泰勒
北京大學 朱學賢
泰勒，B．(Taylor，Brook)1685年8月18日生于英格蘭米德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市；1731年12月29日卒于倫敦．數(shù)學．
泰勒出生于英格蘭一個富有的且有點貴族血緣的家庭．父親約翰(John)來自肯特郡(Kent)的比夫隆(Bifron)家族，母親奧莉維婭(Olivia)是巴特郡(Bart)的N．坦佩斯特(Tem-pest)爵士的女兒，祖父納撒尼爾(Nathaniel)曾支持過克倫威爾(Cromwell)．泰勒是長子．
進大學之前，泰勒一直在家里讀書．泰勒全家，尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術，經(jīng)常在家里招待藝術家．這對泰勒一生的工作造成了極大的影響，這從他的兩個主要科學研究課題：弦振動問題及透視畫法，就可以看出來．
1701年，泰勒進劍橋大學的圣約翰學院學習，主要的數(shù)學教授是J．梅欽(Machin)和J．基爾(Keill)．1709年，他獲得法學學士學位．1714年獲法學博士學位．1712年，他被選為英國皇家學會會員，同年進入仲裁I．牛頓(Newton)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)發(fā)明微積分優(yōu)先權爭論的委員會．從1714年起他繼E．哈雷(Halley)之后擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康理由辭去這一職務，但看來更實際的原因是對這一比較受約束的工作不感興趣．
泰勒后期的家庭生活是不幸的．1721年，因和一個據(jù)說是出身名門但沒有財產(chǎn)的女人結婚，遭到父親的嚴厲反對，只好離開家庭．兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里．1725年，在征得父親同意后，他第二次結婚，并于1729年繼承了父親在肯特郡的財產(chǎn)．1730年，第二個妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個女兒伊麗莎白(Elizabeth)．妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去世了，安葬在倫敦圣·安教堂墓地．
由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國，并和法國數(shù)學家P．R．de．蒙莫爾(Montmort)多次通信討論級數(shù)問題和概率論問題．據(jù)W．鮑爾(Ball)說，著名的“騎士游歷問題”，即國際象棋中的馬連續(xù)地跳遍棋盤上的64個格，且每個格只允許跳進1次，就是由他提出來，由蒙莫爾和A．棣莫弗(De Moivre)解出來的．后來，L．歐拉(Euler)科學地處理了這一問題．
1708年，23歲的泰勒得到了“振動中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個工作中他用了牛頓的瞬的記號．他在給基爾教授的信中報告了這一工作，但直到1714年5月才發(fā)表在《皇家學會哲學會報》(Philosophical Transaction of the Royal Society)上．
從1714到1719年，是泰勒在數(shù)學上多產(chǎn)的時期．他的兩本著作：《正和反的增量法》(Methodus incrementorum directa etinversa)及《直線透視》(Linear perspective)都出版于1715年，它們的第2版分別出于1717和1719年．從1712到1724年，他在《哲學會報》上共發(fā)表了13篇文章，其中有些是通信和評論．文章中還包含有毛細管現(xiàn)象、磁學及溫度計的實驗記錄．
在生命的后期，泰勒轉向宗教和哲學的寫作，他的第三本著作《哲學的沉思》(Contemplatio philosophica)在他死后由外孫W．楊(Young)于1793年出版(私人出資印刷和發(fā)行)．
泰勒以微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世．這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來，即(用現(xiàn)在的記號)
這一定理及其中的無窮級數(shù)都以泰勒命名．這條定理的重要性現(xiàn)在是眾所周知的，在幾乎任何一本微積分教科書上都能找到，并在許多數(shù)學分支里有著廣泛的應用．
