里斯
馮長彬
(贛南師范學院)
里斯，F(xiàn)．(Riesz，F(xiàn)redéric)1880年1月22日生于匈牙利杰爾；1956年2月28日卒于布達佩斯．數(shù)學．
里斯的父親依格內茲(Ignacz)是一名物理學家；弟弟馬塞爾(Marcel)是知名的數(shù)學家．里斯年輕時曾先后在蘇黎世的綜合工藝學校及布達佩斯、格丁根上過學，最后在布達佩斯大學獲博士學位．更進一步在巴黎、格丁根及匈牙利的教育學校(Teaching Sc-hool)研讀后，1911年他被委派在科洛斯堡(kolozsvar)大學工作．該校1920年被遷往塞格德．同年，里斯與A．哈爾(Haar)合作，在那里創(chuàng)辦了雅諾什·波爾約(János Bolyai)數(shù)學研究所及《數(shù)學科學學報》(Acta Scientiarum Mathematicarum)．他于1936年當選為匈牙利科學院院士，1946年起擔任布達佩斯大學數(shù)學教授，在該校長病10年之后逝世．他曾于1949年和1953年兩度獲得科舒特獎金．他還是法國科學院的通訊院士和許多科學協(xié)會的會員．
里斯是D．希爾伯特(Hilbert)對積分方程所作工作的直接繼承者之一，也是泛函分析的創(chuàng)始人之一．他對泛函分析的早期工作正是想為積分方程提供一種抽象的理論．他對泛函分析的重大貢獻比較集中在Lp空間，即p方勒貝格可積函數(shù)空間．他為巴拿赫空間提供了廣闊的研究領域，還將泛函分析應用于遍歷理論．希爾伯特曾討論形如
的積分方程，其中f和k連續(xù)．1907年，里斯在“關于正交函數(shù)系”(Sur les systèmes orthogonaux de fonctions)一文中引進了平方是勒貝格可積的函數(shù)，并想把上述方程中f連續(xù)的條件放寬為f平方可積．他得出如下定理：設｛φi(x)｝為[a，b]上勒貝格可積且平方可積的正交函數(shù)集，
這里，函數(shù)f實際上也是勒貝格平方可積的；而且在｛φi｝完備的情況下，只要視幾乎處處相等的兩函數(shù)為同一，這樣的f還是唯一的．由于此定理在同一年中還被科倫大學的E．菲舍爾(Fischer)獲得，故常被稱為里斯-菲舍爾定理．它作為帕斯瓦爾(Parseval)定理之逆，立即引起了數(shù)學家們的廣泛興趣．定理蘊含ai(i=1，2， 3，…)為f的以φi為項的傅里葉(Fourier)展開式的系數(shù)．它通過一平方可積的完備標準正交函數(shù)列｛φi｝ L2建立了L2及l(fā)2間的一一對應．即若f∈L2，則f關于｛φi｝的展開式的傅里葉系數(shù)列是l2的一個元｛ai｝；反之，對任一｛ai｝∈l2，存在唯一的函數(shù)(允許差一個積分為零的函數(shù))f∈L2｛ai｝為它關于｛φi｝的傅里葉系數(shù)列，也即滿足(2)．在里斯1907年的論文中還提出了所謂“矩量問題”，即｛φi｝ L2及｛ai｝∈l2給定后如何確定f的問題．里斯又證明，只要f平方勒貝格可積，則積分方程(1)可解，而且除了一個勒貝格積分為零的函數(shù)外，解是唯一的．
1910年，里斯在《數(shù)學年鑒》(Mathematische Annalen)中撰文“關于可積函數(shù)系的研究”(Untersuchungen über systeme inte- grierbarer Fnnktionen)，推廣矩量問題．由于推廣過程中他用到了一些不等式，如有名的赫爾德(H lder)不等式
定理是：若函數(shù)h(x)與Lp中任一函數(shù)f(x)之積f(x)·h(x)都勒貝格可積，則h(x)屬于Lp；反之，Lp中任一函數(shù)與Lp中任一 還引入了函數(shù)序列｛fn ｝Lp強收斂和弱收斂的概念．
里斯在泛函分析中最有名的結果是大家熟知的里斯表示定理．
1907年，M．R．弗雷歇(Fréchet)推廣J．阿達瑪(Had-amard)的一個結果，證明(用后來普遍采用的記號如L2，Lp等)：對于定義在L2上的每一個連續(xù)線性泛函U，存在L2中唯一的一個u(x)使得對L2中的每個f都有
1909年里斯推廣了這個結果[3]，用斯蒂爾杰斯(Stieltjes)積分表示U(f)，即
并把結果推廣到滿足下述條件的線性泛函A：
其中M只依賴于A，即對Lp上滿足上述條件的線性泛函A，必存在Lp中一個函數(shù)a(x)(在允許相差一個積分為零的函數(shù)的意義下還是唯一的)，使對Lp中所有的f有
這就是里斯表示定理(Riesz representation theorem)．對C[0，1]上的線性連續(xù)泛函的里斯表示定理是：對C[0，1]上的任一線性連續(xù)泛函A，必有[0，1]上有界變差函數(shù)a(x)使
里斯對泛函分析的另一重大貢獻是引入抽象的算子概念．他在1910年的論文中，把積分方程
的理論推廣到已知的f和未知的φ都屬于Lp的情形，并把表達式
設想為作用在φ(t)上的變換．他稱之為泛函變換，記為T(φ(t))．變換或算子可以把函數(shù)從一個空間變到同一空間或另一空間．他考慮了從空間Lp到自身的算子的線性和有界性．若存在常數(shù)M使Lp中所有滿足
的函數(shù)f都有
就說算子T是有界的．后來這種M的最小上界就稱為T的范數(shù)(norm)，記為||T||．利用范數(shù)作為研究抽象空間的另一種方法也是里斯開始的，后來為S．巴拿赫(Banach)等所發(fā)展．
里斯還引進了伴隨算子及逆算子的概念，考慮過伴隨算子的逆算子，還借助于伴隨算子證明逆算子的存在性．
為了處理積分方程的特征值問題，里斯對抽象算子引入了希爾伯特的全連續(xù)概念，還研究了算子的特征值和譜．
里斯的大量工作都用到勒貝格積分．早在1920年他便用“構造的方式”從簡單函數(shù)(實際上是階梯函數(shù))到一般的函數(shù)類重述了勒貝格積分，除用到零測集概念外不依賴于一般的測度理論．他還重新證明了一些勒貝格理論的基本定理．
里斯繼續(xù)希爾伯特的工作，進一步研究積分方程與無窮矩陣的緊密相關性．在1913年發(fā)表的“含無窮個未知數(shù)的線性方程組”(Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues)一文中，里斯不僅將結果系統(tǒng)化成后來人們熟知的一般理論，而且將之應用于雙線性、二次型、三角級數(shù)及某些微分與積分方程類．
里斯還開創(chuàng)了次調和函數(shù)理論的研究．他對此建立的一套系統(tǒng)理論中包括了在函數(shù)論和位勢論中的應用．里斯對半序向量空間理論的研究也十分引人注目．他的一些早期工作還涉及射影幾何、點集拓撲(如連續(xù)性定義及序型的分類)、復變函數(shù)與逼近論．
里斯同時也是著名的教育家，他培養(yǎng)了許多優(yōu)秀的數(shù)學家．1952年他與他的學生B．S．納吉(Nagy)合編的《泛函分析講義》[6]法文版問世．這是一部很有特色的泛函分析入門書，先后被譯成英文、德文，中譯本分兩卷分別于1963年、1980年出版．
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