萊夫謝茨
胡作玄
(中國科學院系統(tǒng)科學研究所)
萊夫謝茨，S．(Lefschetz，Solomon)，1884年9月3日生于俄國莫斯科；1972年10月5日卒于美國普林斯頓．數(shù)學．
萊夫謝茨出身于土耳其裔家庭，父親是商人，由于長期在波斯(今伊朗)經商，決定把他的家庭安置在巴黎，所以他的子女從小在巴黎長大．萊夫謝茨的第一語言是法語，到十幾歲時才學會俄語．他也會波斯語等稀有語種，后來更精通英語及西班牙語．他的基礎教育都是在巴黎完成的．1902年進入巴黎中心學校學習，1905年畢業(yè)，獲得“工藝制造工程師”學位．不久之后他移居美國，先在鮑爾溫機車工廠(Baldwin Locomotive Works)工作，后轉到匹茲堡的威思丁豪斯電力與制造公司(Westinghouse Electric andManufactnring Co．)工作，先任見習工程師，后任工程師．他在這家公司中工作很出色，但是1910年的一次事故，使他永遠地失去了雙手，這使他很有前途的工程師生涯嘎然而止．在醫(yī)院治療期間，他認識到“他的真正道路不是工程而是數(shù)學”．當然，對于身殘的萊夫謝茨，從頭攻讀數(shù)學也不是輕而易舉的事，而要取得像他那種成就更需要超人的毅力克服一個又一個幾乎不可征服的困難．一開始，他先復習在巴黎中央學校聽過的數(shù)學課．當時的兩位教授——教分析的E．皮卡(Picard)和教分析力學的P．阿佩爾(Appell)早已是法國科學院院士，世界著名的數(shù)學大家．于是，他就攻讀他們的著作，頭等重要的是皮卡三大卷的《分析教程》(Traite d’Analyse)．1910年5月，他到馬薩諸塞州沃爾斯特的克拉克大學去讀研究生，這是一所成立不久的大學，有幾位國外培養(yǎng)的數(shù)學家，據他講“有一位一流的館員L．N．威爾遜(Wilson)博士，以及管理完善的數(shù)學圖書館”．他正是利用這個條件完成他的數(shù)學進修的．1911年6月，他在W．E．斯托利(Story)指導下獲得博士學位，論文題目為“具有給定奇點的軌跡的存在性”(Onthe existence of loci with given sinyularities)，后于1913年發(fā)表．
從1911年到1924年，萊夫謝茨在中西部兩所大學中任教．在完全孤立的情形下，獨立進行數(shù)學研究．他先在內布拉斯加大學任兩年講師，后轉到堪薩斯大學任教，先后任講師(1913—1916)，助理教授(1916—1919)，副教授(1919—1923)及教授(1923—1925)．這14年中他克服生理上的殘疾，充滿自信地鉆研代數(shù)幾何學，做出劃時代的貢獻．
1912年6月他獲得美國國籍，次年，他娶A．B．海斯(Hayes)小姐為妻，他是在殘廢后不久在克拉克大學結識她的，那時他還帶著他那粗糙的假肢．她是第一位在克拉克大學拿學位的女數(shù)學家，1911年6月，她獲得碩士學位．沒有她的幫助，他幾乎難以克服工作、生活和旅行的重重困難．
1924年他出版了《位置分析與代數(shù)幾何》(L’analyse situs etle géométrie algebrique)，收入著名的波萊爾(Borel)叢書．這個工作和他以前的成就給他帶來國際聲譽，他接到許多大學的訪問邀請．1924年他接受普林斯頓大學的邀請，任一年的訪問教授，年末他得到了大學的長期聘用，任副教授，1928年升為正教授．1932年他接替O．維布侖(Veblen)任范因(Fine)研究教授，一直到1953年退休．
在普林斯頓大學工作的30年不僅使他脫離開孤軍奮戰(zhàn)的境地，也使普林斯頓大學發(fā)展成一個國際性的數(shù)學中心，許多大數(shù)學家從這里畢業(yè)，或訪問過這里，這里成了代數(shù)拓撲學的搖籃．
