卡瓦列里
遼寧師范大學 孫宏安
卡瓦列里，B．(Cavalieri，Bonaventura)約1598年生于意大利米蘭；1647年11月30日卒于意大利波倫亞．數學．
卡瓦列里的出生年代是他的一個門生和傳記作者U．達維索(D’Aviso)提供的．卡瓦列里很小的時侯，就加入了信奉圣奧古斯都教規(guī)的耶穌會宗教團．1615年，他在米蘭獲得一個小教階的職務，從此成為一個虔誠的耶穌會士．1616年，他轉到比薩的耶穌會修道院任職．在那里，他有幸結識了本篤會修士B．卡斯泰利(Castelli)，此人曾在帕多瓦師事G．伽里略(Galileo)，當時是比薩大學的數學講座主講人．由于卡斯泰利的引導，卡瓦列里開始研究幾何學，并且很快就被歐幾里得(Euclid)、阿基米德(Achimedes)、阿波羅尼奧斯(Apollonius)等人的經典著作所吸引．在數學上，他表現出非凡的才能，受到卡斯泰利的重視．1617年，卡斯泰利把卡瓦列里介紹給自己的老師伽里略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽里略的學生．1618年，卡瓦列里曾臨時性地代替卡斯泰利在比薩大學主講數學，說明他當時已具備了很高的數學水平．
1620年，卡瓦列里奉命到羅馬述職．接著被委派到米蘭的圣吉羅拉莫(Girolamo)修道院教授神學，一直到1623年．在此期間，他發(fā)展了關于不可分量方法的初步思想，這是他的主要數學成果．同時，他進一步受到教會的倚重．1621年，他被任命為紅衣主教F．博羅梅奧(Borromeo)的樞機輔祭人，這位主教非常敬重卡瓦列里，經常與他探討數學問題，后來還寫信給伽里略，盛贊卡瓦列里．
1623年，卡瓦列里被任命為洛迪的圣彼得修道院的副院長，并成為羅馬大主教錢伯利(Ciampoli)的朋友，后來，他的主要著作之一《用新方法促進的連續(xù)量的不可分量的幾何學》(Geometria indivisibibus continuorum nova quadam ratione promota，1635．以下簡稱《幾何學》)就題獻給此人．1626年，他被任命為帕馬的耶穌會修道院的院長，他希望能同時擔任當地大學的數學主講人，但未能實現．1626年秋，卡瓦列里在由帕馬去米蘭的旅途中患了痛風病，這種病使他備受痛苦并折磨了他一生．他在帕馬修道院工作到1629年．在這個期間，他始終堅持數學研究工作．1627年12月16日，他興奮地寫信給伽里略和博羅梅奧，告訴他們他已經完成了《幾何學》一書．1628年，卡瓦列里得知波倫亞大學的數學教授位置因擔任此職的天文學家G．馬古尼(Magini)去世而出缺，便寫信給伽里略，請他幫助自己得到委任．1629年，伽里略寫信給受命為波倫亞大學選擇一位新數學教授的C．馬爾西利(Marsili)，說卡瓦列里“是阿基米德之后在鉆研幾何學的深度和廣度方面絕無僅有的人才”．同時，卡瓦列里給馬爾西利寄去了《幾何學》一書的手稿和一篇關于圓錐曲線及其在透鏡中的應用的論文．1629年，卡瓦列里得到波倫亞大學的首席數學教職，并在這個崗位上一直工作到去世．同時，他還被委任為波倫亞女修道院的院長．
1635年，他的《幾何學》一書正式出版，立刻獲得了廣大的讀者，除了阿基米德的著作外，成為研究幾何學中無窮小問題的數學家們引用最多的書籍．這是卡瓦列里的主要學術著作之一，它的主要內容就是不可分量方法．全書共分為7卷．第1卷闡述卡瓦列里關于平面和立體圖形的一些假設．第2卷引入了不可分量方法，并且證明了一些關于不可分量總體的一般定理，其中包括有深遠影響的關于平行四邊形中的線段和組成它的三角形內線段關系的兩個定理， 卷中主要是第2卷定理的應用——求與圓錐曲線有關的面積和體積．第6卷主要探討與螺線有關的面積，但也涉及到關于柱面、球面、拋物面和球體的一些結果．第7卷中，進一步闡述了不可分量方法的依據，提出并證明了卡瓦列里原理．
