哈代
高嶸
(遼寧師范大學(xué))
哈代，G．H(Hardy，Godfrey Harold)1877年2月7日生于英國克蘭利(Cranleigh)；1947年12月1日卒于劍橋．?dāng)?shù)學(xué)．
哈代的父親I．哈代(Hardy)是克蘭利中學(xué)的教師，母親索菲婭(Sophia)是林肯師范學(xué)院的教師，他還有一個妹妹．哈代的父母很有文化素養(yǎng)，也極重視數(shù)學(xué)，因經(jīng)濟拮據(jù)未能上大學(xué)，卻為兒女提供了良好的教育．
哈代在童年時代就顯示出數(shù)學(xué)的機敏，在克蘭利中學(xué)接受早期教育時，表現(xiàn)出在數(shù)論方面的早慧與多方面的才能．13歲時，他獲得獎學(xué)金進入當(dāng)時以數(shù)學(xué)家搖籃而著稱的溫切斯特(Winches-ter)學(xué)院學(xué)習(xí)．1896年又獲入學(xué)獎學(xué)金進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院繼續(xù)深造，他的數(shù)學(xué)生涯從此與劍橋緊密聯(lián)系起來．哈代很早就養(yǎng)成喜歡自由提問和探索的習(xí)慣，在劍橋開始學(xué)習(xí)時，他對于機械的授課模式不滿，后來幸運地被允許轉(zhuǎn)聽?wèi)?yīng)用數(shù)學(xué)家A．E．H．拉弗(Love)教授的課．這對于哈代后來成長為一名數(shù)學(xué)家至關(guān)重要．他在著作(文獻[3]，第29節(jié))中生動地寫道：“第一個使我撥云見日的是拉弗教授，他教了我?guī)讉€學(xué)期，使我對分析有了第一個嚴肅的概念．但最使我感激的是他建議我閱讀M．E．C．若爾當(dāng)(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)．我永遠不會忘記我讀那本杰作時的震驚，這是我這代數(shù)學(xué)家受到的第一個啟迪，讀這本書時我才第一次認識到數(shù)學(xué)真正意味著什么．”
哈代在大學(xué)學(xué)習(xí)期間成績優(yōu)異．1898年，他參加了劍橋的數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位考試，這是劍橋大學(xué)的傳統(tǒng)之一，始于18世紀．哈代成為一等及格者，這主要得益于他平時在迅速解題方面的有效訓(xùn)練，但對傳統(tǒng)極具反抗精神的哈代認為這種考試是沒有意義的．1900年，他被選為三一學(xué)院的研究員，隨后以極大的熱情投入數(shù)學(xué)研究中，第二年與J．H．金斯(Jeans)共同獲得了史密斯獎金．1906年他成為三一學(xué)院的講師，直到1919年一直在那兒工作．1900—1911年間哈代寫出大量級數(shù)收斂、求積分及有關(guān)問題的論文，這些論文為他贏得了分析學(xué)家的聲望．1908年，他的名著《純粹數(shù)學(xué)教程》(A course of pure mathematics)出版了，這部教科書改變了英國大學(xué)中的教學(xué)狀況．1910年，他當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員．隨后，被哈代自稱為生活中的真正的轉(zhuǎn)折點出現(xiàn)了，1911年他開始了同J．E．李特爾伍德(Littlewood)的長期合作，1913年他發(fā)現(xiàn)了S．A．拉馬努金(Ramanujan)．
