1 歸一問題
【理解含義】
在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量
1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量
另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)
【解題思路和方法】
先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。
【例題1】已知一張桌子的價(jià)錢是一把椅子的10倍，又知一張桌子比一把椅子多288元，一張桌子和一把椅子各多少元？
【解題】
由已知條件可知，一張桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子價(jià)錢的（10-1）倍，由此可求得一把椅子的價(jià)錢。再根據(jù)椅子的價(jià)錢，就可求得一張桌子的價(jià)錢。
（1）一把椅子的價(jià)錢？
288÷（10-1）=32（元）
（2）一張桌子的價(jià)錢？
32×10=320（元）
答：一張桌子320元，一把椅子32元
【例題2】 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
【解題】
（1）買1支鉛筆多少錢？
0.6÷5＝0.12（元）
（2）買16支鉛筆需要多少錢？
0.12×16＝1.92（元）
（3）列成綜合算式
0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
【例題3】 3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？
【解題】
（1）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？
90÷3÷3＝10（公頃）
（2）5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？
10×5×6＝300（公頃）
列成綜合算式
90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）
答：5臺拖拉機(jī)6 天耕地300公頃。
【例題4】 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？
【解題】
（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？
100÷5÷4＝5（噸）
（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？
5×7＝35（噸）
（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？
105÷35＝3（次）
列成綜合算式
105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要運(yùn)3次。
2 歸總問題
【理解含義】
解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。
【數(shù)量關(guān)系】
1份數(shù)量×份數(shù)＝總量
總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)
總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量
【解題思路和方法】
先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。
【例題5】 工廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？
【解題】
（1）這批布總共有多少米？
3.2×791＝2531.2（米）
（2）現(xiàn)在可以做多少套？
2531.2÷2.8＝904（套）
列成綜合算式
3.2×791÷2.8＝904（套）
答：現(xiàn)在可以做904套。
【例題6】 小強(qiáng)每天讀24頁書，12天讀完了。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完？
【解題】
（1）這本書總共多少頁？
24×12＝288（頁）
（2）小明幾天可以讀完？
288÷36＝8（天）
列成綜合算式
24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以讀完。
【例題7】 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？
【解題】
（1）這批蔬菜共有多少千克？
50×30＝1500（千克）
（2）這批蔬菜可以吃多少天？
1500÷（50＋10）＝25（天）
列成綜合算式
50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：這批蔬菜可以吃25天。
3 和差問題
【理解含義】
已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。
【數(shù)量關(guān)系】
大數(shù)＝（和＋差）÷ 2
小數(shù)＝（和－差）÷ 2
【解題思路和方法】
簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。
【例題8】 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
【解題】
甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
【例題9】 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。
【解題】
長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）
長方形的面積 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：長方形的面積為80平方厘米。
【例題10】 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
【解題】
甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
【例題11】 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？
【解題】
“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），
甲與乙的和是97，因此 甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）
答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。
4 和倍問題
【理解含義】
已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)
總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù)
較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
【例題12】 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？
【解題】
（1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
【例題13】 東西兩個(gè)倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？
【解題】
（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）
（2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）
答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。
【例題14】 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？
【解題】
每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當(dāng)于（2＋1）倍，
那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為
（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）
所求天數(shù)為 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。
【例題15】 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？
【解題】
乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。
因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；
又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；
這時(shí)（170＋4－6）就相當(dāng)于（1＋2＋3）倍。那么，
甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙數(shù)＝28×2－4＝52
丙數(shù)＝28×3＋6＝90
答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。
5 差倍問題
【理解含義】
已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。
【數(shù)量關(guān)系】
兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)
較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
【例題16】 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？
【解題】
（1）杏樹有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。
【例題17】 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？
【解題】
（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）
（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。
【例題18】 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？
【解題】
如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）
本月盈利＝18＋30＝48（萬元）
答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。
【例題19】 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？
【解題】
由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當(dāng)于（3－1）倍，因此
剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）
運(yùn)出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）
運(yùn)糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。
6 倍比問題
【理解含義】
有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量÷一個(gè)數(shù)量＝倍數(shù)
另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量
【解題思路和方法】
先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。
【例題20】 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
【解題】
（1）3700千克是100千克的多少倍？
3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？
40×37＝1480（千克）
列成綜合算式
40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
【例題21】 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？
【解題】
（1）48000名是300名的多少倍？
48000÷300＝160（倍）
（2）共植樹多少棵？
400×160＝64000（棵）
列成綜合算式
400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
【例題】 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？
【解題22】
（1）800畝是4畝的幾倍？
800÷4＝200（倍）
（2）800畝收入多少元？
11111×200＝2222200（元）
（3）16000畝是800畝的幾倍？
16000÷800＝20（倍）
（4）16000畝收入多少元？
2222200×20＝44444000（元）
答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，
全縣16000畝果園共收入44444000元。
7 相遇問題
【理解含義】
兩個(gè)運(yùn)動的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。
