轉自[CU blog] http://blog.chinaunix.net/u2/88035/showart.php?id=1936534
什么是正交，相關，消元變換----[引用和轉載請標明本文CU blog出處]
先說到底什么是正交？這是一個令人頭疼的事情。x,y平面上恒縱坐標夾角90度，我們稱這兩個軸正交----其實這個回答和"身上沒有毛的，兩個腿走路的，我們稱這是人"是同一類解釋，根本就沒有正面回答，如何對正交下定義。
事情是這樣的，對于2維平面上面的一個點，我們用坐標表示一個點，也就是一個向量，向量的數(shù)組形式是(x,y)，復數(shù)形式是(x+yi)(這個表示是唯一的。3維空間的情況類似，(x,y,z)和x+iy+jz)。x+yi在x軸的投影是x，和y無關；在y軸的投影是x，與x無關。所以x/y軸構成互相無關的一組投影矢量，我們就說x軸和y軸正交。正交投影向量組成一個正交矩陣[x軸;y軸]，分號代表換行。但是如果我們在x/y平面再畫一跟軸出來，例如 x,y軸之間夾角45度的一條線z，那么點(x,y)如果寫成(x,y,z)的形式就不止一種了。(1,1)可以表示為(0.5,0.5,0.5*根號2 分之一)，或者(0.3,0.3,0.7*根號2分之一)，這樣的投影結果不止一種，所以[x軸,y軸,z軸]這個投影矩陣對于2維平面是有冗余的，應該去掉其中之一使得這個投影的形式唯一確定。
好了，綜上所述，正交的定義是：一組基礎向量a1,a2,...an，它們之間的關系是，某個向量v在各個ax上面的投影分解，表達式唯一。或者表述為，a1-an當中的任意向量，在其他向量上面的投影都是0。我們稱a1-an之間的關系為互相正交。然后，這n個互相正交的向量，共同構成了一個n維的空間。在這個空間里面，任何其他的向量都可以分解成n個正交投影的矢量和。特別的，N維空間可以用n個正交向量表示，這種n個正交向量本身，可以有無數(shù)種形式，只要他們之間保持正交就可以了。x/y平面的正交向量集合可以是[x軸,y軸]，也可以是x/y軸繞著原點，分別旋轉一個角度以后的兩個軸(當然保持90夾角不變)。
消元有什么物理意義嗎，做個具體的分析。一個2x2的矩陣A，是一個方程組Ax=b的系數(shù)矩陣。那么這2個方程表示了2維平面上的兩條直線。那么我應用消元法：方程組(x+y=2,x+2y=3)第2個行向量減去第一個行向量，得到新的方程組(x+y=2,y=1)，這個方程組和原方程組通解，不同的是 x+2y=3繞著交點(方程的解)旋轉到了y=1。所以，求解方程組的過程，就是尋找同解方程的過程。消元法是"合法合理"的求解方程組的過程。那么求行列式的過程呢，消元是否影響最后結果？只需證明一個通用變量的情況就可以了，其他的遞推就行。
說了物理意義以及思想來源。沒有憑空創(chuàng)造出來的數(shù)學概念，高數(shù)所以高等，是因為能解決一些經(jīng)典數(shù)學很難解決的問題，并且用一種一致和優(yōu)雅的辦法對多種不同的問題都有效果。
再說說線性代數(shù)里面的一些純粹數(shù)學上的特性。
-> 行列式是若干個乘積的加和，那么每個分式都有一個符號，由(x坐標的逆序+y坐標的逆序)決定。如果這個加和是偶數(shù)，那么分式取正號，否則取負號。例如 2345....n1的逆序是多少呢? 無論那種方法重排達到正序的過程，中間次數(shù)都是相差2x，所以不影響符號。這里我們考慮把最后的'1'用冒泡的方式上升到第一位，所以逆序=n-1。
-> 一個數(shù)m乘以一個方陣，相當于方陣的每個元素e都成了m*e。那么行列式分式的每一項都乘以了m^n，所以|m*A|=m^n|A|。例題：設A是 m*m，B是n*n，C是個分塊矩陣，C=[0,A;B,0]，那么C的行列式是多少? 考慮逆序的情況，A的m個列，每個列經(jīng)過n次移位以后，C'=[A,0;0,B]，移位次數(shù)=m*n，所以|C|=(-1)^(m*n)|C|= (-1)^(m*n)*|A|*|B|。