1647年，卡瓦列里出版了他最后一部著作《六道幾何練習題》(Exercitationes geometricae sex)．這也是一部關于不可分量方法的重要著作．在這部書里，他改進了《幾何學》中提出的不可分量方法，并用這一方法處理了高于2次的代數曲線圍成的面積和旋轉成的體積問題，證明了相當于
的求積問題．
在波倫亞期間，卡瓦列里共出版了11部著作．
卡瓦列里的主要學術成就是他的不可分量方法．這一方法是微積分發(fā)展史上的一個重要環(huán)節(jié)．雖然由現代微積分的定義來看，是從有序的角度，而不是從連續(xù)性或不變性的角度來規(guī)定微積分的，但歷史地看，它們又恰恰是由對連續(xù)性或不變性的直觀認識系統(tǒng)發(fā)展的結果．因而，微積分在其發(fā)展中始終與幾何或運動的觀點以及不可分量和無窮小量的解釋密切相關，它們都是對連續(xù)性或不變性的直觀把握的產物．實際上，我們現在定義導數和積分的無窮序列，是在思維中無限地縮小自變量的取值區(qū)間而后得到的，這對應著歷史上人們對于物理學中導致原子論的種種設想加以數學的引證．可以說，恰如從事物的真實分割(看起來是連續(xù)的)得到最小質點即原子一樣，不妨認為從連續(xù)的數學量(通過思維中的連續(xù)分割)就可以得到最小的可能區(qū)間即微分．導數定義為兩個這種微分的商，而積分則定義為許多(有限的或者無限的)這種微分的和．它們可以說是緣起于利用“無窮小”方法計算面積和體積的工作．
1．歷史回顧
利用“無窮小”方法求積的思想可以追溯到古希臘的德謨克利特(Democritus)，他把自己的原子論思想引入數學，認為一個立體是由無數個平行于底的截面組成的．柏拉圖(Plato)進一步闡述了“無窮小量”，歐多克索斯(Eudoxus of Cnidus)和阿基米德實際上還利用“無窮小”方法求出了若干幾何圖形的面積或體積．不過古希臘人把符合直觀作為數學證明的基礎之一，他們沒有實無窮的觀念．歐多克索斯和阿基米德采用的“無窮小”方法是一種不涉及無窮分割的方法．其作法是：為證明一個幾何量S(面積、體積等)等于一個給定的量C，利用圖形的幾何性質，以分割法構造出兩個序列｛Ln｝和｛Un｝，使得對于所有的n都有
Ln＜S＜Un且Ln＜C＜Un．
然后證明，當給定ε＞0，對足夠大的n，有
Un-Ln＜ε，
或證明，當給定α＞1，對足夠大的n，有
無論哪一種情況，最后都用雙歸謬法證明
S=C．
此即所謂窮竭法．阿基米德用窮竭法求出了圓的面積，球的體積和表面積，橢圓和拋物弓形的面積，一些旋轉體的體積等．
歐洲文藝復興后，阿基米德的包括上述成果的著作被譯成拉丁文，得到廣泛的流傳．當17世紀的數學家們深入研究了阿基米德的著作，充分領會窮竭法的思想之后，他們深信，阿基米德等古希臘數學家必定還了解另一種更有效的研究方法，用以具體求出前述那個給定的量C，只用窮竭法是求不出C的．當卡瓦列里提出不可分量方法后，有人[如E．托里切利(Torricelli)]甚至指出，阿基米德采用的似乎正是這種方法．
17世紀數學家們的分析是相當正確的，阿基米德的確發(fā)明并使用了另一種方法，只是寫有這一方法的著作散佚，使人們沒有見到他關于這一方法的論述．1906年J．海伯格(Heiberg)在土耳其的君士坦丁堡(現名伊斯坦布爾)的一家圖書館里發(fā)現一古代手稿，其中包括一封被認為公元初就已散佚的阿基米德給埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，即著名的《方法》一書．在這本書中阿基米德闡述了他的另一種方法：按德謨克利特的思想，認為圖形是由許多微小量組成的，如平面圖形是由平行于一條給定直線的許多截線段組成的，立體圖形是由許多彼此平行的截面組成的；把含未知量的圖形分解為組成它的微小量，然后再用另一組微小量(線段或平面片，其組成的總體的面積和體積為已知或易于求出的)來與它們作比較；比較時應用了力學原理，賦予所有的微小量以理想的重量，于是幾何圖形就可看作是具有理想重量的重物，再建立一個杠桿，找一個合適的支點，使前后兩組微小量取得平衡；然后通過后一組微小量的總體，通過比較求出未知量來．阿基米德把這種方法看作發(fā)現的方法(找到定量C)而不是證明的方法，由此得出的結論仍要用窮竭法加以證明(證明S=C)．可以說阿基米德所求面積、體積都是由這種方法開始的．他的這些“線元”和“面元”是“不可分量”的前身．但他的方法，就事論事，沒有建立一般的計算法則，對每一問題都要從頭開始．