【數(shù)量關(guān)系】
相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）
總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間
【解題思路和方法】
簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。
【例題23】 甲乙兩輛客車上午8時(shí)同時(shí)從兩個(gè)車站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過一段時(shí)間，兩車同時(shí)到達(dá)一條河的兩岸。由于河上的橋正在維修，車輛禁止通行，兩車需交換乘客，然后按原路返回各自出發(fā)的車站，到站時(shí)已是下午2點(diǎn)。甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行 45千米，兩地相距多少千米？（交換乘客的時(shí)間略去不計(jì)）
【解題思路】
根據(jù)已知兩車上午8時(shí)從兩站出發(fā)，下午2點(diǎn)返回原車站，可求出兩車所行駛的時(shí)間。根據(jù)兩車的速度和行駛的時(shí)間可求兩車行駛的總路程。
【解題】
下午2點(diǎn)是14時(shí)。
往返用的時(shí)間：14-8=6（時(shí)）
兩地間路程：（40+45）×6÷2=85×6÷2=255（千米）
答：兩地相距255千米。
【例題24】 南京到上海的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？
【解題】
392÷（28＋21）＝8（小時(shí)）
答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。
【例題25】 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間？
【解題】
“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。
因此總路程為400×2
相遇時(shí)間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。
【例題26】 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。
【解題】
“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇時(shí)間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時(shí)）
兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：兩地距離是84千米。
8 追及問題
【理解含義】
兩個(gè)運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。
【數(shù)量關(guān)系】
追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
【例題27】學(xué)校組織兩個(gè)課外興趣小組去郊外活動。第一小組每小時(shí)走4.5千米，第二小組每小時(shí)行3.5千米。兩組同時(shí)出發(fā)1小時(shí)后，第一小組停下來參觀一個(gè)果園，用了1小時(shí)，再去追第二小組。多長時(shí)間能追上第二小組？
【解題思路】
第一小組停下來參觀果園時(shí)間，第二小組多行了[3.5-（4.5-3.5）]?千米，也就是第一組要追趕的路程。又知第一組每小時(shí)比第二組快（?4.5-3.5）千米，由此便可求出追趕的時(shí)間。
【解題】
第一組追趕第二組的路程：
3.5-（4.5-?3.5）=3.5-1=2.5（千米）
第一組追趕第二組所用時(shí)間：
2.5÷（4.5-3.5）=2.5÷1=2.5（小時(shí)）
答：第一組2.5小時(shí)能追上第二小組。
【例題28】 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
【解題】
（1）劣馬先走12天能走多少千米？
75×12＝900（千米）
（2）好馬幾天追上劣馬？
900÷（120－75）＝20（天）
列成綜合算式
75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好馬20天能追上劣馬。
【例題29】 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
【解題】
小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
【例題30】 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？
【解題】
敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（22－16）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知
追及時(shí)間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小時(shí)）
答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。
【例題31】 一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
【解題】
這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，
這個(gè)時(shí)間為
16×2÷（48－40）＝4（小時(shí)）
所以兩站間的距離為
（48＋40）×4＝352（千米）
列成綜合算式
（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）
答：甲乙兩站的距離是352千米。
【例題32】 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？
【解題】
要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?0－60）米，
那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為
180×2÷（90－60）＝12（分鐘）
家離學(xué)校的距離為
90×12－180＝900（米）
答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。
【例題33】 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。
【解題】 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了 （10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。所以
步行1千米所用時(shí)間為
1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時(shí)）＝15（分鐘）
跑步1千米所用時(shí)間為
15－［9－（10－5）］＝11（分鐘）
跑步速度為每小時(shí)
1÷11／60＝5.5（千米）
答：孫亮跑步速度為每小時(shí) 5.5千米。
9 植樹問題
【理解含義】
按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。
【數(shù)量關(guān)系】
線形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距＋1
環(huán)形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距
方形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－4
三角形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－3
面積植樹 棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）
【解題思路和方法】
先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。
【例題34】 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
【解題】
136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
【例題35】 一個(gè)圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？
【解題】
400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白楊樹。
【例題36】 一個(gè)正方形的運(yùn)動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？
【解題】
220×4÷8－4＝110－4＝106（個(gè)）
答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。
【例題37】 給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？
【解題】
96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）
答：至少需要400塊地板磚。
【例題38】 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？
【解題】
（1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？
500÷50＋1＝11（個(gè)）
（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？
11×2＝22（個(gè)）
（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？
22×2＝44（盞）
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。
10 年齡問題
【理解含義】
這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。
【數(shù)量關(guān)系】
年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。
【解題思路和方法】
可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。
【例題39】 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？
【解題】
35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，
明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。
【例題40】 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？
【解題】
（1）母親比女兒的年齡大多少歲？
37－7＝30（歲）
（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？
30÷（4－1）－7＝3（年）
列成綜合算式
（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。
【例題41】 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？
【解題】
今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，
今年二人的年齡和為 49＋3×2＝55（歲）
把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為 55÷（4＋1）＝11（歲）
今年父親年齡為 11×4＝44（歲）
答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。
【例題42】 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？
【解題】
這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：
表中兩個(gè)“□”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“△”表示同一個(gè)數(shù)。
因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，
因此二人年齡差為
（61－4）÷3＝19（歲）
甲今年的歲數(shù)為
△＝61－19＝42（歲）
乙今年的歲數(shù)為
□＝42－19＝23（歲）
答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。
11 行船問題
【理解含義】
行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數(shù)量關(guān)系】
（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速
（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速
順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
【例題43】 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？
【解題】
