前言
Nobody can go back and start a new beginning,but anyone can start today and make a new ending.
Name:Willam
Time:2017/3/8
1、最短路徑問(wèn)題介紹
問(wèn)題解釋：
從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到達(dá)另外一個(gè)頂點(diǎn)的所經(jīng)過(guò)的邊的權(quán)重和最小的一條路徑，稱為最短路徑
解決問(wèn)題的算法：
這篇博客，我們就對(duì)Dijkstra算法來(lái)做一個(gè)詳細(xì)的介紹
算法特點(diǎn)：
迪科斯徹算法使用了廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無(wú)向圖的單源最短路徑問(wèn)題，算法最終得到一個(gè)最短路徑樹(shù)。該算法常用于路由算法或者作為其他圖算法的一個(gè)子模塊。
算法的思路
Dijkstra算法采用的是一種貪心的策略，聲明一個(gè)數(shù)組dis來(lái)保存源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離和一個(gè)保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T，初始時(shí)，原點(diǎn) s 的路徑權(quán)重被賦為 0 （dis[s] = 0）。若對(duì)于頂點(diǎn) s 存在能直接到達(dá)的邊（s,m），則把dis[m]設(shè)為w（s, m）,同時(shí)把所有其他（s不能直接到達(dá)的）頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度設(shè)為無(wú)窮大。初始時(shí)，集合T只有頂點(diǎn)s。
然后，從dis數(shù)組選擇最小值，則該值就是源點(diǎn)s到該值對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的最短路徑，并且把該點(diǎn)加入到T中，OK，此時(shí)完成一個(gè)頂點(diǎn)，
然后，我們需要看看新加入的頂點(diǎn)是否可以到達(dá)其他頂點(diǎn)并且看看通過(guò)該頂點(diǎn)到達(dá)其他點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度是否比源點(diǎn)直接到達(dá)短，如果是，那么就替換這些頂點(diǎn)在dis中的值。
然后，又從dis中找出最小值，重復(fù)上述動(dòng)作，直到T中包含了圖的所有頂點(diǎn)。
下面我求下圖，從頂點(diǎn)v1到其他各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑
首先第一步，我們先聲明一個(gè)dis數(shù)組，該數(shù)組初始化的值為：
我們的頂點(diǎn)集T的初始化為：T={v1}
既然是求 v1頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離v1頂點(diǎn)最近是 v3頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了 2 號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]（下標(biāo)從0開(kāi)始）的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”，即 v1頂點(diǎn)到 v3頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。將V3加入到T中。
為什么呢？因?yàn)槟壳半x v1頂點(diǎn)最近的是 v3頂點(diǎn)，并且這個(gè)圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得 v1頂點(diǎn)到 v3頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因?yàn)?v1頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒(méi)有 v1到 v3頂點(diǎn)短.
OK，既然確定了一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，下面我們就要根據(jù)這個(gè)新入的頂點(diǎn)V3會(huì)有出度，發(fā)現(xiàn)以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那么我們看看路徑：v1–v3–v4的長(zhǎng)度是否比v1–v4短，其實(shí)這個(gè)已經(jīng)是很明顯的了，因?yàn)閐is[3]代表的就是v1–v4的長(zhǎng)度為無(wú)窮大，而v1–v3–v4的長(zhǎng)度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結(jié)果：
因此 dis[3]要更新為 60。這個(gè)過(guò)程有個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做“松弛”。即 v1頂點(diǎn)到 v4頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過(guò) < v3,v4> 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過(guò)“邊”來(lái)松弛v1頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的路程。
然后，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發(fā)現(xiàn)dis[4]的值最小，通過(guò)之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然后，我們把v5加入到集合T中，然后，考慮v5的出度是否會(huì)影響我們的數(shù)組dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4的長(zhǎng)度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長(zhǎng)度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新后的dis數(shù)組如下圖：
然后，繼續(xù)從dis中選擇未確定的頂點(diǎn)的值中選擇一個(gè)最小的值，發(fā)現(xiàn)dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此時(shí)集合T={v1,v3,v5,v4},然后，考慮v4的出度是否會(huì)影響我們的數(shù)組dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4–v6的長(zhǎng)度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新后的dis數(shù)組如下圖：
然后，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最后dis的數(shù)組的值如下：
因此，從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)v1-v2的值為：∞，代表沒(méi)有路徑從v1到達(dá)v2。所以我們得到的最后的結(jié)果為：
起點(diǎn) 終點(diǎn) 最短路徑 長(zhǎng)度v1 v2 無(wú) ∞ v3 {v1,v3} 10 v4 {v1,v5,v4} 50 v5 {v1,v5} 30 v6 {v1，v5,v4,v6} 60/************************************************************//* 程序作者：Willam *//* 程序完成時(shí)間：2017/3/8 *//* 有任何問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系：2930526477@qq.com *//************************************************************///@盡量寫(xiě)出完美的程序#pragma once//#pragma once是一個(gè)比較常用的C/C++雜注，//只要在頭文件的最開(kāi)始加入這條雜注，//就能夠保證頭文件只被編譯一次。