阿基米德對這一方法抱有很大希望．不過他的方法并沒有被同時代人所理解，并且被人們遺忘了許多個世紀．但對于“不可分量”，歷史上還時時有人研究．例如11世紀薩瓦蘇達(Savasorda)在其著作中就探討過不可分量；在中世紀經院哲學家的論爭——更多的是哲學論爭而非數學論爭中，不可分量也是一個經常論及的概念；L．達·芬奇(da Vinci)曾考慮過用無窮小量來求四面體的重心，他設想四面體是由無窮個平面片組成的．J．開普勒(Kepler)比較系統(tǒng)地用無窮小方法求面積和體積．在他的《測定酒桶容積的新方法》(Nova stereometria doliorum vinariorum，1615)一書中，他求出90多種旋轉體的體積．開普勒的方法是把要求體積的立體劃分成無窮多個無窮小的部分，即立體的“不可分量”，其大小和形狀都便于求解給定的問題．例如，他把球看成是由無窮多個無窮小棱錐組成的，每個無窮小棱錐的頂點都在球心，底面在球的表面上，高等于球的半徑，從而得出球的體積是半徑與球表面積乘積的三分之一．
2．卡瓦列里原理
卡瓦列里全面發(fā)展了求積的不可分量方法．他的方法依據于這樣一個原理：
如果兩個平面圖形夾在同一對平行線之間，并且為任何平行于這兩條平行線的直線所截時截得的線段都相等，那么這兩個圖形的面積相等；如果每條直線(平行于上述兩條平行線的)為兩個圖形所截得的線段的長度都有相同的比，則兩個圖形的面積也成相同的比．
類似地，在空間，如果兩個立體圖形夾在兩個平行平面之間，并且為任何平行于這兩個平行平面的平面所截時截得的平面片的面積都相等，那么這兩個立體圖形的體積相等；如果截兩個立體所得的兩組截面中，每個給定平面所截得的兩個不同組的截面的面積都有相同的比例，則這兩個立體的體積也成相同的比．
從現代分析學的觀點看，這個原理所斷定的實際上是：如果被積函數相等，而且積分限也相等，那么這兩個積分相等；被積函數中的常數作為一個因子可以提到積分號外面而不改變積分的值．
這一原理在西方是由卡瓦列里提出的，此后在數學中得到相當廣泛的應用．西方便稱之為卡瓦列里原理．在中國古代，三國時的劉徽和南北朝時的祖沖之父子曾考慮過相同的原理，公元5—6世紀的祖暅明確指出：“緣冪勢既同，則積不容異．”其中冪指面積，勢指關系，積指體積．這句話的意思是“若兩立體的截面面積之間的關系處處相等，則兩立體的體積之間也必有同樣的關系”．顯然，這一原理包含卡瓦列里原理的基本內容，我們稱之為“祖暅原理”或“劉祖原理”．
卡瓦列里采用多種方法來證明這一原理，這些證明都收入他的《幾何學》第7卷．其中的一個證明如下：
設夾在兩平行線PQ，RS之間的兩個任意平面圖形ABC和XYZ如圖1所示，DN和OU是平行于PQ，RS的直線，且它們在兩圖形上的截線相等．即在DN上，JK=LM，在OU上，EF＋GH=TV；進而在任何與PQ等距的直線上，在ABC和XYZ中截得的線段都相等．下面證明ABC和XYZ的面積相等．
任取兩圖形之一，不妨取ABC，順平行線PQ，RS平移到另一個圖形XYZ上．這時，或者ABC與XYZ重合，因而它們的面積相等，則原理已證；或者它們只有部分重合，如圖中的XMC′YThL．