由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以：
船速為每小時(shí) 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速為 25－15＝10（千米）
船逆水行這段路程的時(shí)間為 320÷10＝32（小時(shí)）
答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。
【例題44】 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？
【解題】
由題意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可見 （36－20）相當(dāng)于水速的2倍，
所以， 水速為每小時(shí) （36－20）÷2＝8（千米）
又因?yàn)椋?乙船速－水速＝360÷15，
所以， 乙船速為 360÷15＋8＝32（千米）
乙船順?biāo)贋?32＋8＝40（千米）
所以， 乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40＝9（小時(shí)）
答：乙船返回原地需要9小時(shí)。
【例題45】 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？
【解題】
這道題可以按照流水問題來解答。
（1）兩城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）
（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？1656÷（576＋24）＝2.76（小時(shí)）
列成綜合算式［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時(shí)）
答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。
12 列車問題
【理解含義】
這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長度。
【數(shù)量關(guān)系】
火車過橋：過橋時(shí)間＝（車長＋橋長）÷車速
火車追及： 追及時(shí)間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）
火車相遇： 相遇時(shí)間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
【例題46】 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？
【解題】
火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
（1）火車3分鐘行多少米？
900×3＝2700（米）
（2）這列火車長多少米？
2700－2400＝300（米）
列成綜合算式
900×3－2400＝300（米）
答：這列火車長300米。
【例題47】 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米？
【解題】
火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為
8×125－200＝800（米）
答：大橋的長度是800米。
【例題48】 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時(shí)間？
【解題】
從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時(shí)間為
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
【例題49】 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？
【解題】
如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。
【例題50】 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？
【解題】
車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L?？芍疖囋冢?8－58）秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，
因此，車長為 25×58－1250＝200（米）
答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。
13 時(shí)鐘問題
【理解含義】
就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。
【數(shù)量關(guān)系】
分針的速度是時(shí)針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計(jì)算。
【解題思路和方法】
變通為“追及問題”后可以直接利用公式。
【例題51】 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？
【解題】
鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（1－1/12）＝11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20÷（1－1/12）≈ 22（分）
答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。
【例題52】 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？
【解題】
鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×4） 格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走 （5×4－15）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（1－1/12）格就可以求出 二針成直角的時(shí)間。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。
【例題53】 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？
【解題】
六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×6）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。
14 盈虧問題
【理解含義】
根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。
【數(shù)量關(guān)系】
一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差
參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
【例題54】 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？
【解題】 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少個(gè)蘋果？ 3×12＋11＝47（個(gè)）
答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。
【例題55】 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？
【解題】
題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知
原定完成任務(wù)的天數(shù)為（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
這條路全長為 300×（22＋4）＝7800（米）
答：這條路全長7800米。
【例題60】 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？
【解題】
本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有
（1）有多少車？ （30－0）÷（45－40）＝6（輛）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有6 輛車，有270人。
15 工程問題
【理解含義】
工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。
【數(shù)量關(guān)系】
解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。
工作量＝工作效率×工作時(shí)間
工作時(shí)間＝工作量÷工作效率
工作時(shí)間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】
變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。
【例題61】 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？
【解題】
題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的 1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：兩隊(duì)合做需要6天完成。
【例題62】 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？
【解題】
設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/6－1/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/6＋1/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷（1/6＋1/8）］小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以
（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個(gè)）
（2）這批零件共有多少個(gè)？
7÷（1/6－1/8）＝168（個(gè)）
答：這批零件共有168個(gè)。
解二 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：
兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7
所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個(gè)）
【例題63】 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？
【解題】
必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計(jì)算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做還需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時(shí)）
答：還需要5小時(shí)才能完成。
【例題64】 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？
【解題】
注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。
要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。
我們設(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（1×4×5），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1×2×15），從而可知
每小時(shí)的排水量為 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15
又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 1×2，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？
（15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（個(gè)）
答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。
16 正反比例問題
【理解含義】
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
【數(shù)量關(guān)系】
判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】
解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
【例題65】 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？
【解題】
由條件知，公路總長不變。
原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為 300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 這條公路總長3600米。
【例題66】 小王做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？
