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質(zhì)數(shù)ABC

質(zhì)數(shù)（prime number），又稱為素數(shù)：

質(zhì)數(shù)是只有1和自身兩個因子的自然數(shù)。大于1的非質(zhì)數(shù)是合數(shù)，1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)。

質(zhì)數(shù)無法擺成矩形

算術(shù)基本定理體現(xiàn)了質(zhì)數(shù)的地位。

定理1（算術(shù)基本定理）對于正整數(shù)，都可以表示為質(zhì)數(shù)的乘積，

不考慮質(zhì)數(shù)排列順序，這樣的分解是唯一的。

如果把1也算作質(zhì)數(shù)，則質(zhì)因數(shù)分解不唯一。每個正整數(shù)就像是一個由質(zhì)數(shù)構(gòu)成的化合物，都可以被分解成最簡的質(zhì)數(shù)原子，每個正整數(shù)的“化學(xué)式”都是唯一的。事實上，由算術(shù)基本定理，我們可以把正整數(shù)寫為如下形式：

于是我們可以只通過指數(shù)列就可以表示任意正整數(shù)。質(zhì)數(shù)的概念至少在古希臘時期已經(jīng)出現(xiàn)，然而兩千年過去了，質(zhì)數(shù)的規(guī)律依然沒有完全昭示世人。因為質(zhì)數(shù)的規(guī)律近乎于隨機行為，沒有人能準確預(yù)言下一個質(zhì)數(shù)落在什么地方。古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼的篩法是判定質(zhì)數(shù)最基本的工具：

定理2（埃氏篩法）若不能被之前的所有質(zhì)數(shù)整除，那么是一個質(zhì)數(shù).

之所以只需檢驗之前的質(zhì)數(shù)，是因為反比例函數(shù)關(guān)于軸對稱.

質(zhì)數(shù)是否是有無窮個？歐幾里得給出了一個鬼斧神工的證明：假如有有限個質(zhì)數(shù)，那么考慮數(shù)，顯然不能被已知的所有質(zhì)數(shù)整除。此時分兩種情況：

• 若是質(zhì)數(shù)，但（因為比已知的質(zhì)數(shù)都大），這與假設(shè)矛盾；
• 若是合數(shù)，由算數(shù)基本定理，必然存在某質(zhì)數(shù)是的質(zhì)因數(shù)，然而（因為已知的質(zhì)數(shù)都不能整除），矛盾。

于是假設(shè)不成立——

定理3 質(zhì)數(shù)有無窮個！

質(zhì)數(shù)是整數(shù)乘法系統(tǒng)的基石，很多命題只要質(zhì)數(shù)成立，則對于一般的整數(shù)自然成立。

質(zhì)數(shù)如此不規(guī)律，相鄰質(zhì)數(shù)間距也是數(shù)學(xué)家關(guān)心的問題。事實上質(zhì)數(shù)間距可以任意大，只需要注意到下面這個連續(xù)的合數(shù)列

如果把質(zhì)數(shù)的間距視為一個數(shù)列，那么這個數(shù)列中存在子列（所謂子列從集合的角度就是一個無窮元素的子集，但是新數(shù)列的排序依然按照原數(shù)列下標的從小到大排列，例如奇數(shù)列就是自然數(shù)列的子列，并且奇數(shù)按照由小到大的順序排列），這個子列趨于正無窮。這個現(xiàn)象我們表示為：

孿生質(zhì)數(shù)是指相差為2的質(zhì)數(shù)對。我們把從項以后最小的質(zhì)數(shù)間距列出來，

但是無人知曉這個數(shù)列的2是否有盡頭，也有可能隨著項數(shù)充分大后，質(zhì)數(shù)間距不再小于等于4，6，8，……甚至?xí)呌跓o窮。2013年，張益唐給出一個令人安心的答案：這個數(shù)列不會超過七千萬，即

而孿生質(zhì)數(shù)猜想則等價于：

質(zhì)數(shù)和等差數(shù)列也有著獨特的緣分。

定理4（狄利克雷定理） 形如的等差數(shù)列中包含無數(shù)個質(zhì)數(shù)，當 .

