羅素
王順義
(華東師范大學)
羅素，B．(Russell，Bertrand)1872年5月18日生于英格蘭蒙茅斯郡的特雷勒克；1970年2月2日卒于威爾士的彭林代德賴思附近的帕萊斯彭林．數(shù)理邏輯、數(shù)學基礎、哲學．
羅素出身于一個貴族的家庭．祖父約翰·羅素(John Russell)伯爵是一個著名的自由黨政治家，他于1832年提出第一個議會選舉法修正案，并兩次出任英國政府首相．羅素2歲時母親去世，3歲時父親也去世．于是羅素和他的哥哥便與祖父祖母生活在一起，由他們照管．羅素6歲時，祖父去世．祖母活到了1898年，她對羅素在童年和青少年時期的發(fā)展有過決定性的影響．祖母出身于一個貴族的虔誠教徒的家庭，具有非常強烈的道德信念和宗教信仰，在政治上較為激進．她曾用一條緘言告誡羅素：“你不應該追隨眾人去作壞事”，羅素一生都努力遵循這條準則．羅素少年時未被送到學校去學習，而只是在家里接受保姆和家庭教師的教育．他的童年和少年時代是孤獨的．由于他的一個叔叔的影響，他從小就對科學產(chǎn)生了興趣．在哥哥的幫助下，他11歲時就掌握了歐幾里得幾何學，這是他智慧發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折．
1890年10月，羅素考入劍橋大學，在三一學院學習數(shù)學和哲學．在此期間，他結(jié)識了當時劍橋大學數(shù)學講師A．N．懷特海(Whitehead)、哲學家G．E．穆爾(Moore)和E．麥克塔格特(McTaggart)以及其他一些歷史學家、經(jīng)濟學家、詩人和散文家．從1895年至1901年他任三一學院研究員．在此期間，羅素撰寫了《論幾何學的基礎》(An essay on the foundations of geometry，1897)一書．這本書的主題是用I．康德(Kant)關(guān)于數(shù)學是先驗綜合判斷的思想來檢查幾何學的發(fā)展和現(xiàn)狀，他用稍加修改的康德的觀點來評價非歐幾何學的產(chǎn)生．但后來羅素對這本書的評價甚低．羅素最初在哲學上受G．W．F．黑格爾(Hegel)哲學的影響較大，1898年在G．E．摩爾的勸說下拋棄了黑格爾的哲學觀點，參加了反叛絕對唯心主義哲學的運動，從此轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)驗主義者、實證主義者和物理主義者．羅素說過，在這個時期，“就哲學的基本問題而言，在所有的主要方面，我的立場都來自G．E．穆爾先生．……在數(shù)學上，我主要受惠于G．康托爾(Cantor)和 G·皮亞諾(Peano)教授．”(《數(shù)學的原理》(The principles of mathema-tics，1903)p．xviii．)從1900年至1914年，羅素主要從事數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎的研究，他在這個領(lǐng)域中最重要的工作都是在這個時期完成的．從1910年至1916年羅素任三一學院哲學講師．從20年代至40年代，羅素主要從事哲學方面的研究和講學．羅素用“邏輯原子主義”來稱呼他的哲學．他的主要哲學著作有《神秘主義和邏輯》(Mysticism and logic，1918)，《心的分析》(Theanalysis of mind，1921)，《物的分析》(The analysis of matter，1927)，《意義和真理研究》(An inquiry into meaning and tru-th，1940)，《人類知識：它的范圍和限度》(Human knowledgeits scope and limits，1948)，等等．從1916年至30年代后期，羅素沒有任何學術(shù)職務，他以寫作和公開演講為生．1920年至1921年，他曾訪問過蘇聯(lián)和中國，他在中國講學近一年，給我國哲學界以很大的影響．1938年，羅素遷往美國，先后在芝加哥大學、加州大學任教．1941年至1943年他在費城講學．1944年他返回劍橋，重任三一學院研究員直到去世．