列維-齊維塔
周冬梅
(遼寧師范大學(xué))
列維-齊維塔，T．(Levi-Civita，Tullio)1873年3月29日生于意大利帕多瓦；1941年12月20日卒于羅馬．張量分析、數(shù)學(xué)物理學(xué)．
列維-齊維塔的父親賈科馬·列維-齊維塔(Giacomo Levi-Civita)是一名律師，1908年起任參議員．列維-齊維塔在帕多瓦的中學(xué)是一名很出色的學(xué)生．1890年進(jìn)入帕多瓦大學(xué)數(shù)學(xué)院學(xué)習(xí)，師從C．G．里奇(Ricci)．后來(lái)，他們合作創(chuàng)立了絕對(duì)微分學(xué)．1894年他從該校畢業(yè)，次年任帕維亞科學(xué)院附屬師范學(xué)院助教．1897—1918年在帕多瓦大學(xué)教授理論力學(xué)，1898年任該校講師，1902年任該校教授．這一時(shí)期是他取得科學(xué)成就的主要時(shí)期．1914年在該地與T．利貝拉(Libera)結(jié)婚．1918年受聘為羅馬大學(xué)高等分析教授，兩年后又受聘為該校理論力學(xué)教授，直到1938年因法西斯種族主義政策而被迫離職，三年后卒于羅馬．
列維-齊維塔的科學(xué)興趣很廣泛，研究領(lǐng)域涉及張量分析、分析力學(xué)、天體力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)和原子物理學(xué)．
數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)
列維-齊維塔在里奇研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)張量分析作了重要擴(kuò)展．
絕對(duì)微分學(xué)(現(xiàn)叫張量分析)源出黎曼幾何學(xué)，這一學(xué)科的創(chuàng)立應(yīng)歸功于里奇．他在G．F．B．黎曼(Riemann)、E．貝爾特拉米(Beltrami)、E．B．克里斯托費(fèi)爾(Christoffel)、R．O．S．利普希茨(Lipschitz)等人開(kāi)創(chuàng)微分不變量研究的基礎(chǔ)上，在1887—1896年的10年間發(fā)展了張量分析方法，創(chuàng)建了絕對(duì)微分學(xué)理論．里奇在1892年的一篇文章中對(duì)他的方法第一次作了系統(tǒng)論述，并用它來(lái)解決微分幾何和數(shù)學(xué)物理學(xué)中的一些問(wèn)題．后來(lái)里奇和他的學(xué)生列維-齊維塔等人又給出了這一方法的其他更有趣的應(yīng)用．列維-齊維塔早期的代表作“動(dòng)力方程變換”(Sulletrasformazioni delle equazioni dinamiche，1896)就是論述絕對(duì)微分法應(yīng)用的．為詳述絕對(duì)微分學(xué)的系統(tǒng)理論，1901年，兩人合寫了“絕對(duì)微分法及其應(yīng)用”(Méthodes de calcul différentielabsolus et leurs applications)，發(fā)表在《數(shù)學(xué)年鑒》(Mathemati-sche Annalen)上，成為張量分析的經(jīng)典著作，為張量分析和拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展開(kāi)辟了道路．它不僅給出了這一算法的綜合論述，而且還用這一獨(dú)特算法給出在歐氏和非歐氏空間特別是黎曼彎曲空間下的幾何性質(zhì)和物理規(guī)律的表示．這一文章雖然大部分篇幅致力于建立張量分析技術(shù)，但是他們主要關(guān)心的是發(fā)現(xiàn)微分不變量．在文章結(jié)尾，指出了如何把某些偏微分方程及物理規(guī)律表示成張量的形式，以便使它們與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)．由于張量分析研究共變的關(guān)系，即從一個(gè)坐標(biāo)系變到另一個(gè)坐標(biāo)系后仍然保持不變的關(guān)系，這一性質(zhì)在相對(duì)論中有重要意義．在相對(duì)論中觀測(cè)者的坐標(biāo)系各不相同，而客觀的物理規(guī)律對(duì)每一觀測(cè)者都成立，這一特征使絕對(duì)微分學(xué)成為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的有效的數(shù)學(xué)工具．
從1901—1905年，張量分析的研究只限于極少數(shù)的數(shù)學(xué)家．1916年A．愛(ài)因斯坦(Einstein)發(fā)表了“廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)”(Die Grundlage der allgemeinen Relativit tstheorie)一文，成功地運(yùn)用這一理論表述他的廣義相對(duì)論，論文幾乎用一半篇幅解說(shuō)這種絕對(duì)微分學(xué)．“張量分析”這一名稱就是他首先開(kāi)始使用的．愛(ài)因斯坦的工作使張量分析和黎曼幾何引起世人的注意，促進(jìn)了它們的發(fā)展．
1917年，列維-齊維塔發(fā)表了論文“關(guān)于黎曼幾何學(xué)里的平行性概念”(Nozione di parallelismo in una varietà qualunque econsequente specificazione geometrica della curvature Rieman-niana，Rend．Palermo)．這是相對(duì)論之后張量分析中的第一個(gè)革新，這篇論文給當(dāng)時(shí)主要作為分析理論研究的黎曼幾何學(xué)恢復(fù)了幾何學(xué)面目，并使黎曼空間具有明顯的幾何意義而易于理解．在文章中，他改進(jìn)了里奇的一個(gè)想法，引進(jìn)現(xiàn)在仍以他的名字命名的向量的平行位移(parallel displacement)或平行轉(zhuǎn)移(paralleltransfer)的概念．這一概念說(shuō)明了黎曼空間中平行向量的涵義．