【解題】
做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系
設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。
【例題67】 孫亮看《十萬個(gè)為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？
【解題】
書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系
設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
【例題68】 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。
【解題】
由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，
A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
解這兩個(gè)比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面積是162
17 按比例分配問題
【理解含義】
所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。
【數(shù)量關(guān)系】
從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項(xiàng)之和
【解題思路和方法】
先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。
例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？
【解題69】
總份數(shù)為 47＋48＋45＝140
一班植樹 560×47/140＝188（棵）
二班植樹 560×48/140＝192（棵）
三班植樹 560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
【例題70】 用60厘米長的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？
【解題】
3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米）
60×4/12＝20（厘米）
60×5/12＝25（厘米）
答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。
【例題71】 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。
【分析】
遇到此類問題，一半都是先找到份數(shù)的最小公倍數(shù)，然后按照公倍數(shù)重新按照劃分占比，本題中的最小公倍數(shù)是18，那么老大的二分之一就是占9分，老二的三分之一就是占6分，三兒子的九分之一就是占2分，共計(jì)17分。
【解題】
如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到
1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×9/17＝9
17×6/17＝6 17×2/17＝2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
【例題72】 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？
【解題】
80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三個(gè)車間一共820人。
18 百分?jǐn)?shù)問題
【理解含義】
百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號“%”。
在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。
【數(shù)量關(guān)系】
掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：
百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量
標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)
【解題思路和方法】
一般有三種基本類型：
（1） 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；
（2） 已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；
（3） 已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。
【例題73】 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？
【解題】
（1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
【例題74】 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？
【解題】
本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量
所以 （525－420）÷525＝0.2＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男職工人數(shù)比女職工少20%。
【例題75】 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？
【解題】
本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者 525÷420－1＝0.25＝25%
答：女職工人數(shù)比男職工多25%。
【例題76】 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？
【解題】
（1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。
【拓展】
百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：
增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%
合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%
出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%
出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%
缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%
發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%
成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%
出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%
命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%
19 “牛吃草”問題
關(guān)于這個(gè)問題可以參考我的另一篇文章，有專門講解"牛吃草"的解題思路。
【理解含義】
“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個(gè)因素。
【數(shù)量關(guān)系】
草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)
【解題思路和方法】
解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。
【例題77】 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
【解題】
草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
（1）求草每天的生長量
因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量
由此可知 （20－10）天內(nèi)草的生長量為
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天內(nèi)草總量
5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125
（4）求多少頭牛5 天吃完草
因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。
因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
【例題78】 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？
【解題】
這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：
（1）求每小時(shí)進(jìn)水量
因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量
10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量
所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30
（3）求17人幾小時(shí)淘完
17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是
30÷（17－2）＝2（小時(shí)）
答：17人2小時(shí)可以淘完水。
20 雞兔同籠問題
【理解含義】
這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數(shù)量關(guān)系】
第一雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）
假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）
第二雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】
解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。
【例題79】 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？
【解題】
假設(shè)35只全為兔，則
雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數(shù)＝35－23＝12（只）
也可以先假設(shè)35只全為雞，則
兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數(shù)＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
【例題80】 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
【解題】
此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
【例題81】 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？
【解題】
此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有
作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數(shù)＝45－15＝30（本）
答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。
【例題82】 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？
【解題】
假設(shè)100只全都是雞，則有
兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數(shù)＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
【例題83】 有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問大小和尚各多少人？
【解題】
假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3×100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21 方陣問題
【理解含義】
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。
【數(shù)量關(guān)系】
（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：
四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4
每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1
（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：
實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)
空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?