50年代后，羅素從哲學轉(zhuǎn)向國際政治，他反對核戰(zhàn)爭、主張核裁軍．1955年，他動員了許多著名科學家包括A．愛因斯坦(Einstein)在內(nèi)簽署了一個為爭取世界和平而合作的宣言．1964年他建立了羅素和平基金會，抨擊美國政府的侵略政策．1967年后他與存在主義者J-P．薩特(Sar-tre)建立了一個國際戰(zhàn)犯審判法庭，并傳訊美國總統(tǒng)L．約翰遜(Johnson)．由于羅素積極從事政治活動，他晚年享有世界范圍的名望．羅素一生中曾三次競選下院議員，但都沒有成功．他曾兩次被捕入獄，其原因是因為他申張民主和參加核裁軍運動．
羅素于1908年當選為英國皇家學會會員．1949年他成為英國科學院的榮譽院士，同年還被授予功勛獎章．他曾兩度擔任亞里士多德學會的會長，并擔任過理性主義者新聞協(xié)會會長多年．1950年他獲得諾貝爾文學獎．諾貝爾獎金委員會在授予他獎金時稱他為“當代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無畏斗士”．
羅素一生曾四次結(jié)婚，有三個孩子．1931年，由于他哥哥去世，他成為羅素伯爵三世．
19世紀下半葉，數(shù)學家對微積分的理論基礎進行了嚴格處理．K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)用“ε-δ”方法重新表述了A．柯西(Cauchy)的極限論，把微積分理論建立在實數(shù)理論的基礎上；接著，R．戴德金(Dedekind)和康托爾分別從有理數(shù)出發(fā)定義了實數(shù)；之后，魏爾斯特拉斯和皮亞諾從自然數(shù)出發(fā)定義了有理數(shù)，并且皮亞諾還從不經(jīng)定義的“集合”、“自然數(shù)”、“后繼者”等概念出發(fā)，用公理化的方法塑述了自然數(shù)理論；最后康托爾建立了無窮集合的理論．康托爾的這項工作起源于對三角級數(shù)和數(shù)學基礎問題的研究，他先提出了點集理論，進而又提出了一般無窮集合論．與此同時，數(shù)理邏輯通過G．布爾(Boole)、E．施羅德(Sch-r der)、皮亞諾和G．弗雷格(Frege)等人的工作得到了長足的進步．但是除了少數(shù)人如弗雷格和皮亞諾外，許多數(shù)學家忽視邏輯的作用，看不到數(shù)理邏輯對數(shù)學基礎研究的重要性．1900年7月，羅素到巴黎參加國際哲學會議時遇到了皮亞諾，這件事對羅素的學術(shù)生涯來說是一個重大的轉(zhuǎn)折點．通過聆聽皮亞諾的講話，羅素才意識到數(shù)理邏輯對于數(shù)學基礎研究的重要性．于是羅素向他請教并表示希望拜讀他的著作，在讀完皮亞諾的有關(guān)著作后，羅素很快地掌握了皮亞諾的符號邏輯和思想，在此基礎上他開始了數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎的研究工作，其主要成果是《數(shù)學的原理》一書．該書的大部分寫于1900年下半年，全書于1903年出版．從此之后到1914年，羅素與懷特海合作進行這方面的研究，他撰寫了30余篇有關(guān)論文，1910年至1913年他與懷特海合著的三卷本巨著《數(shù)學原理》(Principla mathematica)陸續(xù)出版．1919年，他又出版了該著作的通俗讀本《數(shù)理哲學導論》(Introduction tomathematical philosophy)．在數(shù)學基礎和數(shù)理邏輯方面，羅素的主要成就有兩個方面，一是他通過建立邏輯類型論來消除邏輯悖論；二是他從一個較為簡單的邏輯系統(tǒng)出發(fā)加之少量非邏輯公理推導出經(jīng)典數(shù)學．