在黎曼空間中，平行性定義如下：當(dāng)空間中的一個(gè)向量在其起點(diǎn)沿一條測(cè)地線作平行于它自身的移動(dòng)時(shí)，該向量同測(cè)地線(測(cè)地線的切線)必須仍然交成相同的角．特別地，測(cè)地線的一條切線沿這測(cè)地線移動(dòng)時(shí)保持同它自己平行．這就是所謂的列維-齊維塔平行性．
用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可將上述思想敘述如下：
在歐氏空間中取一斜交軸，將點(diǎn)(xk)處的向量vk平移到鄰近點(diǎn)(xk＋dxk)處，這一事實(shí)可用vk的分量不變即
dvk=0
表達(dá)．但是在黎曼空間里，向量的平移就不能用上式定義．因?yàn)関k是向量的分量時(shí)，dvk未必是向量的分量．故上面方程不是張量(向量)方程，不能具備與坐標(biāo)軸的選法無(wú)關(guān)的幾何意義．為彌補(bǔ)這種缺陷，不用普通微分而用共變微分δvk，當(dāng)
時(shí)，我們說(shuō)向量vk從點(diǎn)(xk)平移到點(diǎn)(xk＋dxk)．這就是列維-齊維塔平行性．
平行位移的概念被引進(jìn)后，立即獲得許多應(yīng)用．它可以用來(lái)描述一個(gè)空間的曲率，特別是用無(wú)窮小向量以無(wú)窮小步長(zhǎng)作平行位移所帶來(lái)的變化來(lái)描述．即使在歐幾里得空間中，平行性也是曲率概念的基礎(chǔ)，因?yàn)橐粋€(gè)無(wú)窮小弧的曲率依賴于走遍這弧的切向量的方向的變化．在相對(duì)論中它是電磁場(chǎng)和引力場(chǎng)的統(tǒng)一表示的基礎(chǔ)，在純粹數(shù)學(xué)中，這一概念對(duì)拓?fù)渲袕V義空間的近代微分理論的發(fā)展也有作用．
列維-齊維塔的這種思想對(duì)黎曼幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了非常大的影響．
首先，平行這個(gè)概念不是度量幾何學(xué)的概念，而是仿射幾何學(xué)的概念，由此從列維-齊維塔平行性概念得到啟發(fā)，在黎曼空間中將度量概念完全去掉，考慮只留下平行性概念的空間并開(kāi)展理論探討，先后產(chǎn)生了由C．H．H．外爾(Weyl)引進(jìn)的仿射聯(lián)絡(luò)幾何學(xué)和由普林斯頓學(xué)派引進(jìn)的道路幾何學(xué)．外爾在1918年的名著《時(shí)間，空間，物質(zhì)》(Raum，Zeit，Materie)中對(duì)黎曼流形中列維-齊維塔平行移動(dòng)作了推廣并引進(jìn)仿射聯(lián)絡(luò)的概念．
1923年，列維-齊維塔完成著作《絕對(duì)微分學(xué)》(The absolutedifferential calculus)，這本書吸收了當(dāng)時(shí)一些人的成果，對(duì)1901年與里奇合寫的文章進(jìn)行改善和補(bǔ)充，并增加了平行性理論和相對(duì)論的內(nèi)容．
其他貢獻(xiàn)
列維-齊維塔在運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的穩(wěn)定性研究中，利用一階微分方法的周期解，把研究穩(wěn)定性或非穩(wěn)定性歸結(jié)為定點(diǎn)變換．他認(rèn)為，在近似穩(wěn)定性中，周期解是不穩(wěn)定的．他在分析力學(xué)上的另一貢獻(xiàn)是提出穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的一般理論——在穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)物體總是以相等的速度經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．他在此基礎(chǔ)上研究了穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的各種情況．
在流體動(dòng)力學(xué)方面，他從1906年起撰文論述了液體對(duì)浸入其中的固體的平移運(yùn)動(dòng)的阻力問(wèn)題．考慮到固體通過(guò)后的液體所形成的形狀，他利用對(duì)固體經(jīng)過(guò)的無(wú)旋流方程的通積分解決了這一問(wèn)題．1925年他又寫了一篇關(guān)于管道波的一般理論的文章．
1903—1916年間的一些論文中，他對(duì)天體力學(xué)中三體運(yùn)動(dòng)的確定做出了貢獻(xiàn)．1914—1916年，他成功地排除了現(xiàn)在、過(guò)去、將來(lái)三體碰撞的可能性．他的理論提供了解決經(jīng)典問(wèn)題的精確方法——間接法和超越動(dòng)力方程．不過(guò)，F(xiàn)．宗德曼(Sundmann)在1912年已經(jīng)得到類似結(jié)果．
另外，列維-齊維塔對(duì)相對(duì)論的研究導(dǎo)致他解決了一些原子物理學(xué)提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題．
總之，列維-齊維塔被認(rèn)為是20世紀(jì)主要數(shù)學(xué)家之一，在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域上幾乎都有貢獻(xiàn)，論著近200篇，其中《經(jīng)典力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)問(wèn)題》(Questioni di meccanica classicae relativistica，1924)、《絕對(duì)微分學(xué)講義》(Lezioni di calcolodifferenziale assoluto，1925)已成為標(biāo)準(zhǔn)著作，而《理論力學(xué)講義》[Lezioni di meccanica razionale，1926—1927，[與U．阿馬爾迪(Amaldi)合著]則被公認(rèn)為經(jīng)典著作．
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