-> 如果矩陣的某一行乘以m，那么|A'|=m*|A|。例題：3階矩陣A和B，A=[a,2x,3y]，B=[b,x,y],|A|=18,|B|=2，求|A-B|=? 解：|A-B|=|[a-b,x,2y]|=2*|[a-b,x,y]|=2*|[a,x,y]|-2*|[|b,x,y]|= (1/3)*|a,2x,3y|-2|B|=2
-> 上面用到了一個很重要的行列式對于向量分解的特性，|[a-b,xxxx]|=|a,xxxx|-|b,xxxx|。|A|-|B|=|[a1-b1,a2-b2...an-bn]|這個可以通過代數(shù)余子式的特性證明。再舉個例子，A是一個方陣
|x1+1,x1+2,...x1+n|
|x1+1,x1+2,...x1+n|
|....,....,.......|
|x1+1,x1+2,...x1+n|,那么A的行列式是多少? 當n大于2時，第一列+第三列=第2列*2，線性相關了，所以行列式=0。n=2時,容易算出|A|=x1-x2。
實際當中沒有所謂"連續(xù)"的東西，量子也是一份一份的傳播的。那么y=f(x)是什么呢？無數(shù)個x點對應的y點的集合。不考慮不同x之間間距，或者認為間隔無窮小，那么y=f(x)就可以寫成一個向量的形式(y1,y2,y3,y4...yn)，其中的下標是x的離散取值。在離散的情況下，x只是下標序列，本身失去了物理意義。所以，真實的世界沒有嚴格的傅立葉變換，只有DFT,FFT,Z變換序列等等存在(計算機當中也是如此)。那么，高等數(shù)學中函數(shù)的計算(連續(xù))實際上，就是線性代數(shù)里面的線性(離散)變換。這里數(shù)學的兩個分支被量子理學統(tǒng)一起來了。
考慮y=f(x)(周期為T)的傅立葉級數(shù)展開形式----它相當于，在一個T內(nèi)f(x)是無窮維向量 (y1,y2,y3,...,yn...)，f(x)的傅立葉級數(shù)展開式就是f(x)在無窮維正交基(e^jnw)上面有投影，這個正交基是從低頻到高頻的一些列三角函數(shù)組合。每一個投影的系數(shù)是一個長度。那么e^jnw組成的正交基就是的任何f(x)的特征向量，不同的是，不同f(x)對應不同的特征值向量。一個N維的向量空間，N個正交矢量不是定死的，而可以是任意的向量值組合，只要保持互相兩兩正交就可以了。例如我想構造3維的正交基，我隨手寫下 (1,0,1)，那么(0,1,2)，(0,0,1)就可以是剩下的兩個向量。為什么？一般的說，向量e1,e2,e3是正交基，那么 e1+e2,e2+e3,e1+e3這三個向量也可以構成正交基。
那么如果一條繩子上有個駐波sin(t)在傳播，那么繩子向量(s1,...sn)(n為無窮大)，可以投影到一個特征向量函數(shù)sin(t)上面。如果 f(x)=sin(t)+sin(2t)呢？顯然，兩個特征函數(shù)，依次類推，我們竟然得到傅立葉級數(shù)展開----也就是因為三角級數(shù)本身可以作為投影的基準，可以分解任何函數(shù)。所以三角函數(shù)就是特征向量函數(shù)，頻率分析的值就是特征值。說得遠一點，任何數(shù)學分析最后都可以用頻譜分析來代替。這也就是"信號與系統(tǒng)"，"數(shù)字信號處理"，"通信原理"，"概率和隨機過程"這些課程，怎么看起來都是在玩頻率游戲和功率譜游戲的原因----學完以后經(jīng)常會感覺自己什么都沒有學會。因為在物理層，信息的"意義"并不存在，只有傳輸和設計的電子/數(shù)學特性有意義。通信協(xié)議都是高層次的東西，和"通信原理"無關。在底層只有物理意義，沒有邏輯意義。
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