楊輝
中國科學(xué)院科學(xué)出版社 孔國平
楊輝 字謙光．南宋錢塘(今杭州)人．生卒年不詳，生活于13世紀(jì)．?dāng)?shù)學(xué)．
楊輝曾做過地方官．足跡遍及錢塘、臺州(今浙江臨海)、蘇州等地．與他同時代的陳幾先稱贊他“以廉飭己，以儒飾吏”．楊輝特別注意社會上有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，多年從事數(shù)學(xué)研究和教學(xué)工作，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．他走到哪里都有人請教數(shù)學(xué)問題．從1261年到1275年的15年中，他先后完成數(shù)學(xué)著作5種21卷，即《詳解九章算法》12卷(1261)，《日用算法》2卷(1262)，《乘除通變本末》3卷(1274)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275)和《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275)(其中《詳解》和《日用算法》已非完書)．后三種合稱為《楊輝算法》．
關(guān)于這五部書的編著過程，楊輝寫道：“《九章》為算經(jīng)之首，輝所以尊尚此書，留意詳解．或者有云：無啟蒙之術(shù)，初學(xué)病之，又以乘除加減為法，秤斗尺田為問，目之曰《日用算法》，而學(xué)者粗知加減歸倍之法，而不知變通之用，遂易代乘代除之術(shù)，增續(xù)新條，目之曰《乘除通變本末》，及見中山劉先生益撰《議古根源》，演段鎖積，有超古入神之妙，其可不為發(fā)揚，以俾后學(xué)，遂集為《田畝算法》．通前共刊四集，自謂斯愿滿矣．一日忽有劉碧澗、丘虛谷攜諸家算法奇題及舊刊遺忘之文，求成為集，愿助工板刊行．遂添摭諸家奇題與夫繕本及可以續(xù)古法草總為一集，目之曰《續(xù)古摘奇算法》．”(《續(xù)古摘奇算法》序)
以上《乘除通變本末》3卷，上卷叫《算法通變本末》，中卷叫《乘除通變算寶》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是與史仲榮合撰的．
楊輝數(shù)學(xué)著作的特點是深入淺出、圖文并茂，很適于教學(xué)，而且有不少創(chuàng)新．另外，楊輝的書中還記錄了一些古代有價值的數(shù)學(xué)成果，如賈憲的增乘開方法和開方作法本源圖載于《詳解九章算法》的《纂類》，劉益的正負(fù)開方術(shù)載于《田畝比類乘除捷法》．楊輝自己的成就，主要表現(xiàn)在以下各方面．
1．垛積術(shù)
楊輝的垛積術(shù)，是在沈括像積術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，置于《詳解九章算法》的商功章．他研究了垛積與各類多面體體積的聯(lián)系，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式．例如方亭(正四棱臺)體積為
其中a為上底邊長，b為下底邊長．
若由大小相等的圓球垛成類似于正四棱臺的方垛，上底由a×a個球組成，以下各層的長、寬依次各增加1個球，共有n層，最下層(即下底)由b×b個球組成，楊輝給出求方垛中物體總個數(shù)的公式如下：
比較一下上面兩式就會發(fā)現(xiàn)，后者與前者的區(qū)別在于小括號內(nèi)多了
階等差級數(shù)求和公式，即
a2+(a+1)2+(a＋2)2+…+(b-1)2+b2
楊輝垛積術(shù)中屬于級數(shù)求和的共有四個，其余三個是
a·b＋(a＋1)(b＋1)+(a＋2)(b＋2)+…+(c-1)(d-1)＋c·d
除了(4)式與沈括隙積術(shù)公式相同外，其他公式均為楊輝獨立推出．
2．捷算法與素數(shù)
楊輝致力于捷算法的研究，并取得一些成就．例如，《算法通變本末》中記載著一種叫“重乘”的算法，即把乘數(shù)分解為若干因數(shù)之積的形式，然后用因數(shù)去乘．楊輝說：“乘位繁者，約為二段，作二次乘之，庶幾位簡而易乘，自可無誤也．”例如38367×23121，楊輝便把23121分解為9×7×367，然后再乘38367．
由于捷算法的需要，楊輝注意到一個整數(shù)是合數(shù)還是素數(shù)的問題．他說：“置價錢(即23121文)為法，約之．先以九約，又以七約，乃見三百六十七，更不可約也．”所謂不可約，就是說除了1和本身外沒有其他約數(shù)．顯然，楊輝的“不可約”之?dāng)?shù)即素數(shù)．他在這里首次提出素數(shù)概念，又在《法算取用本末》中列出了從201到300的素數(shù)表，共16個：
211，223，227，229，233，239，241，251，