哈代長李特爾伍德8歲，他們結(jié)識于1904年，在長達35年的合作中，聯(lián)名發(fā)表了約100篇論文，其中包括丟番圖逼近、堆壘數(shù)論、數(shù)的積性理論、黎曼ξ函數(shù)、不等式、一般積分、三角級數(shù)等廣泛的內(nèi)容．哈代-李特爾伍德極大函數(shù)，哈代-李特爾伍德圓法，哈代-李特爾伍德定理等聯(lián)系著二人名字的數(shù)學(xué)成果正是他們親密合作的寫照．在他們集中合作的1920—1931年間，哈代執(zhí)教于牛津而李特爾伍德執(zhí)教于劍橋，他們通過學(xué)院的郵政來郵寄數(shù)學(xué)信件，即使二人同在三一學(xué)院時也是如此，并且他們達成一種默契：當(dāng)互相收到信件時，先不讀解法，而是要獨立解決其中的問題，直到取得一致意見，最后由哈代定稿．當(dāng)時，一些不了解內(nèi)情的國外數(shù)學(xué)家認為李特爾伍德根本不存在，只是哈代虛構(gòu)的一個筆名．事實上，李特爾伍德本身就是一個出色的數(shù)學(xué)家．通過這種密切的學(xué)術(shù)合作，二人互相切磋促進，共同建立了20世紀上半葉具有世界水平的英國劍橋分析學(xué)派．
哈代稱自己對拉馬努金的發(fā)現(xiàn)是他一生中的一段浪漫的插曲．拉馬努金出生于印度的馬德拉斯(Madras)，幼年即顯示出數(shù)學(xué)的興趣和才能，但因生活貧困，要不斷為生計奔波，只能靠自學(xué)汲取數(shù)學(xué)知識．1913年初他給哈代寄了一封信，信中陳述了他對素數(shù)分布的研究并列有120條公式，涉及數(shù)學(xué)中多個領(lǐng)域．這些公式大部分已被別人證明，有些看起來容易，實際上證明起來很困難．特別是后來被L．J．羅杰斯(Rogers)和G．N．沃森(Watson)證明的三個公式完全難倒了哈代．哈代確信拉馬努金是一位數(shù)學(xué)天才，于是邀請他到英國，但作為一個婆羅門教的信徒，拉馬努金對離開印度感到躊躇．哈代繼續(xù)力勸拉馬努金到劍橋，并經(jīng)多方努力為他安排了獎學(xué)金，1914年4月，拉馬努金來到英國．哈代花了很多心血教授拉馬努金現(xiàn)代歐洲數(shù)學(xué)知識，他發(fā)現(xiàn)拉馬努金知識的局限竟然與它的深奧同樣令人吃驚．拉馬努金對于證明僅有一種模糊不清的概念，對于變量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是對于數(shù)值和組合方面的事實，連分數(shù)、發(fā)散級數(shù)及積分、數(shù)的分拆、黎曼ξ函數(shù)和各種特殊級數(shù)卻有深度的理解．他有很強的直覺和推理能力，其工作和思維方式多具挑戰(zhàn)性．在哈代和李特爾伍德等人的幫助下，拉馬努金進步很快，在素數(shù)分布、堆壘數(shù)論、廣義超幾何級數(shù)、橢圓函數(shù)、發(fā)散級數(shù)等領(lǐng)域取得了很多成果．他在歐洲的5年里發(fā)表了21篇論文，17篇注記，其中幾篇是與哈代合作的．他和哈代一起對整數(shù)分拆問題作出了驚人的解決，首創(chuàng)了正整數(shù)n的分拆數(shù)p(n)的漸近公式，這無疑源自拉馬努金那極強的洞察力和哈代對于函數(shù)理論的嫻熟掌握．哈代與拉馬努金的成功合作并未持續(xù)太久．1917年5月拉馬努金患上了肺結(jié)核病，由于戰(zhàn)爭條件及宗教信仰的束縛，拉馬努金未得到良好的醫(yī)治．1919年2月他回到了印度，次年4月去世，年僅33歲．哈代對這位印度數(shù)學(xué)奇才的英年早逝深感痛惜，他參與整理了拉馬努金的論文集，并著有《拉馬努金》(Ramanujan，1940)一書，書中包括關(guān)于拉馬努金生活和工作的12篇演講稿，比較詳細地記述了拉馬努金的生平和研究成果，并作了適當(dāng)?shù)脑u論，是了解和研究拉馬努金的重要文獻．哈代和拉馬努金這一段交往也長期被數(shù)學(xué)界傳為佳話．
