新課改背景下高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)新思考---推薦人：胡陽新
湖北省巴東縣第二高級中學(xué) 譚久平 郵編：444324
所謂數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或現(xiàn)實生活的情境中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程?！彼浴疤骄渴健苯虒W(xué)同時也完全符合在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的前提下，以培養(yǎng)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新精神為重點的當(dāng)代教學(xué)原則。此教學(xué)內(nèi)容的選材依托于課本中的內(nèi)容：“由祖暅原理和圓柱、圓錐體的體積公式可得球體積公式
”。盡管教材中未給出該公式的嚴格推導(dǎo)過程，但本著“來源于教材，理由在書中”的原則，我認為這是一個很好的“探究”切入點，能留給學(xué)生較大的思維創(chuàng)造空間，避免了為“探究”而設(shè)計的“探究課”，能順應(yīng)新課程發(fā)展的要求。
故我把整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計如下：
教學(xué)目標(biāo)
（1）知識與技能目標(biāo)：
利用祖暅原理，知道球體積公式的一種推導(dǎo)方法，并應(yīng)用其求橢球體積；
（2）過程與方法目標(biāo)：
通過對球體積公式的探求，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，學(xué)會觀察、類比、歸納、猜想等合理推理方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力；
（3）情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
通過師生互動、生生互動共同探究的教學(xué)活動，形成學(xué)生的體驗性認識，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的個性品質(zhì)。
教學(xué)重點和難點
利用祖暅原理探求球體積公式。
教學(xué)過程設(shè)計
（一）
1.復(fù)習(xí)祖暅原理及棱柱、圓柱體體積公式;
約在公元5世紀，我國數(shù)學(xué)家祖暅在研究“開立圓術(shù)”中指出“夫疊綦成立積，緣冪勢既同，則積不容異”。其意思是：體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等。這一論述被后人稱為祖暅原理。
設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教育，使數(shù)學(xué)史中的思想方法為數(shù)學(xué)教育服務(wù)。
用祖暅原理可證明：
兩個等底等高的棱(圓)柱的體積相等。（圖1）
2.復(fù)習(xí)棱錐、圓錐體體積公式
用祖暅原理可證明：
兩個等底等高的棱(圓)錐的體積相等。（圖2）
（二）新課導(dǎo)入
1.復(fù)習(xí)球體積公式
，直接拋出問題：課本中已介紹過應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法。如何根據(jù)課本提示，由祖暅原理和圓柱、圓錐體的體積公式去推導(dǎo)球體積公式？
設(shè)計意圖：開門見山地告知學(xué)生今天的學(xué)習(xí)任務(wù)，但問題較大，學(xué)生的個體差異會使部分學(xué)生找不到思考的切入點，故我設(shè)計將任務(wù)細化，在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生進行探究。
2.將問題分解：
（1）選擇的圓柱（錐）體與對應(yīng)的球之間應(yīng)有那些對應(yīng)關(guān)系？
設(shè)計意圖：探求圓柱（錐）體的半徑與高和球體半徑的等量關(guān)系，并根據(jù)對稱性作出選擇研究半個球的體積公式。
（2）僅選擇圓柱體（或圓錐體）與對應(yīng)的半球，用平行截面去截，截面之間能否保證祖暅原理中“在任意等高處的截面面積都對應(yīng)相等”的要求？
設(shè)計意圖：本節(jié)課的重點是“用祖暅原理為依據(jù)進行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的關(guān)鍵，探求發(fā)現(xiàn)圓柱體在等高處的截面（除底面外）大于半球體，而圓錐體在等高處的截面（除底面外）小于半球體，大膽猜測進行大小間的“協(xié)調(diào)”。
（3）如何利用割補法探求半球體積公式？（在這個問題的教學(xué)組織上，采用讓學(xué)生分組協(xié)作的合作學(xué)習(xí)方式進行）
設(shè)計意圖：探求圓柱體與圓錐體在等高處的截面進行大小間的“協(xié)調(diào)”的過程，蘊涵著猜測和嘗試的雙過程，結(jié)論的得出必定是完成了嚴格的證明。
探求結(jié)果用祖暅原理求球體體積公式的做法是：可構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球體積公式。
說明：這里教師設(shè)計了一個容易激疑的問題情境，給學(xué)生思維以方向和動力；三個由淺入深的問題引起學(xué)生深入的思考，并且能促使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題，作出思考，提出猜想，進行驗證”等探究性的學(xué)習(xí)活動，并教給學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的方法。這樣設(shè)計探究學(xué)習(xí)活動，是為了更有利于學(xué)生主體性的發(fā)揮。在親歷學(xué)習(xí)過程的探究活動中豐富經(jīng)歷，強調(diào)合作，促進了學(xué)生在思維品質(zhì)、人格特征以及解題方法等方面的優(yōu)勢互補，使學(xué)生興趣盎然地投入探究新知的學(xué)習(xí)活動中。
3.得出球體積公式
4.反思小結(jié)、提煉數(shù)學(xué)思想：
（1）在該問題的解決過程中，我們是怎樣入手的？為什么要這樣設(shè)計？（依據(jù)祖暅原理）
（2）在探求過程中我們主要運用了什么方法？？（割補法）
（3）我們概括出怎樣的一般性的結(jié)論？（球體積公式
）
（4）在探究過程中運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（嘗試、猜測、論證）
(三)應(yīng)用
請在研究和理解球體積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，解決以下問題：
已知橢圓
，將此橢圓繞
軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體（圖2），其體積等于______________.
設(shè)計意圖：本問題的提出是球體積公式推導(dǎo)的類比遷移和引申拓廣。在題目設(shè)計上選擇了具體數(shù)據(jù)（橢圓的長軸、短軸已知）的橢球，使學(xué)生能經(jīng)過自己的主動探索、實驗，得到結(jié)論，這是對學(xué)生主動參與精神的激勵。能使學(xué)生感悟到“面對新問題，聯(lián)想舊知識，尋找新舊知識之間的關(guān)系，揭示知識規(guī)律，獲取新知”的探究方法和策略，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的動力和信心，使他們更自覺更主動地投入到探究性學(xué)習(xí)活動中去。
（四）小結(jié)：
通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我們利用割補法及祖暅原理得到了球的體積公式，并初步體會了其應(yīng)用；進而收獲了一個特殊橢球體的體積計算方法，又一次體會了聯(lián)想、類比、猜測、證明等合情推理及邏輯推理的方法在探索新知識方面的重要作用。
（五）作業(yè)：
請在研究和理解球體積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，解答下問題：
（1）已知橢圓
，將此橢圓繞
軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體，探求其體積。
（2）將此橢圓繞
軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體，探求其體積。
作業(yè)設(shè)計意圖：本問題的提出是繼具體橢球體積計算后的再次拓廣。在題目設(shè)計上選擇了更具一般性（橢圓的長軸、短軸為
）的橢球，讓學(xué)生對課堂上的探究延續(xù)到課后，達成進一步的反饋和鞏固。
（六）課后反思：
實施數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)方式改革的必由之路。學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動能否順利實施，關(guān)鍵在于教師能否創(chuàng)造適宜的教學(xué)情境和進行合理的引導(dǎo)。在新課程實施過程中，教師要運用一切可能的手段，不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)有效的探究時間和空間，形成良好的探究風(fēng)氣，讓每個學(xué)生都有主動探究的機會和欲望，從而真正實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。
