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9.6  函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

掌握

的冪級(jí)數(shù)展開，并會(huì)用它們將一些簡單的函數(shù)間接展開成關(guān)于

的冪級(jí)數(shù)。

9.6.1函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

定理9.6.1  若函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)，即

則函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，且

                  

             (1)

 

其中

．

定義9.6.1  若

在

處存在任意階導(dǎo)數(shù)，則級(jí)數(shù)(2)稱為函數(shù)

在

處的泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)，記作

                     

              (3)

其系數(shù)

稱為泰勒系數(shù)（

時(shí)，為

）．

    級(jí)數(shù)(2)中

時(shí)，稱為

的馬克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù)，記作

                       

                    (4)

定理9.6.2  若函數(shù)

在

內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)

內(nèi)任意一點(diǎn)

泰勒公式的余項(xiàng)

，則

定理9.6.3  若函數(shù)

在

內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，且存在正數(shù)M，對(duì)任意自然數(shù)

，對(duì)

內(nèi)任意一點(diǎn)

，有

則                    

                 (5)

9.6.2 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

典型例題：

例9.6.1  將函數(shù)

展成馬克勞林級(jí)數(shù)．

    解  由于

，對(duì)于任意

，均有

    根據(jù)定理10.6.3,

在

內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)．因?yàn)?i>r是大于零的任意實(shí)數(shù)，所以，

在

上可展成冪級(jí)數(shù)，即

                     

               (6)

    此題也可直接證明拉格朗日余項(xiàng)

的極限為零．

例9.6.2  將函數(shù)

展成馬克勞林級(jí)數(shù)．

    解 由于

，且

，

據(jù)定理10.6.3, 函數(shù)

可展成馬克勞林級(jí)數(shù)．

因?yàn)?span lang="EN-US">

，故

    

        (7)

同理

   

         (8)

例9.5.3  將函數(shù)

展成馬克勞林級(jí)數(shù)．

    解  當(dāng)

時(shí)，有

 

于是，

的馬克勞林級(jí)數(shù)是

        

       (9)

    由比式判別法可知：(9)式的收斂半徑

，下面在

上考察它的柯西余項(xiàng)：

由比式判別法，級(jí)數(shù)

在

時(shí)收斂，故有                  

.

又由于

時(shí)，有

，從而有

       

再當(dāng)

時(shí)，有

，于是,

.

    故當(dāng)

是與n無關(guān)的有界量；當(dāng)

時(shí)，也有同樣結(jié)論.綜上所述，當(dāng)

時(shí)，

．故

 

             

 ,

         (10)

    在端點(diǎn)

處，(10)式是否成立與

的取值有關(guān)，其結(jié)果如下

    (1) 當(dāng)

時(shí)，收斂域?yàn)?span lang="EN-US">

；

    (2) 當(dāng)

時(shí)，收斂域?yàn)?span lang="EN-US">

；

    (3) 當(dāng)

時(shí)，收斂域?yàn)?span lang="EN-US">

．

    當(dāng)(10)式中

為正整數(shù)n時(shí)，右端只有n+1項(xiàng)，此時(shí)即為二項(xiàng)式定理．

    當(dāng)

時(shí)，就得到：

            

      (11)

    若把

，又得大家熟知的幾何級(jí)數(shù)：

               

         (12)

    當(dāng)

時(shí)，得到

 

 

    (13)

其中通項(xiàng)可記為       

．

    當(dāng)

時(shí)，得到

              

           (14)

    對(duì)于一般的函數(shù)

而言，求其n階導(dǎo)數(shù)的通項(xiàng)公式比較困難，而研究其泰勒公式的余項(xiàng)在某區(qū)間內(nèi)趨于零的問題則更為復(fù)雜，因此，直接從定義出發(fā)求一般函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)是相當(dāng)困難的．更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等方法，間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式．

例9.6.4  求

的馬克勞林級(jí)數(shù)．

    解   因?yàn)?span lang="EN-US">

　        (15)

所以，將(15)式從0到x逐項(xiàng)積分得

 

   (16)

同理,   

        

            (17)

將(16)式減去(17)式得

  

            (18)

例9.6.5  將函數(shù)

展成馬克勞林級(jí)數(shù)．

解  因?yàn)?span lang="EN-US">

，故逐項(xiàng)求導(dǎo)就有

 

 

例9.6.6  將函數(shù)

處展成冪級(jí)數(shù)．

    解 先將

，在利用

，作變換

，即得

的冪級(jí)數(shù)展開式．故有

例9.6.7  求非初等函數(shù)

的馬克勞林級(jí)數(shù)．

    解 因?yàn)?span lang="EN-US">

逐項(xiàng)積分得：

.

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