1914年第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，哈代強烈反對對那些反戰(zhàn)者的殘酷迫害，譴責(zé)對進行反戰(zhàn)宣傳的B．A．W．羅素(Russell)的解職和監(jiān)禁．后來，在一本秘密傳播的小冊子《羅素和三一》(BerrardRussell and Trinity，1970)中，他描述了羅素事件及圍繞這件事掀起的巨大波瀾．1919年，他離開劍橋應(yīng)聘牛津大學(xué)薩維爾幾何學(xué)教授，這一榮譽職位是依照英國數(shù)學(xué)家H．薩維爾(Savile)的意見設(shè)立的，他曾于1585—1592年任默頓學(xué)院院長．哈代在牛津創(chuàng)立了一個活躍的研究團體．1928—1929年間他前往美國普林斯頓做訪問教授，與美國數(shù)學(xué)家O．維布倫(Veblen)交換．1931年重返劍橋，接替E．W．霍布森(Hobson)成為塞得林(Sadleirian)純粹數(shù)學(xué)教授，居此位直至1942年退休．1947年，哈代當(dāng)選為法國科學(xué)院外籍院士，是從各國各研究領(lǐng)域中選出的10位科學(xué)家之一．他還擔(dān)任過全國科學(xué)工作者學(xué)會主席，倫敦數(shù)學(xué)會主席．在他的數(shù)學(xué)研究生涯中，獲得了許多大學(xué)和研究院的獎勵．1920年獲皇家勛章，1929年獲德·摩根獎?wù)拢?940年獲西爾威斯特獎?wù)拢?947年獲皇家學(xué)會最高獎?wù)驴破绽務(wù)拢?
哈代外貌漂亮，很有風(fēng)度．他和妹妹都終生未婚，他得到了胞妹始終如一的精心照料，尤其在他的晚年．1947年，哈代在劍橋辭世．
哈代被譽為20世紀杰出的分析學(xué)家，他的數(shù)學(xué)貢獻涉及解析數(shù)論、調(diào)和分析、函數(shù)論等方面．他一生著述頗豐，計有8部專業(yè)書籍和大約350篇論文，包括獨著或合作的，全部在《倫敦數(shù)學(xué)會雜志》(Journal of the London Mathematical Society，1950)中列出，論文選從1966年開始在牛津出版了7卷，由倫敦數(shù)學(xué)會的成員校訂，并附有注釋．
1．研究堆壘數(shù)論、首創(chuàng)圓法
整數(shù)分拆是堆壘數(shù)論的一個基本問題，即把正整數(shù)n分成不計次序的若干個正整數(shù)之和．如n=n1 +n2+…+ns(n1 ≥n2≥…≥ns＞0)為n的一種分拆．以p(n)記n的不加限制條件的所有分拆個數(shù)，當(dāng)n增加時，p(n)值迅速增加，如p(200)是一個13位數(shù)，p(500)是一個22位數(shù)．
1748年，歐拉通過高超的手算技巧導(dǎo)出p(n)的母函數(shù)
此后，關(guān)于整數(shù)分拆的研究不斷發(fā)展，但限于初等方法，未引入實質(zhì)性的分析思想，只能相當(dāng)繁瑣地計算較小整數(shù)的分拆數(shù)．1916年，極富經(jīng)驗與熱情的英國計算專家P．A．麥克馬洪(Macmahon)花了一個月時間算出p(200)=3972 999 029 388．整數(shù)分拆理論研究中實質(zhì)性的突破發(fā)生在1918年．哈代和拉馬努金合作發(fā)表論文“組合分析中的漸近公式”(Asymptotic formulae in com-binatory analysis)，應(yīng)用新的分析方法——圓法的思想給出了p(n)的漸近公式
在此之前，他們曾用初等方法證明了p(n)的估計式