現考察平移后兩圖形不完全重合的情況．由于平移保持一直線在兩圖形上的截線的共線關系，并且它們在平移前是相等的，平移后，它們仍然相等，例如E′F′＋TH′=TV．因而，如果E′F′+TH′不完全與TV重合，則它們的一部分重合，如TH′與TH′重合，于是E′F′=H′V，E′F′是平移后ABC的未蓋住XYZ的部分，H′V是平移后未被ABC覆蓋的XYZ的部分．同理可證，對每條平行于PQ的直線在兩個圖形上的截線，其未重合的部分(如果有的話)都是相等的．即這一平移有如下性質：若平移的圖形有一部分未覆蓋在另一圖形上，那么后者也一定有一部分未彼覆蓋；而且，在平移之后，兩圖形的未重合部分仍滿足原理的條件．
現在作第二次平移：平移ABC未重合的部分，使得KL，CY落在LN，YS上，則又有VB″Z重合．如前證可知，二次平移后一個圖形的仍未重合部分一定對應著另一圖形的仍然未重合的部分；它們仍滿足原理的條件，可以再順RS，DN平移，又有新的重合部分和未重合部分，這一過程可以一直進行下去，一直進行到ABC與XYZ完全重合．否則，如某一圖形有一部分未與另一圖形重合，則另一圖形也必有未重合的部分剩下．如果ABC與XYZ重合，則它們的面積相等．對立體的情況可仿此證明．
這一證明是巧妙而直觀的．但也有一些弱點：沒有證明按所采用的操作方法，兩個圖形未重合的部分一定是可窮竭的；也沒有證明每次平移后圖形的未重合部分一定小于原來的圖形．而且，卡瓦列里在答復P．古爾丁(Guldin)的反對意見時聲稱，在一個圖形中(從而在另一個圖形中)“消除”未重合部分的工作可以用無窮步運算完成．
卡瓦列里的另一個證明是用古典的窮竭法作出的．對滿足一定條件的圖形(如兩圖形都是“廣義的平行四邊形”或能分解為這種四邊形的圖形)來說，這一證明是嚴格的．
3．不可分量方法
卡瓦列里把平面圖形看作是由平行的等距線段組成的，把立體圖形看作是由彼此平行的、等距離的平面片組成的．這些線段就是平面圖形的不可分量而這些平面片就是立體圖形的不可分量．卡瓦列里的具體方法是先建立兩個給定的幾何圖形的不可分量之間的一一對應關系，并且設法使對應的不可分量具有某種不變的比例，當其中一個圖形的面積或體積已求出時，就可用卡瓦列里原理求出另一個圖形的面積或體積．
利用不可分量方法，卡瓦列里解決的典型問題是有關平行四邊形中線段和組成它的三角形中的線段關系的一些定理．它們對后來的數學發(fā)展產生了深遠的影響．一個基本的命題是：設平行四邊形AD(如圖2)被對角線CF分成兩個三角形ACF和DCF，則平行四邊形(面積)是每個三角形(面積)的兩倍．卡瓦列里這樣證明：先作EF=CB，再作HE∥CD，BM∥CD，則HE=BM，則△ACF中所有線段與△DCF中所有線段對應相等，從而兩個三角形相等，因而平行四邊形AD中所有線段之和等于每個三角形中的和的兩倍．用類似的但有更大難度的方法，卡瓦列里進一步證明了平行四邊形內線段平方的和等于每個三角形內線段平方和的三倍．利用這一命題，易證圓錐的體積是其外接圓柱體積的三分之一，拋物線弓形是其外接矩形面積的三分之二等．這些都是阿基米德已得出的結果，但卡瓦列里采用統(tǒng)一的方法來處理，不僅使許多利用窮竭法勉強解決的問題，現在可以很方便地求解，如橢圓面積和球體積等，而且使認識深化，得出了更深刻的結果．卡瓦列里沿處理構成平行四邊形的線段的冪和組成平行四邊形的三角形內相應線段的冪的比，不斷前進：他已求出兩組線段之和的比為2∶1；線段平方和之比為3∶1；接著又求出兩組線段立方和之比為4∶1；4次冪和之比為5∶1(在此基礎上他求出拋物線弓形繞其弦旋轉而成的立體的體積)；線段的5次冪和之比為6∶1；6次冪和之比為7∶1等等；最后，兩組線段的n次冪和之比為(n+1)∶1．即得出
按他的平面圖形由線段構成的思想，Σa表示一個以a為邊長的正方形的面積；類似地，Σa2表示一個以Σa為截面(以a為邊長)的正方體的體積，因而有