內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2
（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：
總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4
【解題思路和方法】
方陣問題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。
【例題84】 在育才小學(xué)的運(yùn)動會上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？
【解題】
22×22＝484（人）
答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。
【例題】 有一個(gè)3層方陣，最外邊一層每邊有10人，求全方陣的人數(shù)。
【解題】
最外層每邊10人,共有36人；
第二層每邊8人,共有28人；
第三層每邊6人,共有20人；
全陣有36+28+20=84人.
答：全方陣84人。
【例題85】 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？
【解題】
（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊(duì)學(xué)生共160人。
【例題86】 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個(gè)？
【分析】
（1）、沒有增加邊之前剩下4個(gè)棋子，增加后缺少9個(gè)，也就是將原先剩下的4個(gè)放到新的邊框中后還缺少9個(gè)就能填滿，也就是黃色新增邊框需要13個(gè)棋子就能填滿。
（2），因?yàn)槭钦叫?，根?jù)（1）可知，沒變應(yīng)該是7個(gè)，應(yīng)為頂角公用一個(gè)剛好13個(gè)。
【解題】
（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）
（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
【例題87】 有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？
【解題】
第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。
22 商品利潤問題
【理解含義】
這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。
【數(shù)量關(guān)系】
利潤＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)
利潤率＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%
售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)×（1＋利潤率）
虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)
虧損率＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%
【解題思路和方法】
簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
【例題88】 某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動情況如何？
【解題】
設(shè)這種商品的原價(jià)為1，則一月份售價(jià)為（1＋10%），二月份的售價(jià)為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原價(jià)下降了1%。
【例題89】 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？
【解題】
要知虧還是盈，得知實(shí)際售價(jià)52元比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。因?yàn)?2元是原價(jià)的80%，所以原價(jià)為（52÷80%）元；又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的，所以成本為 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出該店是盈利的，盈利率為 （52－50）÷50＝4%
答：該店是盈利的，盈利率是4%。
【例題90】 成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價(jià)出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？
【解題】
問題是要計(jì)算剩下的作業(yè)本每冊實(shí)際售價(jià)是原定價(jià)的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價(jià)是0.25×（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實(shí)際售價(jià)，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作業(yè)本每冊盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。
【例題91】 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%，甲店按30%的利潤定價(jià)，乙店按20%的利潤定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。
【解題】
設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1，則甲店的進(jìn)貨價(jià)為 1－10%＝0.9
甲店定價(jià)為 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定價(jià)為 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店進(jìn)貨價(jià)為 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定價(jià)為 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定價(jià)是240元。
23 存款利率問題
【理解含義】
把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。
【數(shù)量關(guān)系】
年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%
利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］
【解題思路和方法】
簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。
【例題92】 小明存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。
【解題】
因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元，
所以總利率為 （1488－1200）÷1200 又因?yàn)橐阎吕剩?/span>
所以存款月數(shù)為 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：小明的存款期是30月即兩年半。
【例題93】 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰的收益多？多多少元？
【解題】
甲的總利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的總利息
10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。
24 溶液濃度問題
【理解含義】
在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。
【數(shù)量關(guān)系】
溶液＝溶劑＋溶質(zhì)
濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%
【解題思路和方法】
簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。
【例題94】 王老師有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？
【解題】
（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
【例題95】 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
【解題】
假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出
600×（30%－25%）＝30（克）
這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15% 的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
【例題96】 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。
【解題】
由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：
由以上推算可知，
乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。
25 構(gòu)圖布數(shù)問題
【理解含義】
這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹?gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。
【數(shù)量關(guān)系】
根據(jù)不同題目的要求而定。
【解題思路和方法】
通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。
【例題97】 十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。
【解題】
符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。
4×5÷2＝10
因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。
【例題98】 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。
【解題】
符合題目要求的圖形是兩個(gè)倒立交叉的等腰三角形，
一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線上。
【例題99】 九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。
【解題】
符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形，每邊栽4棵樹，三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。 4×3－3＝9
【例題100】 把12拆成1到7這七個(gè)數(shù)中三個(gè)不同數(shù)的和，有幾種寫法？請?jiān)O(shè)計(jì)一種圖形，填入這七個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只填一處，且每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于12。
在這五個(gè)算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線的交點(diǎn)處，其余數(shù)都位于兩條線的交點(diǎn)處。據(jù)此，我們可以設(shè)計(jì)出以下三種圖形：
【解題】
共有五種寫法，即
12＝1＋4＋7
12＝1＋5＋6
12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6
12＝3＋4＋5
26 幻方問題
【理解含義】
把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。
【數(shù)量關(guān)系】
每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和”叫做“幻和”。
三級幻方的幻和＝45÷3＝15
五級幻方的幻和＝325÷5＝65
【解題思路和方法】
首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。
(1)、a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
(2)、根據(jù)圖形可得，每一行或者每一列是總數(shù)的1/3，即45/3=15
(3)、九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次。看來，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。
(4)、設(shè)“中心數(shù)”為e，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線上，而每條線上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）e＝15×4
即 45＋3e＝60 所以 中心數(shù)e＝5
【例題101】 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，使每行、每列、每條對角線上三個(gè)數(shù)的和相等。
【解題】
幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。
【例題102】 把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個(gè)數(shù)填到九個(gè)方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。
【解題】
只有三行，三行用完了所給的9個(gè)數(shù)，所以每行三數(shù)之和為
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個(gè)數(shù)之和：
最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大數(shù)是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大數(shù)是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋5 剛好寫成8個(gè)算式。
首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個(gè)斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個(gè)算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應(yīng)填6。
然后確定四個(gè)角的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次，而上述8個(gè)算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應(yīng)填在四個(gè)角上。但還應(yīng)兼顧兩條對角線上三個(gè)數(shù)的和都為18。
最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。
27 抽屜原則問題
【理解含義】
把3只蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題。
【數(shù)量關(guān)系】
基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。
抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。
通俗地說，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。
【解題思路和方法】
（1）改造抽屜，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屜；
（3）說明理由，得出結(jié)論。
【例題103】 育才小學(xué)有367個(gè)1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同
一天的？
【解題】
由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個(gè)“抽屜”，把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素”。367個(gè)“元素”放進(jìn)366個(gè)“抽屜”中，至少有一個(gè)“抽屜”中放有2個(gè)或更多的“元素”。
這說明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。
【例題104】 據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？
【解題】
人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個(gè)“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個(gè)“元素”，把3645萬個(gè)“元素”放到20萬個(gè)“抽屜”中，得到
3645÷20＝182……5 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183
答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。
【例題105】 一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個(gè)，白球9個(gè)，黃球8個(gè)，藍(lán)球2個(gè)。某人閉著眼睛從中取出若干個(gè)，試問他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)球顏色相同？
【解題】
把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11 看作11個(gè)“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。
答；他至少要取12個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。
28 公約公倍問題
【理解含義】
需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。
【數(shù)量關(guān)系】
絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。
【解題思路和方法】
先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。