他到普林斯頓大學之后，他的研究方向逐步由代數(shù)幾何學轉向代數(shù)拓撲學．雖然他在代數(shù)幾何學方面還有一些研究，特別是代數(shù)曲線的對應理論，并且在大學中不時開出代數(shù)幾何學課程，還同代數(shù)幾何學界保持密切接觸，例如后來的代數(shù)幾何的領袖人物O．查瑞斯基(Zariski)在1929—1937年間不斷地往返于巴爾的摩[他當時在約翰斯·霍普金斯(Johns Hopkins)大學任教]與普林斯頓之間，向萊夫謝茨求教并同他討論問題，得到他的熱情鼓勵與幫助，但是萊夫謝茨這時的主要研究方向，已轉向代數(shù)拓撲學．在普林斯頓，兩位拓撲學前輩同他過從密切，一是維布侖，一是J．W．亞歷山大(Alexander)．他特別佩服亞歷山大，在研究不動點理論及對偶定理方面兩人有過頻繁的討論．不過亞歷山大后來脫離開數(shù)學界深居簡出，使得萊夫謝茨深為難過．實際上，從20年代末到40年代初，萊夫謝茨是美國代數(shù)拓撲學的主要傳人，許多后來的大家出自他的名下．他的兩本著作《拓撲學》(Topology，1930)和《代數(shù)拓撲學》(Algebraic topology，1942)是英語拓撲學文獻中最主要的參考書，特別是后者在相當長的一段時期內是代數(shù)拓撲學的標準著作，并且是第一本以“代數(shù)拓撲學”命名的書．
1945年，他被任命為普林斯頓大學數(shù)學系主任，從此開始他的新的活動．1945/1946年度以及1947年他作為交換教授到國立墨西哥大學工作，其后他多次訪問這里，特別是從普林斯頓大學退休之后．他的熱情以及他的組織能力使得墨西哥從無到有建立起一個數(shù)學學派．為了表彰他對墨西哥數(shù)學的貢獻，墨西哥政府授予他阿茲臺克(Aztec)雄鷹獎章．
第二次世界大戰(zhàn)期間，他曾任美國海軍部的顧問，這時，他接觸到蘇聯(lián)在非線性振動以及穩(wěn)定性方面的研究工作，他馬上認識到這些工作的重大意義．他知道J． H．龐加萊 (Poincaré)和A．M．李雅普諾夫工作在微分方程幾何理論的重要性，看出這門學科在美國“太長時期受到忽視”．他不顧一些同事的勸阻(認為聯(lián)邦政府的支持會危及學術研究的自由氣氛)，毅然接受海軍研究局的資助，于1946年在普林斯頓大學組織一個微分方程研究項目，它后來發(fā)展成為美國研究常微分方程的領導中心，他任這個項目的主任直到1953年退休．其后5年間，普林斯頓中心逐漸停止活動．他多次試圖在另一所美國大學建立一個研究機構，但沒有成功．他退休后，馬丁公司在巴爾的摩建立一個高等研究院 (Research Institute for Advanced Studies， RIAS)，作為工業(yè)對基礎研究的支持，他被任命為該院的顧問．1957年11月馬丁公司總裁及董事會全權委托他在高等研究院建立一個微分方程研究中心，要求它成為“世界上這類中心的典范，”在萊夫謝茨的領導下，這個中心果然在微分方程及最優(yōu)控制和穩(wěn)定性的數(shù)學理論的研究方面獲得國際聲譽．1964年高等研究院的微分方程研究中心的主體部分搬遷到羅德島普羅威登斯的布朗(Brown)大學，在其中應用數(shù)學部建立起萊夫謝茨動力系統(tǒng)中心．布朗大學聘請他為訪問教授．從1964—1970年6年間，他每周乘飛機往返于普林斯頓及普洛威登斯，在布朗大學講課，指導研究，培養(yǎng)出許多后起之秀．
在這期間他以非凡的熱情和努力，集結一批年輕數(shù)學家研究和開拓動力系統(tǒng)、控制理論等新方向．他還組織翻譯蘇聯(lián)的著作，講課、寫綜述及評論并組織會議．雖然他的工作由于這些領域的飛速發(fā)展現(xiàn)在看來已經落后，但正是他奠定了美國的研究基礎，使美國從60年代末在動力系統(tǒng)理論以及從60年代初起在控制理論方面在世界居于領先地位．
