你好，歡迎來(lái)到我的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》。這一講的主題是：數(shù)列和級(jí)數(shù)：要知道當(dāng)下很重要，但趨勢(shì)更重要。
有人問(wèn)我，是否通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提高了見(jiàn)識(shí)水平？公平地講，很難找到某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)了之后讓見(jiàn)識(shí)馬上提升，這種直接產(chǎn)生效果的知識(shí)我是沒(méi)有遇到。但是通過(guò)學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，幫助我形成了系統(tǒng)的做事方法，并且改進(jìn)了看待世界的角度，這卻不是虛言。
今天和大家分享兩點(diǎn)體會(huì)，第一點(diǎn)是我們?nèi)绾闻e一反三，通過(guò)對(duì)單個(gè)事件，或者說(shuō)對(duì)個(gè)案的研究，尋找出對(duì)一系列問(wèn)題的通解，第二點(diǎn)是從很多孤立事件出發(fā)，看到并理解趨勢(shì)和規(guī)律。
為了說(shuō)明這兩點(diǎn)，在接下來(lái)的幾講里我們用數(shù)列這個(gè)專(zhuān)題作為例子，練習(xí)把握從個(gè)體到群體的規(guī)律。當(dāng)然，講數(shù)列還有一個(gè)目的，就是承上啟下，它會(huì)用到前面講的黃金分割的知識(shí)，并且為后面講極限、無(wú)窮大和無(wú)窮小奠定基礎(chǔ)。
我們先來(lái)看一個(gè)具體的數(shù)列，給你這樣一串?dāng)?shù)字：
1，1，2，3，5，8，13，……
如果我來(lái)問(wèn)大家下一個(gè)數(shù)字應(yīng)該是什么，比較善于琢磨規(guī)律的人會(huì)指出，由于每一個(gè)數(shù)字（除了前兩個(gè)）都是前面兩個(gè)數(shù)字之和，因此下一個(gè)應(yīng)該是21，即8+13。這個(gè)答案完全正確，這樣一連串有規(guī)律的數(shù)字放到一起，就形成了我們要說(shuō)的數(shù)列。
上面這個(gè)數(shù)列，就是數(shù)學(xué)中鼎鼎大名的斐波那契數(shù)列。在這個(gè)數(shù)列中，我們是有規(guī)律可循的，根據(jù)數(shù)列中開(kāi)頭幾個(gè)元素的具體數(shù)值，知道整個(gè)數(shù)列每一個(gè)位置元素的數(shù)值，就是提升自己從孤立事件里發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。
數(shù)列其實(shí)在今天中國(guó)的小學(xué)已經(jīng)講到，比如常見(jiàn)的兩種數(shù)列分別是這樣的：
1，2，3，4，5，6，7，……以及1，2，4，8，16，32，……
前一種數(shù)列由于相鄰兩個(gè)數(shù)字（我們稱(chēng)之為元素）的差距都是1，因此被稱(chēng)為等差數(shù)列，后一種由于相鄰兩個(gè)數(shù)字的比值都是相同的（都是2），因此被稱(chēng)為等比數(shù)列。
在學(xué)校里，老師會(huì)講從1加到100怎么計(jì)算，也會(huì)講到等比數(shù)列（也被稱(chēng)為幾何數(shù)列）會(huì)增長(zhǎng)很快。但是為什么要把這些數(shù)字放到一起研究，其實(shí)老師們是語(yǔ)焉不詳?shù)?。?dāng)然即使老師講，以小學(xué)生的理解能力也未必能體會(huì)。因此今天我們就從這里入手，講講數(shù)列和數(shù)字的關(guān)系。
數(shù)列是一種工具。它看似是一串?dāng)?shù)字，但這里重要的是彼此的關(guān)聯(lián)，以及數(shù)字的規(guī)律，而不是數(shù)字本身。那些規(guī)律和我們現(xiàn)實(shí)生活中一些事情的發(fā)展過(guò)程相關(guān)，于是這個(gè)工具就能夠運(yùn)用到我們真實(shí)的世界里了。