利用哈代-拉馬努金公式，8項就能求出p(200)的值，誤差僅為0.004．為了確切計算任意大的n的分拆數(shù)，他們又得出p(n)的既漸近又準確的分解式．進一步的結(jié)果是H．拉德馬赫爾(Rad-emacher)1937年得到的級數(shù)表達式
其中
哈代與拉馬努金的工作在近代堆壘數(shù)論的研究中具有劃時代的意義，不僅在數(shù)論領(lǐng)域引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，而且促進了改進的經(jīng)典分析和現(xiàn)代不等式理論的發(fā)展．
華林問題是堆壘數(shù)論中另一個著名問題，1770年由英國數(shù)學(xué)家E．華林(Waring)提出，可敘述為：對于每個整數(shù)k≥2，存在一個正整數(shù)s(k)，使得每個正整數(shù)n是s個非負的k次方數(shù)之和，即不定方程
對所有整數(shù)n≥0有非負整數(shù)解xj (1≤j≤s)．記s(k)的最小值為g(k)．1909年，希爾伯特證明了華林猜想，但他只完成對每個k，g(k)存在性的證明，未給出對任意k，確定g(k)值的方法．其后幾位數(shù)學(xué)家的工作同樣限于存在性的證明．哈代和李特爾伍德的工作改變了這一狀況，他們討論使方程(1)對充分大的n可解的s(k)的最小值G(k)，這比討論g(k)更有意義．1919年，他們發(fā)表了“華林問題新解法”(A new solution of W-aring’s problem)一文，1920—1928年，他們以“‘分拆數(shù)’的一些問題”(Some problems of“partitio numerorum”)為主標(biāo)題發(fā)表了一系列文章，開創(chuàng)并發(fā)展了后來以“哈代-李特爾伍德圓法”而著稱的研究方法．
以rs，k (n)表示方程(1)的解數(shù)，令
所以
將積分區(qū)間稍微平移，作法里(Farey)分割，將[0，1]分為優(yōu)弧和劣弧兩部分，優(yōu)弧由分母較小的分數(shù)的小區(qū)間組成；劣弧由[0，1]其余部分組成．從優(yōu)弧上的積分可以計算出rs,k (n)的主項，問題歸結(jié)為從劣弧上的積分推導(dǎo)出rs,k (n)余項的研究，這就是圓法．哈代和李特爾伍德在1922年證明了當(dāng)s≥(k-2)2k-1 +5時，rs,k (n)有一個漸近公式，從而推出對任意k，G(k)≤(k-2)2k-1 +5．對于較小的k，1938年華羅庚證明了當(dāng)s≥2k+1時，rs,k (n)有漸近公式，得到G(k)≤2k+1，50年后R．C．沃恩(Vaughan)改進為s≥2k2．對于較大的k，И．M．維諾格拉多夫(BиHOгpaдoв)用改進的方法得到s≥[10k2log k]，華羅庚改進其方法，推出當(dāng)k＞10時，s≥2k2(2 log k+log logk+2.5)．此外已經(jīng)知道G(2)=4，1939年，H．達文波特(Davenport)證明了G(4)=16，1942年，Ю．B．林尼克(Линик)證明了G(3)≤7．通過哈代-李特爾伍德圓法，k＞3的G(k)的最好估計已經(jīng)得到：當(dāng)k→∞，G(k)≤k(logk)(2+o(1))．
哈代-李特爾伍德圓法的特色之一是它適用于堆壘數(shù)論中的各種問題，尤其是在哥德巴赫猜想的研究中有有效的應(yīng)用．以哈代和李特爾伍德的工作為起點，維諾格拉多夫、華羅庚、達文波特等人對這一方法的發(fā)展做出了各自的貢獻(詳見文獻[12])．
2．黎曼猜想研究中的突破
哈代的工作涉及解析數(shù)論的多個分支．黎曼猜想即為其中之一．1859年，G．F．B．黎曼(Riemann)提出猜想：復(fù)變函數(shù)