由于他在數(shù)學創(chuàng)造以及教育、組織方面的工作，他在美國國內外享有崇高的榮譽．早在1925年他就被選為美國國家科學院院士，1935—1936年被選為美國數(shù)學會主席．1964年被美國總統(tǒng)約翰遜授予國家科學獎章．他被授予布拉格大學、巴黎大學、普林斯頓大學、布朗大學和克拉克大學的名譽博士學位，還被選為法國巴黎科學院、西班牙馬德里科學院、意大利米蘭的倫巴底科學院國外院士以及英國倫敦皇家學會國外會員和倫敦數(shù)學會榮譽會員，這些都是一位科學家所能取得的最高國際榮譽．為了表揚他的貢獻，1954年在普林斯頓大學召開慶祝萊夫謝茨70壽辰代數(shù)幾何學和拓撲學國際會議，1984年在墨西哥召開紀念萊夫謝茨百年誕辰大會，世界上上百位數(shù)學家參加了大會．
萊夫謝茨的數(shù)學研究工作大致可分為多少重疊的三個時期：(1)代數(shù)幾何學，1911—1929年；(2)代數(shù)拓撲學，1923—1942年；(3)微分方程、動力系統(tǒng)及控制論，1943—1972年．
1．代數(shù)幾何學
代數(shù)幾何學主要研究一個或多個復數(shù)系數(shù)多項式的零點——代數(shù)簇的性質．早期主要是作為復變函數(shù)論的一部分——代數(shù)函數(shù)論來研究的．
近代代數(shù)幾何學來源于B．黎曼(Riemann)的工作，其后，沿著多個不同的方向，特別是分析(也稱超越)方向、幾何方向以及算術-代數(shù)方向發(fā)展．19，20世紀之交，兩個方向成為萊夫謝茨的代數(shù)幾何的思想來源：一個是皮卡為主的分析方向；另一個是以G．卡斯特努沃(Costelnuovo)、F．恩瑞克斯(Enriques)以及F．塞韋里(Severi)為首的意大利代數(shù)幾何學派所代表的幾何方向．皮卡在1883—1906年主要研究代數(shù)曲面上的單積分與二重積分，另外龐加萊也做出自己的貢獻，他們把黎曼的研究由復代數(shù)曲線f(x，y)=0推廣到復代數(shù)曲面f(x，y，z)=0及至更高維代數(shù)簇上(這里的f均表示多項式)．但是，黎曼深刻發(fā)現(xiàn)與復代數(shù)曲線相聯(lián)系的黎曼面及其基本的拓撲結構，而他們的工作卻很少相應的拓撲，因為當時的組合拓撲學還處于萌芽階段．意大利幾何學家用的是較不嚴格的直觀方法，他們是用線性系及連續(xù)系(今稱代數(shù)系)的語言來表述的，塞韋里證明代數(shù)曲面的曲線的參模具有一個基，它由ρ個有效曲線C1，C2，…，Cρ構成，其他任何曲線C都和它們代數(shù)相關，即
其中λ1，λ2，…，λρ為整數(shù)，λ≠0．這里的ρ后來稱為皮卡數(shù)．
萊夫謝茨對代數(shù)幾何學一開始主要研究外在的幾何學，1915年以后，轉向內在的幾何學，用拓撲方法證明并推廣了以前的結果．他的一系列著作的頂峰是1921年發(fā)表的論文“論代數(shù)簇的某些數(shù)值不變量及其在阿貝爾簇上的應用，”(On certain numericalinvariants of algebraic varieties with applications to Abelianvarieties)后來擴大成專著《位置分析及代數(shù)幾何學》[2]．由于其劃時代的重要性，1921年發(fā)表的論文榮獲巴黎科學院1919年度設立的波爾丁(Bordin)獎以及1924年度美國數(shù)學會博歇獎．
