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1. RSA 算法概述

公開密鑰算法是在1976年由當(dāng)時(shí)在美國(guó)斯坦福大學(xué)的迪菲(Diffie) 和赫爾曼(Hellman)兩人首先發(fā)明的，但目前最流行的RSA 是由分別取自三位發(fā)明此算法的數(shù)學(xué)家RonaldRivest,Adi Shamir 和Len Adleman的名字的第一個(gè)字母來構(gòu)成的。[1]

RSA 已被國(guó)際上一些標(biāo)準(zhǔn)化組織如ISO、ITU 等作為標(biāo)準(zhǔn)采用,現(xiàn)在流行的PGP 也采用RSA 算法作為其解密和數(shù)字簽名算法。它是第一個(gè)既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法。

但RSA 的安全性一直未能得到理論上的證明。RSA 的安全性依賴于大數(shù)難于分解這一特點(diǎn)。據(jù)猜測(cè)，從一個(gè)密鑰和密文推斷出明文的難度等同于分解兩個(gè)大素?cái)?shù)的積。并且 RSA的加密算法速度與對(duì)稱加密算法相比，其速度非常緩慢的。因此，研究快速的 RSA 算法是十分有意義的。至今，人們?cè)诖朔矫嬉呀?jīng)作了很多的研究，提出了許多快速的RSA 算法。其中分塊模冪算法[2]，冪等價(jià)代換的改進(jìn)[3]及 SMM 算法[4]等都極大的提高了 RSA 加密算法的速度。

2. RSA 算法的基本原理

RSA 體制用戶i 的公開加密變換Ei 和保密的解密變換Di 的產(chǎn)生:(1)隨機(jī)選取素?cái)?shù)pi 和qi；(2)計(jì)算ni= piqi,Ф(ni)=(pi-1)(qi-1)；(3)隨機(jī)選取整數(shù)ei 滿足(ei,Ф(ni)) =1;(4)利用歐幾里得算法計(jì)算di,滿足eidi≡1 MOD Ф(ni);(5)公開ni,ei 作為Ei,記為Ei=< ni,ei>,保密pi,qi,di,Ф(ni)作為Di,記為Di=。加密算法:c = Ei(m) = mei(MOD ni),解密算法:m=Di(c)=cdi(MOD ni),在RSA 算法中,包含兩個(gè)密鑰:加密密鑰PK 和解密密鑰SK,加密密鑰公開。[5]

3. RSA 算法的舉例

要對(duì)2 運(yùn)用RSA 算法進(jìn)行加密，因?yàn)镽SA 的原則是被加密的信息應(yīng)該小于p 和q 的較小者，因此取p=5, q=3，求得n=p*q=5*3=15，m=(p-1)*(q-1)=(5-1)*(3-1)=8，然后生成較小的數(shù)e,使e 與8 互質(zhì),2 不對(duì),3 是最小的,于是e=3 最后生成d,使d*e MOD m=1 , d*3 MOD8=1,d*3 除以8 余數(shù)為1，于是算出d=3，所以求出公鑰e=3,n=15.私鑰d=3,n=15.密鑰計(jì)算完畢。加密:c=pe%n=23%15=8%15=8, 于是密文為8. 把8 傳出去。同時(shí)應(yīng)把公鑰也傳出去,好在收到時(shí)知道對(duì)應(yīng)的是那個(gè)私鑰。解密過程:接收者收到密文和公鑰,找到對(duì)應(yīng)的私鑰:p=cd%n=83%15,經(jīng)過運(yùn)算，余數(shù)為2。

4.1 RSA 算法的改進(jìn)

由于RSA 算法是基于大數(shù)分解的理論，應(yīng)用了費(fèi)爾馬小定理[123123123]，在兩個(gè)素?cái)?shù)qi 和pi 的乘積n 被分解是最主要的攻擊方法，因此提出了三重RSA 算法：用戶j 的公開加密變換Ej 和保密的解密變換Dj 的產(chǎn)生:

(1)隨機(jī)選取三個(gè)素?cái)?shù)pj、qj 和rj；

(2)計(jì)算nj= pj*qj*rj,Ф(nj)=(pj-1)(qj-1)(rj-1)；

(3)隨機(jī)選取整數(shù)ej 滿足(ej,Ф(nj)) =1;

(4)利用歐幾里得算法計(jì)算dj,滿足ei*di≡1 MOD Ф(nj);

(5)公開nj,ej 作為Ej,記為Ej=< nj,ej>,保密pj,qj,rj,dj,Ф(nj)作為Dj,記為Dj=< pj,qj,rj,dj,Ф(nj)>。加密算法:c = Ej(m) = mej(MOD nj),解密算法:m = Dj(c) = cdj(MOD nj),在RSA 算法中,包含兩個(gè)密鑰:加密密鑰PK 和解密密鑰SK,加密密鑰公開。

由于三重的RSA 算法成立，原來的RSA 算法也成立，因此推斷N 重RSA 算法即：用戶x 的公開加密變換Ex 和保密的解密變換Dx 的產(chǎn)生:

(1)隨機(jī)選取N 個(gè)素?cái)?shù)p1、p2……pn；

(2)計(jì)算nx= p1*p2……*pn,Ф(nx)=(p1-1)*(p2-1)*……*(rj-1)；

(3)隨機(jī)選取整數(shù)ex 滿足(ex,Ф(nx)) =1;

(4)利用歐幾里得算法計(jì)算dx,滿足ex*dx≡1 MOD Ф(nx);

(5)公開nx,ex 作為Ex,記為Ex=< nx,ex>,保密p1,p2,……,pn,Ф(nx)作為Dx,記為Dx=。加密算法:c = Ex(m) = mex(MOD nx),解密算法:m = Dx(c) =cdx(MOD nx),在N 重RSA 算法中,同樣也包含兩個(gè)密鑰:加密密鑰PK 和解密密鑰SK,加密密鑰公開。

下面對(duì)N 重RSA 算法給與證明。

應(yīng)用2.2中提出的定理1：

若p, q是相異質(zhì)數(shù), d*e==1 MOD (p- 1)(q- 1), a 是任意一個(gè)正整數(shù)b==aeMOD p*q,c==bdMOD p*q, 則c==a MOD p*q。

可以得出推論1：

若p1,p2,……,pn是相異質(zhì)數(shù), d*e==1 MOD (p1- 1)*(p2- 1)*……*（pn-1）, a 是任意一個(gè)正整數(shù)b==aeMOD p1*p2*……*pn, c==bdMOD p1*p2*……*pn, 則c==a MODp1*p2*……*pn。

證明推論1的過程中過程如下:

由n（n>=2）個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)，推論1成立。

當(dāng)n+1時(shí)d’*e’==1 MOD(p1- 1)*(p2- 1)*……*pn*（p(n+1)-1）a’是任意一個(gè)正整數(shù)

b’==a’e’MOD p1*p2*……*pn*p(n+1), ①

c’==b’d’MOD p1*p2*……*pn*p(n+1) ②