羅素發(fā)現(xiàn)著名的羅素集合論悖論是在1901年．開始他似乎覺得“所有類這個類是一個類”，后來由于受到康托爾證明沒有最大的基數(shù)方法的啟發(fā)，“使我考慮不是自己的項的那些類．好像這些類一定成一類．我問自己，這一個類是不是它自己的一項．如果它是自己的一項，它一定具有這個類的分明的特性，這個特性就不是這個類的一項．如果這個類不是它自己的一項，它就一定不具有這個類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項．這樣說來，二者之中無論哪一個，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾”．[《我的哲學的發(fā)展》，(My philosophical development，1959)，第66—67頁]一年以后，羅素將上述結(jié)果寫信告訴了弗雷格．弗雷格回答說，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)使他驚愕之極，由于這個悖論，他的《算術(shù)原理》(Grundgesetze der Arithmetik，vol．Ⅰ，1893，vol．Ⅱ，1903)中的第五公理便是錯的，必須給予剔除，于是他認為算術(shù)的基礎發(fā)生了動搖．
為了消除悖論，羅素首先在《數(shù)學的原理》的附錄B中提出了類型論．這個理論以兩條公設為基礎：(1)每一個命題函項φx除了有其真值域外，都有一個意義域．只要φx是一個命題，無論是真還是假，x必須在這個意義域內(nèi)取值．(2)命題函項的意義域構(gòu)成類型，即如果x屬于φx的意義域，則存在一個對象的類，即x的類型，其中所有的對象也應屬于φx的意義域，當然φ可以是各種各樣的．在此基礎上羅素討論了類的類型．就類而言，在最底層的對象是個體，它沒有域，它是最低的類型的對象；接下去依次可以構(gòu)成對象是個體類的類型，對象是個體類的類的類型，如此等等．因為類只能由同一類型的對象組成，類相對于其成員是高一級的類型的對象，這樣“自己屬于自己”或“自己不屬于自己”的命題本身是無意義的，于是便避免了羅素悖論的產(chǎn)生．羅素的這種類型論本質(zhì)上屬于簡單類型論，在用它來處理數(shù)、命題或語義學悖論時卻有困難．
為了進一步尋找解決悖論的方法，1906年羅素在論文“關(guān)于超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難”(On some difficulties inthe theory of transfinite numbers and order types)中又提出了另外三種理論，即曲折論、限量論和無類論．曲折論是羅素在研究康托爾最大基數(shù)悖論后提出的，他認為對命題函項的復雜性應加以限制，只有非常簡單的命題函項才能決定類，而其他復雜的、費解的命題函項則不能．這樣就可以避免構(gòu)成一個可以導致悖論的太大的類．羅素的這個思想后來在W．V．奎因(Quine)1937年的有關(guān)數(shù)理邏輯的工作中得到發(fā)展．限量論是羅素在研究布拉里-福爾蒂(Burali-Forti)悖論后提出的，它的主要論點是否認全類和不加限制的某些概念的存在性，從而避免過大的類．在無類論中，羅素在摹狀詞理論的基礎上主張取消類作為實體存在的資格，而只把類看作是一種邏輯的虛構(gòu)、一種說話的方便而已和一種“不完全的符號”．后來他又把類等同于命題函項．
1906年H．龐加萊(Poincaré)研究了里夏爾(Richard)悖論之后提出，悖論的根源在于非直謂定義．如果x是類A的一個成員，但定義x時又需要依賴于A，則這種定義稱為非直謂的．顯然這種定義具有循環(huán)定義即“反身自指”的特征．羅素吸取了龐加萊的這個思想，提出了避免悖論的“惡性循環(huán)原則”，認為：凡包含一個集體的總體的對象，它不應再是集體的一個成員；反之，假如一個集體有一個總體，該集體又含有只能由它的總體來定義的成員，則該集體沒有總體．遵循這條原則便可以避免“反身自指”的不合邏輯的總體的產(chǎn)生，而這種不合法總體正是導致悖論的基礎．在無類論和惡性循環(huán)原則的基礎上，羅素于1908年在論文“以類型論為基礎的數(shù)理邏輯”(Mathematical logic as based on thetheory of types)中進一步提出了分支類型論的理論．這個理論后來在《數(shù)學原理》的第I卷中也有詳細的論述．