并驗證了n=5，6，…，9的情況，n=1，2的情況已為阿基米德所證明，阿拉伯人已知n=4的情況．卡瓦列里的工作是前人工作的推廣和統(tǒng)一化．雖然在卡瓦列里之前，P．費馬(Fermat)和G．羅貝瓦爾(Roberval)用別的方法也得到了這一結果，但1639年他第一個公開發(fā)表了這一公式，對17世紀無窮小分析的發(fā)展起了重要的推動作用．可以說這是在無窮小分析中指出更一般的代數運算法則的可能性的第一個定理．后來由牛頓和萊布尼茨提出而成為積分學的基礎．
由此公式出發(fā)，卡瓦列里立即證明了在單位區(qū)間上，曲線y=xn(n為正整數)下的圖形面積為
這個圖形圍繞“弦”旋轉而成的立體體積為
卡瓦列里極大地推進了不可分量方法，不僅把它視為發(fā)現的方法，也試圖使它成為證明的方法．這樣一來，就必須按數學證明的基本要求，使概念嚴格化，即產生了這樣一個問題：不可分量究竟是什么？
卡瓦列里了解這一問題的復雜性，因而想建立一種獨立于數學基本要求的方法，使得無論概念是怎樣形成的，這種方法都是有效的．他甚至認為，嚴格性是哲學的事，而不是幾何學的事．卡瓦列里沒有肯定連續(xù)量可以分解為他并沒有給出明確定義的不可分的元素，他也沒有講清楚它們究竟是實在的還是潛在的無窮小量．
卡瓦列里從未解釋過沒有厚薄的不可分量是怎樣構成面積和體積的，但在許多場合，他曾把不可分量方法和運動的觀點聯(lián)系起來，認為面積和體積可以看作是由不可分量的運動產生出來的．不過他并沒有將這種有啟發(fā)性的觀點發(fā)展成為幾何方法，這一點為他的后繼者E．托里切利(Torricelli)所實現，結果產生了I．牛頓(Newton)的流數法．卡瓦列里的不可分量在J．沃利斯(Wallis)的《無窮算術》(Arithmetica infinitorum，1655)中有所應用，在牛頓和G．萊布尼茨(Leibniz)的數學思想中也有所反映，如前者的“瞬”概念和后者的“微分”概念中就有不可分量的影子．卡瓦列里的思想，對微積分的發(fā)展起了巨大的啟發(fā)作用．
當然卡瓦列里的不可分量方法與微積分尚有較大的距離，主要表現在：(1)沒有極限概念；(2)沒有采用代數或算術方法，而它們是定義微積分的前提之一；(3)過于強調面積和體積的比而不是直接求積．與阿基米德相比，卡瓦列里在求積方法的統(tǒng)一性上邁出了決定性的一步；與牛頓、萊布尼茨相比，卡瓦列里可以說是他們的直接前驅之一．因而，卡瓦列里的工作是由古希臘人的方法向現代微積分過渡的一個不可缺少的環(huán)節(jié)．正如萊布尼茨在給G．曼弗雷迪(Manfredi)的一封信中所說：“幾何學中的卓越人物、完成了這一領域中義勇軍任務的開拓者和倡導者是卡瓦利里和托里切利，后來別人的進一步發(fā)展部得益于他們的工作．”
4．其他成就
卡瓦列里在《幾何學》第1卷中給出了一個用幾何形式表示的微分中值定理，后來就稱為卡瓦列里定理．
卡瓦列里將J．納皮爾(Napier)創(chuàng)建的對數方法引入意大利并在三角學、應用數學中作了有價值的發(fā)展．如在《一百個不同的問題》(Centuria di varii problemi，1639)一書中討論了由兩數的對數求其和、差的對數的方法，這是后來許多數學家包括C．高斯(Gauss)都進行過研究的問題．
卡瓦列里還探討了古希臘人二次曲線理論的起源及其在透鏡和聲學中的應用，進而產生構造反射望遠鏡的思想，按G．皮奧拉(Piola)與A．法瓦羅(Favaro)的說法，他的這種思想早于D．格雷戈里(Gregory)和牛頓．卡瓦列里還給出了非平坦球面透鏡焦距的計算方法；解釋了關于阿基米德以鏡子聚焦致燃的傳說．在聲學領域中，卡瓦列里嘗試進行了P．維特魯維厄斯(Vitru-vius)共鳴瓶的考古重建工作，并用在大劇院里以放大聲音．在《幾何學》和《六道幾何練習題》中卡瓦列里還給出了采用射影線束來畫二次曲線的方法，可以認為是J．施泰納(Steiner)工作的先驅．
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