257，263，269，271，277，281，283，293．
這實際是201到300的全部素數(shù)．雖然楊輝對素數(shù)的研究遠(yuǎn)在歐幾里得之后，理論上也不夠完整，但他在沒有外來影響的情況下注意到這一重要問題，其思想之深刻是值得稱道的．
“求一乘”和“求一除”也是捷算法，是用加減代乘除，通過折、倍等方法來實現(xiàn)的，“求一”就是變首位為1的意思．例如237×56，
在運算方面，楊輝特別重視乘法，他說：“夫習(xí)算者，以乘法為主．”(《詳解九章算法》)認(rèn)為“乘除者，本勾深致遠(yuǎn)之法”，“因法不獨能乘，而亦能除”(《算法通變本末》)．例如
2746÷25=27.46×4=109.84，
這種以乘代除的方法不僅施于精確計算，也用于近似計算．例如
2746÷1111=0.2746×9=2.4714．
《田畝比類乘除捷法》中的一些題列出了不同的方法，這些方法有繁有簡，楊輝的意圖就在于比較優(yōu)劣，提倡捷法．
3．縱橫圖
縱橫圖是按一定規(guī)律排列的數(shù)表，也稱幻方．一般是n行n列，各行各列的數(shù)字之和相等，縱橫圖有幾行，就稱為幾階．我國最早的縱橫圖，當(dāng)推漢代“九宮圖”(圖1)．宋代理學(xué)家們把它與《周易》中的“河出圖，洛出書，圣人則之”聯(lián)系起來，認(rèn)為九宮圖即天生的神物——洛書，是伏羲畫八卦的依據(jù)，從而為這些有規(guī)律的數(shù)字蒙上了一層神秘色彩．
就在這種數(shù)字神秘主義氣氛籠罩社會的時候，楊輝卻在孜孜不倦地探索縱橫圖的構(gòu)成規(guī)律。他以自己的研究成果，否定了縱橫圖的神秘性．《續(xù)古摘奇算法》上卷的大量縱橫圖表明，這種圖形是有規(guī)律可循的．
楊輝首先給出三階和四階縱橫圖的構(gòu)造方法：“易換術(shù)曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角對換……后以內(nèi)四角對換．”這便是構(gòu)造四階縱橫圖的一種方法(圖2)．在“總術(shù)”中，楊輝給出構(gòu)造四階縱橫圖的一般方法．第一步是“求積”，即求出每行或每列的數(shù)字之和應(yīng)為多少．楊輝把前16個自然數(shù)當(dāng)作一個等
差數(shù)列，用求和公式
求得S＝136，進(jìn)而求得每行之?dāng)?shù)34．第二步是“求等”，即設(shè)法使每行、每列的數(shù)字之和等于34．“求等術(shù)曰：以子數(shù)分兩行
一 二 三 四 五 六 七 八
九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六
而二子皆等(十七)，又分為四行，而橫行先等(三十四)，乃不易之?dāng)?shù)．卻以此編排直行之?dāng)?shù)，使皆如元求一行之積(三十四)而止．”依此術(shù)，楊輝構(gòu)造數(shù)字方陣如圖3，然后再“編排直行之?dāng)?shù)”．楊輝說：“繩墨既定，則不患數(shù)之不及也．”意思是掌握了規(guī)律，就不難作出縱橫圖．
四階以上縱橫圖，楊輝只畫出圖形而未留下作法．但他所畫的五階、六階乃至十階縱橫圖全都準(zhǔn)確無誤，可見他已經(jīng)掌握了高階縱橫圖的構(gòu)成規(guī)律，他的十階縱橫圖叫百子圖(圖4)，各行各列的數(shù)字之和均為505．
楊輝的縱橫圖對后世深有影響，明代程大位、清代方中通、張潮、保其壽等，都曾在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究縱橫圖．
4．一條重要的面積定理
在《詳解九章算法》及《續(xù)古摘奇算法》中，楊輝討論了勾股容方問題，并在后書中給出如下定理：
“直田之長名股，其闊名勾，于兩隅角斜界一線，其名弦．弦之內(nèi)外分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直，二積之?dāng)?shù)皆同．”
圖5中，橫指 BE，直指 DE，推測其證明思路如下：
因為
△ABC＝△CDA(指面積相等，下同)，
又因為
△AIE=△EHA，
△EFC=△CGE，
所以
△ABC-△AIE-△EFC
=△CDA-△EHA-△CGE，
即 BE= DE．
此定理反映了我國傳統(tǒng)幾何的一條重要原理——出入相補．實際上，△AIE可以移置△EHA處，△EFC也可以移置△CGE處，所以等積．這種思想在劉徽《海島算經(jīng)》及趙爽“日高術(shù)”中已反映出來．但首次表達(dá)成定理形式的是楊輝．該定理在平面幾何中有廣泛的應(yīng)用．實際上，《海島算經(jīng)》中的各種測量公式都可由它推出．
5．因法推類
