兩個(gè)值0和1，當(dāng)ε表示的是平移矩陣的時(shí)候值為1，表示的是旋轉(zhuǎn)矩陣的時(shí)候值為0。這樣就得到線速度和角速度的公式，我們擴(kuò)展一下公式：
圖9
這里，我們就得到了線速度v和角速度ω跟各關(guān)節(jié)通道q之間的關(guān)系。另外，可以發(fā)現(xiàn)，在這兩個(gè)公式是蘊(yùn)含了雅克比矩陣的，我已經(jīng)用紅線標(biāo)出來了。這就可以得到整個(gè)的雅克比矩陣：
圖10
我們?cè)賹?duì)雅克比矩陣進(jìn)一步分析。對(duì)于線速度而言，當(dāng)前的公式比較難以計(jì)算，我們換一種思路。我們一般可以比較容易的得到末端執(zhí)行器的位置變化xp，所以我們可以根據(jù)對(duì)xp的微分求出線速度。改進(jìn)的公式如下：
圖11
寫到這里，我們就完完全全的得到了通道q和線速度v以及角速度ω之間的關(guān)系。這也是機(jī)器人學(xué)中求解機(jī)械臂的最常用方法。
下面舉個(gè)例子，加深一下對(duì)雅可比矩陣的認(rèn)識(shí)。如圖12所示，這是一個(gè)二維的機(jī)械臂，各個(gè)關(guān)節(jié)的通道已經(jīng)給出了，機(jī)械臂的長(zhǎng)度也已經(jīng)給出，下面就是如何求解末端執(zhí)行器的角速度和線速度。
圖12
我們先來看線速度。P1的速度肯定是為0的，后面節(jié)點(diǎn)的速度其實(shí)就是一個(gè)累加過程，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的線速度如下：
圖12
s1表示的是sinθ1，c1表示的是cosθ1，s2表示的是sinθ2，c2表示的是cosθ2，s12表示的是sin(θ1+θ2)，c12表示的是cos(θ1+θ2)。這里牽扯到一些向量叉乘的計(jì)算，可以翻閱相關(guān)的數(shù)學(xué)書籍，就不在詳述了。我們下面接著看角速度的求解， 這個(gè)就比較簡(jiǎn)單了，具體公式如下：
圖13
接下來，我們根據(jù)VP3和ω3的公式就可以得到雅克比矩陣，如下所示：
圖14
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