的全部非平凡零點都位于直線
上．后來這一猜想成為著名的希爾伯特23問題中第8問題的首要問題，它的解決聯(lián)系著數(shù)論中的許多問題．哈代對這個問題特別感興趣，發(fā)表了多篇討論ξ(s)函數(shù)的論文．1914年，他證明了ξ(s)有無窮多零點位于直線
上，在黎曼猜想的研究中取得了重大突破．若以N0 (T)表示ξ(s)在
直線段上的零點數(shù)目，則當(dāng)T→∞時，N0 (T)→∞．1921年，哈代與李特爾伍德證明了存在A＞0，使N0 (T)＞AT，這一定理作為當(dāng)時關(guān)于黎曼猜想的最好結(jié)果保持了20多年．在此基礎(chǔ)上，A．塞爾伯格(Selberg)于1942年、N．萊文生(Levison)于1974年作了重要推進，但此猜想至今未被證明或否定．自哈代的工作之后，圍繞黎曼猜想已發(fā)展成為錯綜復(fù)雜的分析分支——ξ(s)函數(shù)理論．在假定黎曼猜想成立的前提下，哈代曾在論文中指出哥德巴赫問題的研究方法和方向．
3．開經(jīng)典Hp 空間理論之端
Hp 空間又稱哈代空間，是勒貝格(Lp )以外重要的函數(shù)空間之一．單變量的Hp 空間，最早來源于復(fù)變函數(shù)論．1915年，哈代引入了單變量Hp 函數(shù)類：對于在復(fù)平面的單位圓|z|＜1內(nèi)解析的函數(shù)f(z)，如果當(dāng)r→1時，積分平均值
則稱f(z)屬于Hp ．這被認為是經(jīng)典Hp 空間理論的開端．1923年F．里斯(Riesz)證明了Hp 空間是完備的賦范空間并命名為哈代空間，簡記為Hp ，是復(fù)變函數(shù)論的重要研究對象之一．哈代和李特爾伍德還證明了一系列關(guān)于邊界函數(shù)光滑性、Hp 空間函數(shù)的積分、Hp 空間中函數(shù)的系數(shù)及重排方面的定理．И．И．普里瓦洛夫(привалов)、F．里斯和M．里斯兄弟、B．и．斯米爾諾夫(смирнов)及G．賽格(Szeg )等人都對經(jīng)典Hp 空間理論做出過貢獻．近年來又有許多推廣，調(diào)和分析、復(fù)分析、泛函分析及偏微分方程的許多問題都是在Hp 空間中討論的．
4．主要數(shù)學(xué)著作
《純粹數(shù)學(xué)教程》是哈代早期對數(shù)學(xué)的最大貢獻．這是英國第一部嚴謹精確的關(guān)于數(shù)、函數(shù)、極限等內(nèi)容的講解性著作，適于大學(xué)在校生學(xué)習(xí)，受到普遍歡迎，1952年已發(fā)行到第10版．這本書的主要特點是內(nèi)容比較基本，未涉及一致收斂、二重級數(shù)、無窮乘積等內(nèi)容．另一特色是章末附有大量有一定難度的習(xí)題．哈代認為他已盡量避免包含真正困難的思想．1937年第7版，哈代又在章末插入一些由拉弗教授提供的從過去20年的數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位考試中精選出的試題，這些題目對學(xué)生的學(xué)習(xí)大有裨益．此書初寫時，分析在劍橋不被重視，學(xué)生的水平也較低，而20年后卻出現(xiàn)了一股研究分析的熱潮，哈代及其著作對這一轉(zhuǎn)變起到了不可忽視的作用．《純粹數(shù)學(xué)教程》不僅吸引了在校生，激發(fā)了他們的思想和才干，而且對一些青年分析學(xué)家也產(chǎn)生了有益的影響．