在《詳解九章算法》的《纂類》中，楊輝提出“因法推類”的原則．正如郁松年所說，《纂類》以“算法為綱”，“以類相從”．這種思想與《九章算術(shù)》相比是一個進(jìn)步，因為《九章算術(shù)》的分類標(biāo)準(zhǔn)并不一致，有的按用途分，有的按算法分．楊輝則突破了原書的分類格局，按算法的不同，將書中所有題目分為乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類．每一大類中，由總的算法演繹出不同的具體方法，并給出相應(yīng)的習(xí)題．例如，“方程”類便依次給出方程、損益、分子、正負(fù)四法，“方程法曰：所求率互乘鄰行，以少減多，再求減損，錢為實，物為法，實如法而一．”這是解線性方程組的基本方法．此法后的11題全是基本類型，可直接列出最簡方程組．“損益”指的是移項及合并同類項，分子術(shù)指去分母的方法，正負(fù)術(shù)指方程變換時所用的正負(fù)數(shù)運算法則，各法后分別列有相應(yīng)的具體題目．這種作法體現(xiàn)了由干生枝的演繹思想，方程法是干，損益、分子、正負(fù)三法是枝．再如“勾股類”，共設(shè)38問，分別置于21種方法之后，而第一種方法——勾股求弦法(即“勾股各自乘，并而開方除之”)是后面各法的基礎(chǔ)．這種順序也體現(xiàn)了演繹思想．
6．?dāng)?shù)學(xué)教育和普及工作
楊輝十分重視數(shù)學(xué)普及工作，他的數(shù)學(xué)書一般都是由淺入深的．《詳解九章算法》便是為普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識而作．他從原書246題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解．由于初學(xué)者感到《九章算術(shù)》“題問頗隱，法理難明，不得其門而入”，楊輝便“恐問隱而添題解，見法隱而續(xù)釋注，刊大小字以明法草，僭比類題以通俗務(wù)，凡題法解白不明者別圖而驗之．”題解即提示算法要點或解釋數(shù)學(xué)名詞；比類是原有方法的類推，例如“商功”章，在圓亭(圓臺)解法之后便給出一道圓窖題：“圓窖上周三丈，下周二丈，深一丈，問積．”書中的圖形很多，不僅有數(shù)學(xué)圖，還有寫生圖，如“勾股章”的葭出水圖、圓材埋壁圖、方邑圖等，都很精美，為《詳解》增色不少．這些圖在幫助讀者理解題意的同時，也有利于引起讀者興趣．
為普及日常所用的數(shù)學(xué)知識，楊輝專門寫了《日用算法》一書，并提出“用法必載源流”和“命題須責(zé)實有”兩條原則．書中的題目全部取自社會生活，多為簡單的商業(yè)問題，也有土地丈量、建筑和手工業(yè)問題．這種應(yīng)用數(shù)學(xué)是便于普通讀者接受，也便于發(fā)揮社會效益的．楊輝還在該書的序言中提到“編詩括十三首”，這些詩歌顯然是為讀者自學(xué)數(shù)學(xué)而編的，可惜都已失傳．但在《乘除通變算寶》中存有“求一乘”和“求一除”詩各一首，前者為
五六七八九，倍之?dāng)?shù)不走，
二三須當(dāng)半，遇四兩折扭．
倍折本從法，實即反其有，
用加以代乘，斯數(shù)足可守．
這種詩歌簡練生動，朗朗上口，便于讀者記誦．另外，楊輝書中還有許多乘除法歌訣，也是有助于讀者熟記有關(guān)算法的．
楊輝不僅總結(jié)了當(dāng)時的各種數(shù)學(xué)知識，還批評了以往數(shù)學(xué)著作中的一些錯誤，這種作法在楊輝以前的算書中很少見．例如，他在《田畝比類乘除捷法》一書中便批評了《五曹算經(jīng)》中的三個錯誤，一是在田畝計算中用方五斜七之法(即把正方形邊長與對角線之比取作5∶7)，二是題問概念不清，三是四不等田求法之誤．
在數(shù)學(xué)教育方面，楊輝總結(jié)了自己多年的經(jīng)驗，寫了一份相當(dāng)完整的教學(xué)計劃——“習(xí)算綱目”(《算法通變本末》)，具體給出各部分知識的學(xué)習(xí)方法、時間及參考書．他主張循序漸進(jìn)，精講多練，特別強調(diào)要明算理，要“討論用法之源”．例如，他講減法時不只講算法，而且指明：“加法乃生數(shù)也，減法乃去數(shù)也，有加則有減．凡學(xué)減，必以加法題考之，庶知其源．”針對教師和學(xué)生兩種不同的對象，楊輝又提出“法將題問”和“隨題用法”兩條不同原則．教師編書或講課時，應(yīng)“法將題問”，“凡欲見明一法，必設(shè)一題”(《法算取用本末》)，就是以算法統(tǒng)帥習(xí)題，每種算法都設(shè)有相應(yīng)的題目．而對學(xué)生來說，則應(yīng)“隨題用法”，即根據(jù)具體題目來選擇相應(yīng)的算法．他說：“隨題用法者捷，以法就題者拙．“(《乘除通變算寶》)
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