泰勒定理的首次正式出現(xiàn)是在1715年版的《正和反的增量法》的第23頁上，作為命題7的第2個推論．但在1712年7月26日給梅欽的信中他已敘述了這一結果，不過當時未給出證明．后來，H．貝特曼(Bateman)重印了這封信．泰勒在信上說道，這一工作，是因為在查爾特咖啡館(Child’s Coffeehouse)里聽到梅欽關于用“牛頓級數(shù)”解開普勒(Kepler)問題的一席談話以及看到發(fā)表于1694年《哲學會報》上的“哈雷博士求根法”(Dr．Halley’s method of extracting roots)，受到啟發(fā)才做出來的．他在書中也稱贊了牛頓．
這里有兩點需要指出．一方面，在17世紀后期和18世紀，隨著航海、天文學和地理學的進展，迫切要求三角函數(shù)表、對數(shù)表和航海表等的插值有較高的精確度，因此許多插值方法應運而生．其中牛頓插值公式(或稱格里戈里(Gregory)-牛頓內(nèi)插公式)用了有限差方法，這一公式由泰勒發(fā)展成把函數(shù)展開成無窮級數(shù)的最有力的方法．但另一方面，除了牛頓以外，萊布尼茨在有限差分方面也做過許多工作，伯努利(Bernoulli)兄弟等在把函數(shù)展開成級數(shù)方面有許多重要的貢獻，而且實際上，J．伯努利(JohannBernoulli)曾于1694年在《教師學報》(Acta Eruditorum)上發(fā)表過與泰勒定理相同的結果，泰勒是知道這一切的，但在書中沒有提，這里包含有某些其他的原因，我們在后面還會提到．
提一下泰勒在書中給出的定理的證明是很有意思的，從中一方面可以看到當時微積分基礎的混亂，另一方面又可以看到許多有識之士為此作出的努力．泰勒認為，可以用有限差分和極限既解釋牛頓的流數(shù)法又解釋萊布尼茨的微分法，流數(shù)法的原理“全部能從增量法的原理直接推導出來”(雖然萊布尼茨在那時曾說過，這是“把車子放在馬的前面”)．但如何從有限差分過渡到流數(shù)，他(和萊布尼茨一樣)并不清楚，認為只要把“初始的增量”寫成零就行了．因此，他先從有限差分出發(fā)，得到格里戈里-牛頓內(nèi)插公式，然后令其中的初始增量為零，項數(shù)為無窮，既沒有考慮級數(shù)的收斂性也沒有給出余項的表達式．F．克萊因(Klein)曾評注道，這是一種“無先例的大膽地通過極限”，“泰勒實際上是用無窮小(微分)進行運算，同萊布尼茨一樣認為其中沒有什么問題．有意思的是，一個20多歲的年輕人，在牛頓的眼皮底下，卻離開了他的極限方法”．
在書中及在以后的一些文章中，泰勒用他的定理把函數(shù)展開成級數(shù)，得到如正弦函數(shù)及對數(shù)函數(shù)等的標準展式，并用這一方法求微分方程的通解．他還用級數(shù)去解數(shù)字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程．
然而，在半個世紀里，數(shù)學家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值．這一重大價值是后來由J．L．拉格朗日(Lagrange)發(fā)現(xiàn)的．他把這一定理刻畫為微積分的基本定理，并將其作為自己工作的出發(fā)點．18世紀末，拉格朗日給出了泰勒公式的余項表達式(通常稱為拉格朗日余項)，并指出，不考慮余項就不能用泰勒級數(shù)．泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生的一個世紀之后由A．L．柯西(Cauchy)給出的．
“泰勒級數(shù)”這一名詞大概是由S．A．呂利埃(L’Huillier)在1786年首先使用的．在此之前，M．J．A．N．C．M．de孔多塞(Condorcet)在1784年對此級數(shù)既用了泰勒的名字又用了J．L．R．達朗貝爾(d’Alembert)的名字．
C．麥克勞林(Maclaurin)注意到了泰勒定理的特殊情形，即函數(shù)在零點的展開．泰勒在1717年版的《增量法》第27頁上討論了這一情形，麥克勞林本人也指出，這只是泰勒工作的一個特例．但歷史在這里開了個玩笑，人們將它作為一條獨立的定理而歸于麥克勞林．
關于泰勒定理，還有一點要提及，J．伯努利曾和泰勒爭論這一定理的優(yōu)先權．主要依據(jù)是前面提到的J．伯努利1694年發(fā)表在《教師學報》上的文章．G．皮亞諾(Peano)也認為定理應歸于伯努利．A．普林斯海姆(Pringsheim)曾證明從伯努利的積分公式通過變量替換可以得到泰勒定理．但歷史的研究表明，并沒有充分的證據(jù)表明伯努利(還有萊布尼茨等人)已意識到了泰勒定理的最終形式．泰勒獨立地發(fā)現(xiàn)了這一定理，并將它敘述成最一般的形式．
發(fā)生在泰勒和J．伯努利之間的爭論實際上是當時發(fā)生的另一場著名大爭論的延伸，即爭論究竟是牛頓還是萊布尼茨首先發(fā)明了微積分．英國數(shù)學家支持牛頓，歐洲大陸的數(shù)學家支持萊尼布茨．為了證明自己一方擁有微積分的真經(jīng)，雙方分別在《哲學會報》和《教師學報》上提出一系列挑戰(zhàn)問題，讓對方解答．這種挑戰(zhàn)曾達到賭50個畿尼(舊英國金幣的名稱)的激烈程度．泰勒是少數(shù)幾個能在這場挑戰(zhàn)中挺得住的英國數(shù)學家之一，但他也并不是總能獲勝．有一次，他提出一個形式很復雜的流數(shù)積分問題，向所有“非英國”數(shù)學家挑戰(zhàn)．這一問題在英國只有極少幾個幾何學家通曉，從而認為是自己一派的優(yōu)勢．但結果卻不然，J．伯努利熟知這一積分并指出這一問題早已由萊布尼茨在《教師學報》上解決了．從而這次挑戰(zhàn)泰勒大敗而歸．這場爭論后來演變成尖銳的對立，因而往往缺乏理性和公允，雙方都受到了損害．泰勒雖然很熟悉萊布尼茨和伯努利的許多工作，但在自己的書中只字不提．反過來，他本人的許多工作(甚至包括1714年的工作)的首創(chuàng)權都遭到了非議．