#include<iostream>#include<string>using namespace std;/*本程序是使用Dijkstra算法實(shí)現(xiàn)求解最短路徑的問(wèn)題采用的鄰接矩陣來(lái)存儲(chǔ)圖*///記錄起點(diǎn)到每個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑的信息struct Dis { string path; int value; bool visit; Dis() { visit = false; value = 0; path = ""; }};class Graph_DG {private: int vexnum; //圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù) int edge; //圖的邊數(shù) int **arc; //鄰接矩陣 Dis * dis; //記錄各個(gè)頂點(diǎn)最短路徑的信息public: //構(gòu)造函數(shù) Graph_DG(int vexnum, int edge); //析構(gòu)函數(shù) ~Graph_DG(); // 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法 //頂點(diǎn)從1開(kāi)始編號(hào) bool check_edge_value(int start, int end, int weight); //創(chuàng)建圖 void createGraph(); //打印鄰接矩陣 void print(); //求最短路徑 void Dijkstra(int begin); //打印最短路徑 void print_path(int);};#include"Dijkstra.h"http://構(gòu)造函數(shù)Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) { //初始化頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù) this->vexnum = vexnum; this->edge = edge; //為鄰接矩陣開(kāi)辟空間和賦初值 arc = new int*[this->vexnum]; dis = new Dis[this->vexnum]; for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) { arc[i] = new int[this->vexnum]; for (int k = 0; k < this->vexnum; k++) { //鄰接矩陣初始化為無(wú)窮大 arc[i][k] = INT_MAX; } }}//析構(gòu)函數(shù)Graph_DG::~Graph_DG() { delete[] dis; for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) { delete this->arc[i]; } delete arc;}// 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法//頂點(diǎn)從1開(kāi)始編號(hào)bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end, int weight) { if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) { return false; } return true;}void Graph_DG::createGraph() { cout << "請(qǐng)輸入每條邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)（頂點(diǎn)編號(hào)從1開(kāi)始）以及其權(quán)重" << endl; int start; int end; int weight; int count = 0; while (count != this->edge) { cin >> start >> end >> weight; //首先判斷邊的信息是否合法 while (!this->check_edge_value(start, end, weight)) { cout << "輸入的邊的信息不合法，請(qǐng)重新輸入" << endl; cin >> start >> end >> weight; } //對(duì)鄰接矩陣對(duì)應(yīng)上的點(diǎn)賦值 arc[start - 1][end - 1] = weight; //無(wú)向圖添加上這行代碼 //arc[end - 1][start - 1] = weight; ++count; }}void Graph_DG::print() { cout << "圖的鄰接矩陣為：" << endl; int count_row = 0; //打印行的標(biāo)簽 int count_col = 0; //打印列的標(biāo)簽 //開(kāi)始打印 while (count_row != this->vexnum) { count_col = 0; while (count_col != this->vexnum) { if (arc[count_row][count_col] == INT_MAX) cout << "∞" << " "; else cout << arc[count_row][count_col] << " "; ++count_col; } cout << endl; ++count_row; }}void Graph_DG::Dijkstra(int begin){ //首先初始化我們的dis數(shù)組 int i; for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { //設(shè)置當(dāng)前的路徑 dis[i].path = "v" + to_string(begin) + "-->v" + to_string(i + 1); dis[i].value = arc[begin - 1][i]; } //設(shè)置起點(diǎn)的到起點(diǎn)的路徑為0 dis[begin - 1].value = 0; dis[begin - 1].visit = true; int count = 1; //計(jì)算剩余的頂點(diǎn)的最短路徑（剩余this->vexnum-1個(gè)頂點(diǎn)） while (count != this->vexnum) { //temp用于保存當(dāng)前dis數(shù)組中最小的那個(gè)下標(biāo) //min記錄的當(dāng)前的最小值 int temp=0; int min = INT_MAX; for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { if (!dis[i].visit && dis[i].value<min) { min = dis[i].value; temp = i; } } //cout << temp + 1 << " "<<min << endl; //把temp對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)加入到已經(jīng)找到的最短路徑的集合中 dis[temp].visit = true; ++count; for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { //注意這里的條件arc[temp][i]!=INT_MAX必須加，不然會(huì)出現(xiàn)溢出，從而造成程序異常 if (!dis[i].visit && arc[temp][i]!=INT_MAX && (dis[temp].value + arc[temp][i]) < dis[i].value) { //如果新得到的邊可以影響其他為訪問(wèn)的頂點(diǎn)，那就就更新它的最短路徑和長(zhǎng)度 dis[i].value = dis[temp].value + arc[temp][i]; dis[i].path = dis[temp].path + "-->v" + to_string(i + 1); } } }}void Graph_DG::print_path(int begin) { string str; str = "v" + to_string(begin); cout << "以"<<str<<"為起點(diǎn)的圖的最短路徑為：" << endl; for (int i = 0; i != this->vexnum; i++) { if(dis[i].value!=INT_MAX) cout << dis[i].path << "=" << dis[i].value << endl; else { cout << dis[i].path << "是無(wú)最短路徑的" << endl; } }}#include"Dijkstra.h"http://檢驗(yàn)輸入邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)的值是否有效，可以自己推算為啥：//頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的關(guān)系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edgebool check(int Vexnum, int edge) { if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge) return false; return true;}int main() { int vexnum; int edge; cout << "輸入圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和邊的條數(shù)：" << endl; cin >> vexnum >> edge; while (!check(vexnum, edge)) { cout << "輸入的數(shù)值不合法，請(qǐng)重新輸入" << endl; cin >> vexnum >> edge; } Graph_DG graph(vexnum, edge); graph.createGraph(); graph.print(); graph.Dijkstra(1); graph.print_path(1); system("pause"); return 0;}輸入：
6 81 3 101 5 301 6 1002 3 53 4 504 6 105 6 605 4 20輸出：
從輸出可以看出，程序的結(jié)果和我們之前手動(dòng)計(jì)算的結(jié)果是一樣的。
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