在分支類型論中，羅素從命題函項出發(fā)，對其進行分層處理，將其分屬不同的“階”．處于底層的是個體，它們既非命題又非命題函項；比它高一層次的是一階命題函項，它們僅以前面層次中的個體為變元(自變元或約束變元)而構(gòu)成；更高一層次的是二階命題函項，它以一階函項為變元；以此類推，我們可以得到一個不同階次的命題函項的系列．一般來說，如果一個命題函項 x(其中x可以是個體，也可以是具有各種階的命題函項)中變元x的最高階是n，則這個命題函項 x本身便是第n＋1階．每一個命題函項都有一個確定的階，因而諸命題函項的階與階之間是不容混淆的．如果有一類命題函項 x是n階的，那么涉及到這類命題函項的總體的命題函項f( x)就不再是n階的，而是第n＋1階的了，因此我們就應將它們區(qū)別開來，不能把后者再看作是這個總體中的一個成員，否則就會產(chǎn)生悖論．堅持這種區(qū)別，也就是堅持了“惡性循環(huán)原則”．根據(jù)階的理論，他定義了命題函項的直謂和非直謂的性質(zhì)．對只含一個變元的命題函項，如果函項 x的階比它的變元x的階僅高1階時，則該命題函項是直謂的記為 ！x，否則便是非直謂的；對含有多個變元的命題函項，如果函項 (x，y)的階比其變元x或y中的最高階僅高1時，則稱命題函項是直謂的記為 ！(x，y)，否則便是非直謂的．顯然包含悖論的命題函項都是非直謂的．堅持惡性循環(huán)原則，也就是要拒斥非直謂的命題函項．類似地，羅素對命題也進行了分層處理，將其分成不同的階，而且進一步將命題的真值也分屬不同的階．這樣，運用邏輯類型論，我們便可以消除各種邏輯悖論和揭示“撒謊者悖論”等語義學悖論錯誤所在．
在數(shù)學基礎研究方面，羅素繼弗雷格之后奉行邏輯主義的研究綱領(lǐng)，其核心思想是認為可以將數(shù)學還原為邏輯學，從而奠定數(shù)學的牢固基礎．他曾將純數(shù)學定義為是由所有“p蘊涵q”這種形式的命題所構(gòu)成的一個類，其中p，q的相同點在于它們都是包含一個或多個變元的命題，并且無論p還是q都不包含任何非邏輯的常項．羅素想通過自己的工作表明：數(shù)學概念可以通過顯定義從邏輯概念推導出來，而數(shù)學定理也可以通過純粹的邏輯演繹法從邏輯公理推導出來．因此在他看來，在數(shù)學與邏輯之間完全劃不出一條界限來，它們二者實際上是一門學科，它們的不同就象兒童與成人的不同，邏輯是數(shù)學的少年時代，數(shù)學是邏輯的成人時代．
羅素試圖推演出經(jīng)典數(shù)學的邏輯系統(tǒng)是由如下概念和公理組成的：
(1)基本概念：語句p的否定“非p”(～p)；兩個語句的析取“p或者q”(p∨q)；合取“p并且q”(p·q)；蘊涵，“如 ()，如(x)φx(讀作：對于每一個x，x具有性質(zhì)φ)；存在量詞
定義為～(x)～φx，因此上述基本概念并不都是初始的．(《數(shù)學原理》，第I卷，第1章．)
(2)命題演算的公理：(在表述上與原稿略有不同)
1．1 如果p，p q，則q
1．2 (p∨p) p
1．3 q (p∨q)
1．4 (p∨q) (q∨p)
1．5 (p∨(q∨r)) (q∨(p∨r))
1．6 (q r) ((p∨q) (p∨r))(《數(shù)學原理》第I卷，第94—97頁)
(3)謂詞演算的公理
10．1 (x)Fx Fy
10．11 如果Fy，則( x)Fx
10．12 (x)(p∨Fx) (p∨(x)Fx)(《數(shù)學原理》，第I卷，第139—140頁)