哈代與李特爾伍德、G．波利亞(pólya)合著的《不等式“(Inequalities，1934)也是一部重要著作，常被作為文獻引用．立中內(nèi)容共分10章，介紹了各種類型的不等式，任意函數(shù)平均值和收斂函數(shù)理論，微積分的各種應(yīng)用，無窮級數(shù)，變分學(xué)的應(yīng)用以及與雙線性型和多重線性型有關(guān)的定理，希爾伯特不等式和它的模擬及開拓．其中包括一些哈代的獨創(chuàng)性工作，如哈代不等式是他在試圖化簡希爾伯特定理的證明時發(fā)現(xiàn)的，在Hp 空間理論中有重要應(yīng)用．
《發(fā)散級數(shù)》(Divergent series，1949)是哈代逝世前不久完成的一部較有影響的著作．李特爾伍德在序言中寫道：“他所有的著作都給他帶來了某種程度的快樂，而這一本，他最后的一部書，則是他最珍愛的”．事實上，從1931年哈代返回劍橋時就開始間斷地收集有關(guān)的文獻，并對這本書的價值充滿信心．1821年，A．L．柯西(Cauchy)嚴格定義了收斂概念后，人們只注重收斂級數(shù)的討論．直至19世紀末才開始發(fā)散級數(shù)的明確研究．哈代在其著作中總結(jié)了發(fā)散級數(shù)的歷史發(fā)展概況、研究方法及成果．求和法是發(fā)散級數(shù)理論的主要研究課題之一，即把不收斂的級數(shù)的和給予適當(dāng)?shù)慕忉尪右远x，使其在柯西意義下給出有限的和．哈代書中介紹的方法有特殊求和法、算術(shù)方法、歐拉和波萊爾方法、豪斯多夫方法，還論述了冪級數(shù)的陶伯型定理、維納的陶伯型定理、歐拉-馬克勞林求和公式．哈代在陶伯型定
此外，哈代對丟番圖逼近、素數(shù)分布理論、哥德巴赫猜想均有較深入的研究，他與E．M．賴特(Wright)合著的《數(shù)論導(dǎo)引》(An introduction to the theory of numbers，1938)包括24章，論及數(shù)論領(lǐng)域的廣泛的內(nèi)容．哈代在積分變換、積分方程、三角級數(shù)理論等方面也有貢獻，著有《單變量函數(shù)積分》(The integrationof functions of a single variable，1905)、《無窮序數(shù)》(Orders ofinfinity，1910)、《狄利克雷級數(shù)的一般理論》(The general theoryof Dirichlet’s series，1915，與里斯合著)、《傅里葉級數(shù)》[Fourierseries，1944，與W．W．羅戈辛斯基(Rogosinski)合著]．
5．對生物數(shù)學(xué)的貢獻
哈代在數(shù)學(xué)上的研究還使他有機會留名于生物數(shù)學(xué)的著作中．1908年，他在美國《自然》(Science)雜志上發(fā)表文章“混合種群中的孟德爾比率”(Mendelian proportions in a mixedpopulation)，建立了描述群體遺傳平衡的代數(shù)方程，得出結(jié)果：一個大的隨機交配的種群在沒有遷移、選擇和突變的情況下，基因頻率和基因型頻率在任何世代都是恒定的，從而解決了關(guān)于顯性和隱性遺傳特性在大量混合群體中以何種比例遺傳的爭論．這一結(jié)果在研究許多遺傳問題，包括Rh血型的分布和血友病時極為重要，是群體遺傳學(xué)的基礎(chǔ)．同年，德國醫(yī)師S．溫伯格(Wenb-erg)也獨立發(fā)現(xiàn)了相同的原理，后被稱為哈代-溫伯格定律．
6．品格、愛好、數(shù)學(xué)觀點
作為一位知名數(shù)學(xué)家，哈代的人品和他的學(xué)問同樣受到贊譽．他健談，談話可以吸引周圍很多人；他嚴于律己，參加該出席的各種會議，履行自己的職責(zé)；他富于正義感，痛恨戰(zhàn)爭，一生中不喜歡任何虛偽的東西．