比如我們后面要講到的媒體轉(zhuǎn)播的發(fā)散和收斂問(wèn)題，以及利息問(wèn)題，就和幾何數(shù)列有關(guān)。以斐波那契數(shù)列為例，它其實(shí)反映出一個(gè)物種自然繁衍，或者一個(gè)組織自然發(fā)展過(guò)程中成員的變化規(guī)律。斐波那契數(shù)列最初是這樣描述的：
有一對(duì)兔子，它們生下了一對(duì)小兔子，前面的我們叫做第一代，后面的我們叫做第二代。然后這兩代兔子各生出一對(duì)兔子，這樣就有了第三代。這時(shí)第一代兔子老了，就生不了小兔子了，但是第二、第三代還能生，于是它們生出了第四代。然后它們不斷繁衍下去。那么請(qǐng)問(wèn)第N代的兔子有多少對(duì)？這個(gè)數(shù)列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，……
如果我們稍微留心一下這個(gè)數(shù)列的增長(zhǎng)速度，雖然它趕不上1，2，4，8，16這樣的翻番增長(zhǎng)，但其實(shí)也很快，也呈現(xiàn)出一種指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。在現(xiàn)實(shí)生活中，兔子的繁殖曾經(jīng)就是這么迅猛。
1859 年，一個(gè)名叫托馬斯·奧斯汀的英國(guó)人移民來(lái)到澳大利亞，他喜歡打獵，但發(fā)現(xiàn)澳大利亞沒(méi)有兔子可打，便讓侄子從英國(guó)帶來(lái)了24只兔子。
這24只兔子到了澳大利亞后被放到野外，由于沒(méi)有天敵，它們便快速繁殖起來(lái)。兔子一年能繁殖幾代，年初剛生下來(lái)的兔子，年底就會(huì)成為“曾祖”。幾十年后，兔子數(shù)量飆升至40億只，這在澳大利亞造成了巨大的生態(tài)災(zāi)難。
有人可能會(huì)問(wèn)，為什么不吃兔子？澳大利亞人也確實(shí)從1929年開(kāi)始吃兔子肉了，但是吃的速度沒(méi)有繁殖的快。澳大利亞政府甚至動(dòng)用軍隊(duì)捕殺，也收效甚微。
最后，在1951年，澳大利亞引進(jìn)了一種能殺死兔子的病毒，終于消滅了99％以上的兔子，可是少數(shù)大難不死的兔子產(chǎn)生了抗病毒性，于是“人兔大戰(zhàn)”一直延續(xù)至今。從這個(gè)故事我想說(shuō)的是，真遇上指數(shù)增長(zhǎng)的事情，是非?？膳碌?。
接下來(lái)，我們就定量地分析一下斐波那契數(shù)列增長(zhǎng)有多快。我們不妨用Fn代表數(shù)列中第n個(gè)數(shù)，那么Fn+1就表示其中的第n+1個(gè)數(shù)。我們?cè)儆肦n，代表Fn+1和Fn的比值，也就是后一個(gè)數(shù)和前一個(gè)數(shù)的比值，你可以把它們看成是數(shù)列增長(zhǎng)的相對(duì)速率。
下面的表給出了斐波那契數(shù)列中前12個(gè)元素的數(shù)值，以及增長(zhǎng)的速率。
大家可以看出Rn這個(gè)比值，很快趨近于1.618了，這恰好是黃金分割的比例。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明，數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可能存在某種天然的聯(lián)系，這似乎是數(shù)學(xué)這套系統(tǒng)本身渾然天成的結(jié)果，因此很多人講這其實(shí)就是數(shù)學(xué)之美的體現(xiàn)。
我們課程從畢達(dá)哥拉斯，講到黃金分割，然后通過(guò)黃金分割，由此把一些數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)。這其實(shí)就是一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的技巧了，絕大部分時(shí)候不在于題做得有多難，而在于你閉上眼睛，能夠用一兩條關(guān)鍵的線(xiàn)索把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)。
通過(guò)上面這個(gè)比例，我們需要說(shuō)明兩件事情。首先，雖然這個(gè)數(shù)列最終的走向是收斂于黃金分割的比例，但是在一開(kāi)始的幾個(gè)數(shù)，并不符合這個(gè)規(guī)律。這在數(shù)學(xué)上不是偶然現(xiàn)象，很多時(shí)候，僅僅通過(guò)少數(shù)幾個(gè)數(shù)字得到的所謂的“規(guī)律”，其實(shí)和采用大量數(shù)據(jù)后得到的規(guī)律完全是兩回事，這一點(diǎn)要特別注意。