早在弗雷格之前，數(shù)學家已經(jīng)證明，所有傳統(tǒng)的純數(shù)學都可以看作是有關(guān)自然數(shù)的命題所組成，即其中的概念可以用自然數(shù)來定義，其中的命題可以從自然數(shù)的性質(zhì)推導得出．而自然數(shù)的理論又由皮亞諾歸約為數(shù)量極少的概念(如0，數(shù)和后繼)和五個基本命題(即公理)組成，它們是：(1)0是一個數(shù)；(2)任何數(shù)的后繼是一個數(shù)；(3)沒有兩個數(shù)有相同的后繼；(4)0不是任何數(shù)的后繼；(5)任何性質(zhì)，如果0有此性質(zhì)，又如果任一數(shù)有此性質(zhì)，它的后繼必定也有此性質(zhì)，那么所有的數(shù)都有此性質(zhì)．羅素在此基礎上要做的工作是要將皮亞諾的三個基本概念和五條基本命題歸約為上述的邏輯概念和公理．在從邏輯概念推出自然數(shù)的概念方面，雖然弗雷格已經(jīng)找到解決這一問題的辦法，但是羅素和懷特海也獨立地獲得相同的結(jié)果．羅素解決問題的關(guān)鍵在于正確認識自然數(shù)的邏輯地位，它們不屬于事物而屬于概念的邏輯屬性．他從類和關(guān)系的概念出發(fā)，定義了類的相似，接著又定義了：一個類的數(shù)是所有相似的類的類，而所謂數(shù)則是某一個類的數(shù)．例如，0是以空類為唯一成員的類，而2則是所有對偶的類，記為(《數(shù)學原理》，第I卷，第359頁)
2= {( x，y)·x≠y·α=l'x∪l'y}，
其中一些新的符號都可以從基本邏輯概念推出．至于“后繼”則定義為：類α所有項數(shù)的后繼就是α與任何不屬于α的項x一起所構(gòu)成的類的項數(shù)．在此基礎上“自然數(shù)”就可以定義為是對于“直接前趨”這一關(guān)系(“后繼”的逆關(guān)系)而言的0的“后代”．至于皮亞諾的五條基本命題，第(1)，(2)，(4)，(5)都可以從上述0，數(shù)，后繼和自然數(shù)概念中推出．但是在證明第(3)條時卻遇到了一點困難，如果宇宙中個體的總數(shù)不是有窮的，這個困難就不致于發(fā)生．因此為了不使第(3)公理失效，便需要斷定無窮集合的存在．于是羅素不得不追加一條“無窮公理”，即“若n是任一歸納基數(shù)，則至少有一個類有n個個體”．由于n是任意的，可知無窮集合必然存在，于是困難才得以解決．另外，羅素在定義因子數(shù)可能是無窮的自然數(shù)乘法時發(fā)現(xiàn)，以往對兩個因數(shù)相乘的定義是以假定其中每一個因數(shù)的數(shù)目是有限為先決條件的，如果要將這種情況擴展到無限時必然要以如下的命題奠基，即“給定一個類的類，若這類的分子互相排斥，那么必定至少有一個類，這個類是由那些給定類中的每一個的一個項所組成”．但對這個命題人們既不能證明又不能否證．為了克服困難，羅素把這個命題作為公理引進到他的系統(tǒng)中去，這就是所謂的“乘法公理”(或稱“選擇公理)”．羅素引入乘法公理還有其他原因，譬如，他發(fā)現(xiàn)在證明“每一個非歸納的基數(shù)必是一個自反數(shù)”的命題時，也需要以乘法公理為出發(fā)點；再者，他看到乘法公理有許多與之等價的重要命題，如策梅羅(Zermelo)良序定理等等，如果乘法公理真，則這些重要命題自然亦真．由于引進乘法公理，皮亞諾算術(shù)理論便可從他的系統(tǒng)中推演出來．
為了進一步推演出經(jīng)典數(shù)學較高等的部分，羅素在自然數(shù)的基礎上定義了正數(shù)、負數(shù)、分數(shù)、實數(shù)和復數(shù)的概念，這種定義不是用通常增加自然數(shù)的定義域的方法來完成的，而是通過構(gòu)造一種全新的定義域來實現(xiàn)的．他把“＋m”定義為歸納數(shù)n＋m對于n的關(guān)系，“-m”是n對于n＋m的關(guān)系；把分數(shù)“m／n”定義為，當xn=ym時，二歸納數(shù)x，y之間的一個關(guān)系；把一個“實數(shù)”定義為是以大小為序的分數(shù)序列中之一節(jié)，其中把一個“有理實數(shù)”定義為以大小為序的分數(shù)序列中有邊界的一節(jié)，把一個“無理實數(shù)”定義為以大小為序的分數(shù)序列中無邊 是構(gòu)造性的，而不是假定性的．這種構(gòu)造是通過顯定義產(chǎn)生一些具有實數(shù)通常的性質(zhì)而完成的．當然這與直覺主義者那種通過“實數(shù)發(fā)生器”將實數(shù)一個個“創(chuàng)造出來”的構(gòu)造方式是不同的．羅素還用類似的方法引進了其余的數(shù)學概念，如分析學中的收斂、極限、連續(xù)性、微分、微商和積分等概念，以及集合論中的超限基數(shù)、序數(shù)等概念．這種邏輯構(gòu)造方法構(gòu)成了邏輯主義的本質(zhì)部分．