【例題106】 一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個(gè)大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？
【解題】
硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。
60和56的最大公約數(shù)是4。
答：正方形的邊長是4厘米。
【例題107】 甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，問至少要多少時(shí)間這三輛汽車才能同時(shí)又在起點(diǎn)相遇？
【解題】
要求多少時(shí)間才能在同一起點(diǎn)相遇，這個(gè)時(shí)間必定同時(shí)是36、30、48的倍數(shù)。因?yàn)閱栔辽僖嗌贂r(shí)間，所以應(yīng)是36、30、48的最小公倍數(shù)。 36、30、48的最小公倍數(shù)是720。
答：至少要720分鐘（即12小時(shí)）這三輛汽車才能同時(shí)又在起點(diǎn)相遇。
【例題108】 一個(gè)四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？
【解題】
相鄰兩樹的間距應(yīng)是60、72、96、84的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個(gè)相等的間距應(yīng)是60、72、96、84這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)12。
所以，至少應(yīng)植樹 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵樹。
【例題109】 一盒圍棋子，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)多1個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)多1個(gè)，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)還多1個(gè)。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。
【解題】
如果從總數(shù)中取出1個(gè)，余下的總數(shù)便是4、5、6的公倍數(shù)。因?yàn)?、5、6的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個(gè)總數(shù)為
60×3＋1＝181（個(gè)）
答：棋子的總數(shù)是181個(gè)。
29 最值問題
【理解含義】
科學(xué)的發(fā)展觀認(rèn)為，國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價(jià)取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問題。
【數(shù)量關(guān)系】
一般是求最大值或最小值。
【解題思路和方法】
按照題目的要求，求出最大值或最小值。
【例題200】 在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時(shí)放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？
【解題】
先將兩塊餅同時(shí)放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時(shí)將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時(shí)間最少，為9分鐘。
答：最少需要9分鐘。
【例題201】 在一條公路上有五個(gè)卸煤場，每相鄰兩個(gè)之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個(gè)煤場是空的。現(xiàn)在要把所有的煤集中到一個(gè)煤場里，每噸煤運(yùn)1千米花費(fèi)1元，集中到幾號煤場花費(fèi)最少？
【解題】
我們采用嘗試比較的方法來解答。
集中到1號場總費(fèi)用為 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2號場總費(fèi)用為 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3號場總費(fèi)用為 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4號場總費(fèi)用為 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5號場總費(fèi)用為 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
經(jīng)過比較，顯然，集中到5號煤場費(fèi)用最少。
答：集中到5號煤場費(fèi)用最少。
【例題202】 北京和上海同時(shí)制成計(jì)算機(jī)若干臺，北京可調(diào)運(yùn)外地10臺，上海可調(diào)運(yùn)外地4臺?，F(xiàn)決定給重慶調(diào)運(yùn)8臺，給武漢調(diào)運(yùn)6臺，
若每臺運(yùn)費(fèi)如右表，問如何調(diào)運(yùn)才使運(yùn)費(fèi)最?。?/span>
【解題】
北京調(diào)運(yùn)到重慶的運(yùn)費(fèi)最高，因此，北京
往重慶應(yīng)盡量少調(diào)運(yùn)。這樣，把上海的4臺全都調(diào)
往重慶，再從北京調(diào)往重慶4臺，調(diào)往武漢6臺，運(yùn)費(fèi)就會最少，其數(shù)額為
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海調(diào)往重慶4臺，北京調(diào)往武漢6臺，調(diào)往重慶4臺，這樣運(yùn)費(fèi)最少。
30 列方程問題
【理解含義】
把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個(gè)方程而得到應(yīng)用題的答案，這個(gè)過程，就叫做列方程解應(yīng)用題。
【數(shù)量關(guān)系】
方程的等號兩邊數(shù)量相等。
【解題思路和方法】
可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六字法。
（1）審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。
（2）設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。
（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否正確，是否符合題意。
（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。
同學(xué)們在列方程解應(yīng)用題時(shí)，一般只寫出四項(xiàng)內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時(shí)要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗(yàn)的過程不必寫出，但必須檢驗(yàn)。
【例題203】 甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？
【解題】
第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。
找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 從而知 90－Χ＝50
第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 從而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
【例題204】 雞兔35只，共有94只腳，問有多少兔？多少雞？
【解題】
第一種方法：設(shè)兔為Χ只，則雞為（35－Χ）只，兔的腳數(shù)為4Χ個(gè)，雞的腳數(shù)為2（35－Χ）個(gè)。根據(jù)等量關(guān)系“兔腳數(shù)＋雞腳數(shù)＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 則35－Χ＝23
第二種方法：可按“雞兔同籠”問題來解答。假設(shè)全都是雞，
則有 兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）
所以 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數(shù)＝35－12＝23（只）
答：雞是23只，兔是12只。
【例題205】 倉庫里有化肥940袋，兩輛汽車4次可以運(yùn)完，已知甲汽車每次運(yùn)125袋，乙汽車每次運(yùn)多少袋？
【解題】
第一種方法：求出甲乙兩車一次共可運(yùn)的袋數(shù)，再減去甲車一次運(yùn)的袋數(shù)，即是所求。 940÷4－125＝110（袋）
第二種方法：從總量里減去甲汽車4次運(yùn)的袋數(shù)，即為乙汽車共運(yùn)的袋數(shù)，再除以4，即是所求。 （940－125×4）÷4＝110（袋）
第三種方法：設(shè)乙汽車每次運(yùn)Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四種方法：設(shè)乙汽車每次運(yùn)Χ袋，依題意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽車每次運(yùn)110袋。