2004年，格林和陶哲軒還證明了，質(zhì)數(shù)中存在任意長度的等差數(shù)列。

質(zhì)數(shù)定理

圖片背景是質(zhì)數(shù)螺旋圖

我們把滿足如下性質(zhì)的數(shù)論函數(shù)命名為乘性函數(shù)：若，則

由于大于1的正整數(shù)都可以質(zhì)因數(shù)分解，于是對于乘性函數(shù)而言，

于是求函數(shù)值可以轉(zhuǎn)化為求 的值。

例如歐拉函數(shù)表示不超過的正整數(shù)中，與互質(zhì)的個數(shù)。歐拉函數(shù)就是一個乘性函數(shù)：

引理5 若，則

證明： 設(shè)是不超過、與互質(zhì)的數(shù)全體；是不超過、與互質(zhì)的數(shù)全體。因為，有

于是至少有個數(shù)與互質(zhì)，即.

反過來，與互質(zhì)的數(shù)，一定與和互質(zhì)，用同樣的方式可以構(gòu)造出，中的數(shù)同時與和互質(zhì)，并且，則可以說明.

容易計算

于是利用歐拉函數(shù)的乘性，可得

推論6 ，

關(guān)于歐拉函數(shù)有著名定理

定理7 ，則

只需令即有

推論8（費馬小定理） ，則

證明很簡單，但需要補充縮剩余系的內(nèi)容，故省略。順便一提——

定理9（威爾遜定理） 是質(zhì)數(shù)的充要條件

威爾遜定理也有很多變體

<公式左右滑動可見>

但是并不實用。目前計算機快速判別質(zhì)數(shù)的方法基于費馬小定理的逆命題，然而逆命題不成立存在反例——偽質(zhì)數(shù)，只不過它出現(xiàn)的概率極低。

就連歐拉也感慨：“世界上有許多人類智慧無法解釋的奧秘，看一眼質(zhì)數(shù)表就會發(fā)現(xiàn)，它是如此毫無秩序，毫無規(guī)則可言。”不過歐拉還是憑借他非凡的洞察力，發(fā)現(xiàn)了如下公式：

定理10

<公式左右滑動可見>

證明： 證明只需要用到等比級數(shù)公式：

然后展開括號，

<公式左右滑動可見>

比較原式左右兩邊的項，不重不漏一一對應(yīng)。（絕對收斂級數(shù)的求和順序不影響最后結(jié)果）

事實上，利用該式也可以證明素數(shù)有無窮個，假設(shè)質(zhì)數(shù)有限，則

然而令，

調(diào)和級數(shù)發(fā)散。于是等式左右兩邊同時取極限不相等，矛盾。

利用高等數(shù)學(xué)的技巧，我們可以得到時的特例：

推論11

質(zhì)數(shù)、自然數(shù)、圓周率被奇妙地聯(lián)系在一起。

當時的人們并沒有意識到歐拉這個恒等式有何作用。另一方面，高斯和勒讓德猜測了質(zhì)數(shù)漸進公式：

定理12（素數(shù)定理）

值得一提的是勒讓德關(guān)于素數(shù)計數(shù)函數(shù)的公式：

定理13（勒讓德），

<公式左右滑動可見>

這個公式實際上和歐拉函數(shù)公式（推論5）有一定的關(guān)聯(lián)性。假如上面的公式等號右邊取整號全部去掉，則

其中. 于是得到

這該怎么理解呢？因為對于而言，之前的數(shù)都可以被整除，也就是與都不互素；之后與互素的只能是新的質(zhì)數(shù)了。當然，這個有趣的推理其實非常不嚴謹，它基于一個難以實現(xiàn)的前提——能整除之前的所有質(zhì)數(shù)。

直到黎曼將歐拉定義的函數(shù)解析延拓到復(fù)平面（挖掉這個奇點），一切變得明朗起來。黎曼甚至給出更精確的素數(shù)定理的猜想，它等價于我們現(xiàn)在所說的黎曼猜想：的非平凡零點全部分布在這條直線上。

而原始的質(zhì)數(shù)定理只需要證明：上無零點。這個事實最終在1896年由阿達馬和德·拉·瓦萊布桑按照黎曼的思路，各自獨立地利用高深的整函數(shù)理論證明。1949年，塞爾伯格和埃爾德什分別獨立地給出素數(shù)定理的初等證明。

質(zhì)數(shù)定理的證明

質(zhì)數(shù)的研究或許永遠沒有盡頭。質(zhì)數(shù)就像是一群調(diào)皮的孩子，任意對他畫出種種條條框框，都不能盡皆約束；然而他偶爾也有聽話可愛的一面，在你不知道的地方，零零散散站立著，等待數(shù)學(xué)家去發(fā)現(xiàn)。