但是羅素在用分支類型論來處理實數(shù)理論時又遇到一些難以克服的困難．根據(jù)定義，一個“實數(shù)”是一個有理數(shù)的集合，因此一個“實數(shù)集合”就是一個有理數(shù)集合的集合．所以，根據(jù)分支類型論，在數(shù)學中就不能無限制地像以往那樣使用“對于一切實數(shù)”的短語，因為它涉及到“一切集合的集合”的提法，而這種提法是非直謂的．因此，根據(jù)分支類型論，人們不能無限制地論及所有實數(shù)，而只能論及具有確定階的實數(shù)．如對屬于一階命題的那些實數(shù)，在論及它們時不能出現(xiàn)“對于所有實數(shù)”這種形式的短語；對于屬于二階命題函項的那些實數(shù)，在論及它們時僅能使用“一階的所有實數(shù)”的短語，等等．如果遵循這種規(guī)定，則以往實數(shù)理論中的許多重要定義和定理都將失效．為了克服這種困難，羅素引進了“可化歸公理”：“有一個a函項的類型(譬如說τ)，使得給定任何a函項，有屬于所說類型的某個函項與它形式等價”．它斷言，任何階的每一個函項都對應一個在形式上等價于它的直謂函項．接受這條公理，上述困難便可克服，因為依據(jù)它我們可以說，雖然我們論及實數(shù)的命題函項確實有不同的階，但對每一個論及一個實數(shù)的高階命題函項都有一個相應的論及同樣實數(shù)的直謂函項，這一函項為同樣的有理數(shù)所滿足而不為其他有理數(shù)所滿足，這樣我們論及的仍都是直謂函項從而使許多定義和定理仍然有效．羅素認為，可化歸公理與無窮公理和選擇公理一樣，它對于推演某些數(shù)學結(jié)論來說是必需的，但我們無法假定它確實是真，可是我們又不能說有無方法完全廢除這條公理．羅素的學生F．P．拉姆齊(Ramsey)于1926年沿著這個方向作了一些嘗試．
這樣，羅素實際上是在其邏輯系統(tǒng)的基礎上添加了少量的非邏輯公理(即無窮公理、選擇公理和可化歸公理)后，將經(jīng)典數(shù)學推演出來．這項工作雖然不完全符合他原來所持的“將數(shù)學還原為邏輯”的宗旨，但是他具體地、系統(tǒng)地展開了從邏輯構(gòu)造出數(shù)學的工作，這確實是數(shù)學基礎研究中的一個重大成就．正因為如此，羅素所代表的邏輯主義與稍后的形式主義和直覺主義，堪稱為現(xiàn)代數(shù)學基礎研究中的三大數(shù)學哲學流派．
在數(shù)學方面，羅素在《數(shù)學原理》第Ⅱ卷中花了大量的篇幅提出了“關(guān)系算術(shù)理論”．他先定義了兩個關(guān)系P，Q的“相似”的概念，即有P領(lǐng)域?qū)領(lǐng)域的那么一個相互關(guān)系產(chǎn)生者，凡是兩項有P關(guān)系，它們的相關(guān)者就有Q關(guān)系，反之亦然．接著，他用相似關(guān)系定義了“關(guān)系數(shù)”的概念，即一個P關(guān)系的關(guān)系數(shù)就是那些在次序上和P相類似的關(guān)系的類．他認為，關(guān)系數(shù)完全是一種新的數(shù)，普通數(shù)是它的一種極其特殊化的例子；一切能用于序數(shù)的那些形式定律都能用于這種一般得多的關(guān)系數(shù)；借助關(guān)系算術(shù)，還可以對“結(jié)構(gòu)”的概念加以精確的定義．但是關(guān)系算術(shù)理論并沒有為世人所注意，對此羅素感到十分惋惜．