他所解決的主要問題是決定n維非奇異代數(shù)簇Vn上的各種獨立的亞純p階微分形式的數(shù)目(這些一般是雙有理不變量)并得出這些數(shù)目與Vn的拓撲不變量，特別是整數(shù)系數(shù)同調群的貝蒂(Betti)數(shù)的關系．據他后來回憶，當時的n維代數(shù)簇是射影空間Sn+k中幾個復超曲面的不可約交截，其中Vn沒有奇點，因此Vn是緊的實2n維流形．
古典的代數(shù)幾何學討論代數(shù)曲線的黎曼曲面上的阿貝爾積分，其后，黎曼研究阿貝爾微分，并分成三類，他證明復域上線性獨立的全純微分(第一類阿貝爾微分)的數(shù)目等于曲線的虧格(拓撲不變量)．萊夫謝茨把這種亞純微分形式推廣到Vn上的p階微分形式，也分成三類，第一類在Vn上處處全純，第二類在Vn上有有限多極點，第三類有對數(shù)型極點．一個p階微分形式ωp稱為封閉的，如dωp=0；ωp稱為正合的，如果ωp=dw′p-1，這里ω′p-1是p-1階微分形式．兩個p-1階微分形式稱為等價，如它們相差一個正合微分形式．這樣，所有相互等價的p階封閉的微分形式構成一個復向量空間W，問題是求W的維數(shù)．
對于代數(shù)曲面V2上的微分形式，皮卡與龐加萊已證明第一類封閉微 則數(shù)．而萊夫謝茨不僅直接從拓撲方法出發(fā)證明上述結果，還得出他在代數(shù)曲面上的主要結果——第二類封閉微分形式構成ρ0維空間，且
ρ0=R2-ρ．
其中R2是2維貝蒂數(shù)，ρ為獨立的代數(shù)2-閉鏈的數(shù)目，即皮卡數(shù)．
萊夫謝茨不僅搞清楚代數(shù)曲面的雙有理不變量與拓撲不變量的關系，還把結果推廣到一般代數(shù)簇．他得出：對于Vn中超曲面，在Vn中代數(shù)等價與同調是等價關系．
對于一般代數(shù)簇Vn的拓撲，他得出一般結果：對于代數(shù)簇Vn，所有奇維貝蒂數(shù)均為偶數(shù)，且對于2≤p≤n，有Rp≥Rρ-2．
由此，他推出許多經典的結果．例如，不是所有緊、可定向4維流形都是代數(shù)曲面．另外他還完整地證明了M．諾特(Noet-her)定理：三維復射影空間中d≥4次一般型代數(shù)曲面上每條代數(shù)曲線均為該曲面與另一曲面的完全交截．
萊夫謝茨對阿貝爾簇有許多研究，特別是提出決定黎曼矩陣的所有復數(shù)乘法的方案，這后來為A．A．阿爾伯特(Albert)用代數(shù)方法完全解決．但萊夫謝茨的一些結果很重要，如在一個阿貝爾簇上，一閉鏈可用代數(shù)曲線表示當且僅當?shù)谝活惗胤e分在其上具有零周期，這導致他對于皮卡的消沒閉漣(vanishing cyc- le)的推廣，設V是n維非奇異連通代數(shù)簇，W為V由一般超平面H構成的截面，則有下列兩定理成立：(1)弱萊夫謝茨定理：對于0≤i≤n-2，自然同態(tài)H2n-i(V，C)→H2n-I-2(W，C)是同構，且對于0≤i≤n<>-1，H2n-i(V，W，C)=0．(2)強萊夫謝茨定理：設ξ是對應超平面截面W的H2n-I-2(V，Q)的上同調類，L是由ξ的上積所定義的同態(tài)，則對于i≤n，Ln-i：Hi(V，C)→H2n-i(V，C)是同構．萊夫謝茨的證明是不完全的，完全的證明后來由W．V．D．浩治(Hodge)給出，把系數(shù)由通常上同調推廣到l-adic上同調對于魏伊(Well)猜想的證明是至關重要的．
最后，他對于代數(shù)簇的對應理論有重大發(fā)展，他不僅證明A．胡爾維茨(Hurwitz)代數(shù)曲線的對應的基本定理，而且推廣到高維．這個方向引導他到一般的交截理論，開辟了他在代數(shù)拓撲學的研究方向．
2．代數(shù)拓撲學