其次，上述這個(gè)比率，幾乎是一個(gè)企業(yè)擴(kuò)張時(shí)能夠接受的最高的員工數(shù)量增長(zhǎng)速率，如果超過(guò)這個(gè)速率，企業(yè)的文化就很難維持了。企業(yè)在招入新員工時(shí)，通常要由一個(gè)老員工帶一個(gè)新員工，缺了這個(gè)環(huán)節(jié)，企業(yè)的人一多就各自為戰(zhàn)了。
而當(dāng)老員工帶過(guò)兩三個(gè)新員工后，他們都會(huì)追求更高的職業(yè)發(fā)展道路，不會(huì)花太多時(shí)間繼續(xù)帶新人了，因此帶新員工的人基本也就是職級(jí)中等偏下的人，這很像兔子繁殖，只有那些已經(jīng)性成熟而且還年輕的在生育。
我們?cè)谡劦降缺葦?shù)列時(shí)，通常會(huì)想到指數(shù)爆炸，變得越來(lái)越大。但是還有另一類(lèi)等比數(shù)列，它們的數(shù)字每一個(gè)都比前一個(gè)小，最終就會(huì)趨近于零。
炒股的人有這樣的經(jīng)驗(yàn)，如果每次損失10%，用不了幾次就損失一半了，這就是等比數(shù)列中每一個(gè)數(shù)字都在不斷按比例衰減的結(jié)果。具體講，大約6次，就會(huì)損失一半，大約13次就會(huì)損失3/4。
再舉一個(gè)例子，今天用于測(cè)定年代的碳-14測(cè)定法，利用的就是這個(gè)原理。碳-14是自然界里一種天然的元素，是宇宙射線(xiàn)照射大氣的產(chǎn)物，因此它會(huì)不斷產(chǎn)生，但是它有放射性，因此過(guò)一段時(shí)間會(huì)衰變掉一部分，于是它在自然界保持著一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡。
生物體在活著的時(shí)候，會(huì)吸入大氣中的碳-14元素（通過(guò)二氧化碳），因此它體內(nèi)的比例就和自然界的比例相同。但是生物體一死，就不會(huì)再吸入碳-14了，因此體內(nèi)碳-14的比例就會(huì)逐漸降低。
根據(jù)生物遺骸體內(nèi)碳-14的比例，結(jié)合碳-14衰變的速率（也稱(chēng)為半衰期），就能算出古代生物體距今的時(shí)間。所以，對(duì)于等比數(shù)列，我們一般理解的是快速上漲，但是它也可能代表不斷地衰減。
數(shù)列，其實(shí)講的就是一個(gè)趨勢(shì)。很多時(shí)候，我們不僅關(guān)心當(dāng)前這個(gè)數(shù)有多大，或者我們有多少錢(qián)，多少資源，還關(guān)心明天它能變得多大，變得多快，這就是數(shù)列的意義。至于等差數(shù)列，其實(shí)是緩慢上漲的，即使每一個(gè)都比前面的大，到后來(lái)的增長(zhǎng)也很不明顯。
也就是說(shuō)，同樣是增長(zhǎng)的趨勢(shì)，我們還需要關(guān)心積累的速度。比如說(shuō)，一個(gè)剛工作的年輕人，一年掙10萬(wàn)元，能存20%的收入，他每年的工資增長(zhǎng)10%。當(dāng)?shù)氐姆績(jī)r(jià)是300萬(wàn)元，首付要20%也就是60萬(wàn)，那么他工作多少年能夠付得起首付呢？
這就要計(jì)算數(shù)列中每一個(gè)元素之和了，這個(gè)算出來(lái)的和，被稱(chēng)為級(jí)數(shù)。具體到這個(gè)問(wèn)題，我們知道這位年輕人第一年能存2萬(wàn)元，第二年能存2.2萬(wàn)，然后是2.42萬(wàn)、2.66萬(wàn)、2.93萬(wàn)……假如他要存N年才能湊夠首付，這個(gè)N最后算出來(lái)就是15年。
計(jì)算公式：S（N）= 2（1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 + …… + 1.1^[N-1])
建議你親自算一算這道題，這樣你就更能體會(huì)為什么必須進(jìn)步，而且要比同齡人更快地進(jìn)步了。
如果房?jī)r(jià)保守估計(jì)，每年上漲3%，那年輕人又需要存多少年呢？
我們下一講再見(jiàn)?！獏擒姟稊?shù)學(xué)通識(shí)五十講》
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