哈代為人謙和，經(jīng)常強調(diào)其他合作者的重要性而對自己輕描淡寫，他曾說過正是得益于與李特爾伍德和拉馬努金的平等合作才達到了他不尋常的大器晚成．哈代具有出色的與他人合作的才能，E．C．蒂奇馬什(Titchmarsh)、A．E．英哈姆(Ingham)、波利亞、E．蘭道(Landau)、M．里斯等20世紀數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的精英人物都曾是他的合作者．哈代引導(dǎo)許多年輕人邁入他們早期研究的大門，在他們面臨困難時給予幫助和鼓勵．N．維納(Wiener)在他的自傳《我是一個數(shù)學(xué)家》(I am a mathematician，1956)中多次表達了他對哈代的欽佩與感激之情．華羅庚在赴劍橋大學(xué)進修時亦得到過哈代的指導(dǎo)和幫助．1936年，華羅庚被維納推薦給哈代，惜才的哈代對華羅庚極為賞識．華羅庚在解析數(shù)論，尤其是圓法與三角和估計方面的研究成果是與他在劍橋的學(xué)習(xí)和研究分不開的．
除熱衷數(shù)學(xué)研究之外，哈代的主要興趣在球類運動上，尤其對于板球，他是一個能夠掌握最新技術(shù)的球手和經(jīng)驗豐富的評論家．
哈代曾說他之所以選擇數(shù)學(xué)作為自己的事業(yè)主要是因為數(shù)學(xué)是他能做得最好的一件事，而不是由于別的堂皇的理由．他的數(shù)學(xué)成就基于他對數(shù)學(xué)的無限熱愛和全身心投入．他說研究工作一直是他一生中經(jīng)久不衰的一大樂事，數(shù)學(xué)是他為之耗盡了畢生精力的學(xué)科．
哈代在《一個數(shù)學(xué)家的自白》[3]中表達了他對數(shù)學(xué)的看法．這本書在西方數(shù)學(xué)界有一定的影響，經(jīng)常被引用，但其中的某些觀點也是有爭議的．對于數(shù)學(xué)是否有其自身的存在狀態(tài)，哈代寫道：我認為數(shù)學(xué)實體是在我們之外而存在的，我們的作用就是去發(fā)現(xiàn)它、觀察它，那些被夸張地描繪成我們的‘創(chuàng)造物’的定理，不過是我們觀察的記錄而已．”對于數(shù)學(xué)美，哈代認為：“數(shù)學(xué)的美可能很難定義，但它的確是一種真實的美”，“最好的數(shù)學(xué)既是美的，同時又是嚴肅的”．哈代對數(shù)學(xué)的應(yīng)用，特別是應(yīng)用于戰(zhàn)爭很反感．他將純粹數(shù)學(xué)視為真正的數(shù)學(xué)而與應(yīng)用數(shù)學(xué)劃清界線．他得出結(jié)論：“純粹數(shù)學(xué)就總體而論顯然比應(yīng)用數(shù)學(xué)有用．一個純粹數(shù)學(xué)家似乎不僅在美學(xué)方面而且在實用方面都占有優(yōu)勢．因為有用的東西主要是技巧，而數(shù)學(xué)技巧主要是通過純粹數(shù)學(xué)來傳播的．”“真正的數(shù)學(xué)對戰(zhàn)爭毫無影響”，“是一門‘無害而清白’的職業(yè)．”
哈代被公認為他所處時代的英國純粹數(shù)學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)人，他的活力和熱情清晰地印在所有認識他的人的記憶中，他的作品顯示出了他過硬的專業(yè)知識和對英語文體的精通．“我曾為知識領(lǐng)域添磚加瓦，也曾幫別人添枝加葉；這些東西的價值，比起身后留下某種紀念物的大數(shù)學(xué)家或任何其他大大小小的藝術(shù)家們創(chuàng)造的價值，只是程度上有所不同，性質(zhì)上并無差異．”[3]這就是哈代對自己一生的總結(jié)和評價．
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