《增量法》一書不僅是微積分發(fā)展史上的一部重要著作，而且還為數(shù)學增添了一門新的分支，現(xiàn)在稱為“有限差分”．雖然有限差分法在17世紀時已廣泛用于插值問題，但正是泰勒的工作才使之成為一個數(shù)學分支，泰勒是奠基人．在書中，他還成功地將這一方法應用于振動弦頻率及其振動形式的研究以及級數(shù)求和．
《增量法》還包括了泰勒的一些創(chuàng)造性工作，它們的重要性到后來才被人們認識到．其中包括微分方程奇解的認識和確定，涉及變量替換及反函數(shù)的導數(shù)的公式，確定振動中心，曲率及振動弦問題等．與后3個問題有關的工作早些時候曾在《哲學會報》上發(fā)表過，其中包含有計算對數(shù)的連分式．泰勒將曲率半徑看作是通過曲線上三點的極限圓的半徑，并將曲率與相切角問題聯(lián)系起來，后一問題可追溯到歐幾里得(Euclid)．他用曲率及曲率半徑第一個求得撥動弦的最簡單情形——正規(guī)振動的解．在命題22和23中，他證明在某些條件下，每一點的振動取單擺的形式．他用弦的長度、重量及擺重來確定單擺的周期．泰勒關于這一問題的見解影響了后人，例如J．伯努利在和兒子D．伯努利(DanielBernoulli)通信討論這一課題時引用了泰勒的工作．
泰勒在其他學科里也有一些工作值得一提．例如，他正確地推導出大氣壓的變化率是高度的對數(shù)函數(shù)．關于光的折射本質(zhì)的第一個正確解釋也屬于他(見[1])．
泰勒的另一本著作《直線透視》是18世紀有關透視理論的著作中影響最大的一本．據(jù)P．S．瓊斯(Jones)統(tǒng)計，這本書在英國出了4版(還不算一個修訂本)，并被譯成法文和意大利文共出了3版．從1715到1888年有9人寫了12本書共22版，追隨泰勒的工作．
相傳古希臘人在建造露天劇場時應用了透視原理，文藝復興時期的藝術家、建筑師和工程師們廣泛應用透視原理于自己的創(chuàng)作．18世紀的貢獻主要是理論完善及科學抽象．泰勒在書中建立了一系列定理并給出嚴格的證明．其中，最杰出和最富創(chuàng)造性的思想是對所有的直線和平面分別定義了“沒影點”和“沒影直線”，并對透視問題的反問題的理論和實踐進行了研究，這一問題后來構成了J．朗伯(Lambert，他開創(chuàng)了理論制圖學的新紀元)工 作的基礎，也是現(xiàn)代攝影地理學的基礎．泰勒自如地運用平行直線在無窮遠處相交的思想，并尋求在透視中直接做幾何構造的方法．
如同泰勒的其他著作一樣，這本書寫得過于簡潔和抽象，遭到了一些批評．J．伯努利說，這本書“對所有的人說來是深奧的，而對藝術家們說來難以理解，但是它本來是比較專門地為他們寫的”考慮到他和泰勒之間的關系，這番話應打點折扣，但泰勒本人也多少意識到這一點，在書的第二版《直線透視的新原理》(New principles of linear pefspective，1719)中，他作了一些修改和補充，將原來的42頁擴展成70頁，并增加了一些圖形說明如何用他的方法直接畫圖．
泰勒的工作受到了后人的贊揚．例如，畫法幾何學的奠基人G．蒙日(Monge)及其學生S．F，拉克魯瓦(Lacroix)在1801年說它“由于創(chuàng)造性和富有成果的原理，從而高出于其他研究透視的工作”．J．庫利奇(Coolidge)在1940年稱泰勒的工作是透視學“整個大建筑的拱頂石”
泰勒對于透視理論有濃厚興趣，不僅因為它與數(shù)學及時代文明相一致，而且由于他的家庭影響，前面我們已指出了這一點．在泰勒家族的檔案里，據(jù)說存有他的繪畫．他的外孫W．楊說，泰勒喜愛風景畫和水彩畫，作品中表現(xiàn)的技巧及知識的運用，受到看過這些作品的專家的好評．在圣約翰學院保存的泰勒的材料中有一份題為“論音樂”(On musick)的未發(fā)表的手稿，是由他、牛頓及佩普斯(Pepusch)合作完成的，后者顯然是寫了音樂的非科學的部分．據(jù)說在1713年前，他還交給皇家學會一篇關于音樂的論文．
研究泰勒的生平及工作表明，他對數(shù)學發(fā)展的貢獻，本質(zhì)上要比一條以他命名的定理大得多．他涉及的、創(chuàng)造的但未能進一步發(fā)展的主要數(shù)學概念之多令人吃驚．他的工作過分簡潔抽象難以追隨．家庭影響、生活的不幸、健康不佳以及其他一些無法估量的因素，影響了他不太長的生命中的數(shù)學創(chuàng)造．
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