萊夫謝茨是通過代數(shù)簇的對應理論經由不動點理論進入純代數(shù)拓撲學的．他的研究，除來自意大利幾何學家對代數(shù)對應的研究之外，還有拓撲學家的工作．不動點定理首先是荷蘭數(shù)學家L．E．J．布勞威爾(Brouwer)提出的，他研究n維胞腔或n維球面到自身映射的不動點，另外，美國拓撲學家亞歷山大研究過2維流形的拓撲映射，他的工作就是對這些結果進行大規(guī)模的漂亮的推廣，推廣的重要一步是把代數(shù)的交截理論轉換成拓撲的交截理論．一開始他在定向封閉流形上考慮，1923年他已經得到可定向封閉流形上連續(xù)自映射的不動點定理，設f為定向封閉流形X到自身連續(xù)映射，對每一維n，f誘導X的有理系數(shù)R的同調群Hn(x)的自同態(tài)fn，由于這時Hn(x)是R上向量空間，如果fn的秩有限，可以算出fn的矩陣表示的跡Tr(fn)．定義f萊夫謝茨數(shù)L(f)為
萊夫謝茨證明，L(f)是整數(shù)，且如L(f)≠0，則f至少有一個不動點．
其后萊夫謝茨對他的不動點定理進行一系列推廣，先是推廣到有邊界流形(1926)，在H．霍普夫(Hopf)推廣到n維復形的特殊情形(1928)之后，萊夫謝茨又在1930年推廣到具有有限貝蒂數(shù)的有限維緊度量空間，在1933年對有限維復形給出簡單而漂亮的證明，最后他推廣到所謂廣義流形及局部連通空間．
以不動點定理為中心，萊夫謝茨把代數(shù)拓撲學推進到一個新階段．對于交截、乘積和上同調，對于對偶定理、相對同調和奇異同調以及局部連通集都做出系統(tǒng)的發(fā)展．
原始的萊夫謝茨不動點定理不能包括布勞威爾不動點定理．為了把不動點定理推廣到有邊界流形(相對流形)，他引入了相對同調群，并把龐加萊對偶定理推廣到相對情形，得出萊夫謝茨對偶1374 定理．這不僅是一種推廣，而且把以前兩個互不相關的龐加萊對偶定理和亞力山大對偶定理統(tǒng)一在一起．
為了進一步推廣到復合形，他在1930年引進偽閉鏈(pseudo-cycle)，這是上閉鏈的一種形式，還得出偽同調群．這實際上是原始的上同調群．但他沒有進一步考慮環(huán)結構及其拓撲不變性，在1935—1939年，上同調環(huán)的概念成熟之后，他在《代數(shù)拓撲學》一書中把他的交截理論翻譯成上同調的語言．
萊夫謝茨在1925—1935年完成的從組合位置分析到代數(shù)拓撲學過渡的另一項工作是與其他人一起把數(shù)值的拓撲不變量擴展為同調群，以及引進整系數(shù)，模p系數(shù)，有理系數(shù)的同調群，特別是在《拓撲學》(1930)中首先正式定義奇異同調群的概念，它具有許多優(yōu)越性．
不動點定理在數(shù)學中占有重要地位，它在無窮維空間被推廣成為分析的重要工具，M．F阿蒂亞(Atiyah)及R．鮑特(Bott)把萊夫謝茨不動點定理推廣到橢圓復形．江澤涵和姜伯駒等對不動點理論亦有重大發(fā)展．
3．微分方程與控制理論
萊夫謝茨的主要貢獻是運用代數(shù)幾何學及拓撲學思想于微分方程及控制理論方面．他研究在孤立奇點附近解析微分方程解的行為，運用代數(shù)曲線論對于在孤立臨界點附近二維方程組的所有通過該臨界點的解曲線，給出完全的刻畫以及具體的構造步驟，從而大大改進了經典的I．本迪克遜(Bendixson)的工作．對于二維解析方程組孤立奇點的線性變分方程的系數(shù)矩陣，如果兩特征根為0但不恒等于0，他證明最多只有一個卵形軌道套；對于n維方程組，當孤立平衡點的線性變分方程組中系數(shù)矩陣的特征根有n個為0時，討論了穩(wěn)定性問題；對于二階及高階非線性微分方程組，討論了周期解的存在性．他的重要專著《微分方程幾何理論》(Differential equations：Geometric theory)，是這方面的系統(tǒng)總結．
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