在數(shù)理邏輯方面，羅素還發(fā)展了弗雷格和皮亞諾的工作，在《數(shù)學原理》中建立了一個完全的命題演算和謂詞演算系統(tǒng)；發(fā)展并給出了一個完全的關(guān)系邏輯系統(tǒng)；以及提出了摹狀詞理論．關(guān)系，無論是對邏輯還是對數(shù)學，都是一個重要而基本的概念．關(guān)于關(guān)系邏輯的理論，在C．皮爾斯(Peirce)和施羅德的工作中就有了一些，但很不完全，而羅素在這方面的工作卻是顯著的．在關(guān)系邏輯中，他論及到關(guān)系的許多重要概念，如前域、后域、關(guān)系域、逆關(guān)系等等．他認為這些概念都是摹狀函項，因此他認為可以用摹狀函項來定義每一種關(guān)系．如R是任意一個一對多的關(guān)系，摹狀函項即是“與x有R關(guān)系的項”，或者簡單地說，“x的R關(guān)系者”．他還詳細地討論了“一對多”、“一對一”、“次序”三種基本關(guān)系．在關(guān)系邏輯中，他還對關(guān)系演算進行了研究，涉及到關(guān)系與關(guān)系之間的“包含”、“交”、“并”、“否定”和“差”的演算．摹狀詞理論，是羅素于1905年在“論指稱”(On denoting)一文中提出的．在這個理論中他認為應該把專有名詞與確定摹狀詞區(qū)分開來．一個專有名詞如果是有意義的，就必須指稱一個對象．而確定摹狀詞(即形式為“如此這般的那個”的表達式)則可以完全沒有任何指稱，在這個意義上它們是一種“不完全的符號”，它們沒有獨立的意義．離開了在一個句子中的地位，它們就不代表某種對象，它們的意義只有在句子的前后關(guān)系中才能確定．他主張取消摹狀詞短語，把它們表達為不完全符號，即把摹狀詞短語擴展為存在陳述，并把這些存在陳述解釋為斷定某一事物具有包含于那個摹狀詞中的屬性．例如，命題“這座金山并不存在”可以改為：“對x的一切值來說，‘x是金的而且是一座山’這個命題函項總是假的．”
在邏輯方面，羅素還強調(diào)應將命題與命題函項區(qū)別開來，將蘊涵與推理區(qū)別開來．以前人們認為邏輯是關(guān)于推理的理論，他則認為邏輯是關(guān)于推理合法性的理論，即關(guān)于蘊涵的理論．他說，“在我們從一個命題有效地推出另一個命題之處，無論我們察覺與否，都是根據(jù)兩命題間成立的一個關(guān)系推導的：事實上，理智在推理中是純粹接受的，就象常識上認為理智對可感對象的知覺是純粹接受的一樣”．(《數(shù)學的原理》，第33頁)
羅素對應用數(shù)學的態(tài)度經(jīng)歷了一個否定之否定的變化過程．最初，羅素奉行一種畢達哥拉斯主義，認為現(xiàn)實世界里的事物是遵循數(shù)學原理的，他是在這個意義上看重應用數(shù)學的．他說，他少年時雖然不會打臺球，卻喜歡關(guān)于臺球怎樣運行的數(shù)學學說．他在自己第一本著作即關(guān)于幾何基礎的著作中，就開始試圖運用數(shù)學來建立運動概念和動力學定律的牢固基礎．但是在1900年至1914年這個時期，由于他偏重于數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎的理論研究，便對應用數(shù)學的興趣減弱了．甚至還產(chǎn)生這樣一種想法，認為數(shù)學基本上不是一個了解和操縱感覺世界的工具，而是一個抽象的體系，這個體系是存于柏拉圖哲學意義的天上，只有它的一種不純凈和墮落的形式才來到感覺世界．在這個時期，他采取一種極深的避世思想．第一次世界大戰(zhàn)之后，他親眼看見成千上萬的年青人搭上了運送軍隊的火車并在戰(zhàn)爭中慘遭屠殺，他感到自己與實際的世界有了痛苦的結(jié)合．這時他才醒悟到以前他關(guān)于抽象的概念世界那些浮夸的思想是沒有內(nèi)容和無足輕重的了．從此以后，羅素不再認為數(shù)學在題材上是和人事無關(guān)的學科，也不再覺得理性高于感覺，不再覺得只有柏拉圖的理念世界才接近“實在”(real)的世界．在此之后的一些著作如《物的分析》(The analysis ofmatter，1927)中，他把數(shù)學運用到物理學中去，試圖建立物理學的數(shù)學基礎．
在本世紀中，羅素是數(shù)學基礎研究中邏輯主義學派的杰出領(lǐng)導者，是著名的數(shù)理邏輯學家，同時又是著名的哲學家和社會活動家，所有這些都是為世人公認的．
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