典型例題
例1 下列命題：
(1)3，3，4，4，5，5，5的眾數(shù)是5；
(2)3，3，4，4，5，5，5的中位數(shù)是4.5；
(3)頻率分布直方圖中每一個(gè)小長方形的面積等于該組的頻率；
(4)頻率分布表中各小組的頻數(shù)之和等于1
以上各題中正確命題的個(gè)數(shù)是 [ ]．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
分析：回憶統(tǒng)計(jì)初步中眾數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等概念，認(rèn)真分析每個(gè)命題的真假．
解：(1)數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，5中5出現(xiàn)次數(shù)最多3次，5是眾數(shù)，是真命題．
(2)數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，5有七個(gè)數(shù)據(jù)，中間數(shù)據(jù)是4不是4.5，是假命題．
(3)由頻率分布直方圖中的結(jié)構(gòu)知，是真命題．
(4)頻率分布表中各小組的頻數(shù)之和是這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)而不是1，是假命題．
所以正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)，應(yīng)選B．
例2 選擇題：
(1)甲、乙兩個(gè)樣本，甲的樣本方差是0.4，乙的樣本方差是0.2，那么 [ ]
A．甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大；
B．乙的波動(dòng)比甲的波動(dòng)大；
C．甲、乙的波動(dòng)大小一樣；
D．甲、乙的波動(dòng)大小關(guān)系不能確定．
(2)在頻率直方圖中，每個(gè)小長方形的面積等于 [ ]
A．組距 B．組數(shù)
C．每小組的頻數(shù) D．每小組的頻率
分析：用樣本方差來衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小，樣本方差越大說明樣本的波動(dòng)越大．
解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大，選A．
例3 為了了解中年人在科技隊(duì)伍中的比例，對某科研單位全體科技人員的年齡進(jìn)行登記，結(jié)果如下(單位：歲)
44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，
44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，
30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，
49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，
45，28．
列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．
解：按五個(gè)步驟進(jìn)行：
(1)求數(shù)據(jù)最大值和最小值：
已知數(shù)據(jù)的最大值是67，最小值是28
∴最大值與最小值之差為67-28=39
(2)求組距與組數(shù)：
組距為5(歲)，分為8組．
(3)決定分點(diǎn)
(4)列頻分布表
(5)繪頻率分布直方圖：
例4 某校抽檢64名學(xué)生的體重如下(單位：千克)．
列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．
分析：對這組數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)整理，一步步按規(guī)定步驟進(jìn)行．
解：(1)計(jì)算最大值與最小值的差：48-29=19(千克)
(2)決定組距與組數(shù)
樣本容量是64，最大值與最小值的差是19千克，如果取組距為2千克，19÷2=9.5，分10組比較合適．
(3)決定分點(diǎn)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)，第一組起點(diǎn)數(shù)定為28.5，其它分點(diǎn)見下表．
(4)列頻率分布表．
(5)畫頻率分布直方圖(見圖3-1)
說明：
例5 有一個(gè)容量為60的樣本，(60名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績)，分組情況如下表：
(1)填出表中所剩的空格；
(2)畫出頻率分布直方圖．
分析：
各組頻數(shù)之和為60
各組頻率之和為1
解：
因?yàn)楦餍〗M頻率之和=1
所以第4小組頻率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35
所以第4小組頻數(shù)=0.35×60=21
第5小組頻數(shù)=0.3×60=18
(2)
例6 某班學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試成績的頻率分布直方圖，其中縱軸表示學(xué)生數(shù)，觀察圖形，回答：
(1)全班有多少學(xué)生？
(2)此次考試平均成績大概是多少？
(3)不及格的人數(shù)有多少？占全班多大比例？
(4)如果80分以上的成績算優(yōu)良，那么這個(gè)班的優(yōu)良率是多少？
分析：根據(jù)直方圖的表示意義認(rèn)真分析求解．
解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．
共計(jì) 1+2+3+8+10+14+6=44(人)
(2)取中間值計(jì)算
(3)前三個(gè)小組中有1+2+3=6人不及格占全班比例為13.6%．
(4)優(yōu)良的人數(shù)為14+6=20，20÷44=45.5%．
即優(yōu)良率為45.5%．
說明：頻率分布表比較確切，但直方圖比較直觀，這里給出了直方圖，從圖也可以估計(jì)出一些數(shù)量的近似值，要學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)圖形．
例7 回答下列問題：
總是成立嗎？
(2)一組數(shù)據(jù)據(jù)的方差一定是正數(shù)嗎？
總是成立嗎？
(4)為什么全部頻率的累積等于1？
解：(1)證明恒等式的辦法之一，是變形，從較繁的一邊變到較簡單的一邊．這
可見，總是成立．
順?biāo)浦?，我們用類似的方法證明(3)；注意
那么有
(2)對任一組數(shù)x1，x2，…，xn，方差
這是因?yàn)樽匀粩?shù)n＞0，而若干個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為非負(fù)，那么S2是有可對等于0的
(4)設(shè)一個(gè)數(shù)組或樣本的容量為n，共分為m個(gè)組，其頻數(shù)分別為a1，a2，…，am，按規(guī)定，有
a1+a2+…+am=n，
而各組的頻率分別a1／n，a2／n，…，am／n，因此，有
說明：在同一個(gè)問題里，我們處理了同一組數(shù)據(jù)x1，…，xn有關(guān)的兩個(gè)數(shù)組f1，f2，…，fk和a1，a2，…，am，前者是說：在這組數(shù)中，不同的只有k個(gè)，而每個(gè)出現(xiàn)的次數(shù)分別為f1，…，fk；后者則說明這組數(shù)所占的整個(gè)范圍被分成了m個(gè)等長的區(qū)間，出現(xiàn)在各個(gè)區(qū)間中的xi的個(gè)數(shù)分別為a1，…，am，可見，a1，…，an是f1，…fk的推廣，而前面說過的眾數(shù)，不過是其fi最大的那個(gè)數(shù)．
弄清研究數(shù)組x1，…，xn的有關(guān)數(shù)和概念間的聯(lián)系與區(qū)別，是很重要的．
例8 回答下列問題：
(1)什么是總體？個(gè)體？樣本？有哪些抽樣方法？
(2)反映樣本(或數(shù)據(jù))數(shù)量水平的標(biāo)志值有哪幾個(gè)？意義是什么？怎樣求？
(3)反映樣本(或數(shù)據(jù))波動(dòng)(偏差)大小的標(biāo)志值有哪幾個(gè)？怎樣求？有什么區(qū)別？
(4)反映樣本(或數(shù)據(jù))分布規(guī)律的數(shù)量指標(biāo)和幾何對象是什么？獲得的一般步驟是什么？
解：這是一組概念題，我們簡略回答：
(1)在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，把要考查對象的全體叫做總體；其中每個(gè)考查對象叫個(gè)體；從總體中抽出的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本；樣本中個(gè)體的數(shù)目，叫做樣本的容量．
應(yīng)指出的是，這里的個(gè)體，是指反映某事物性質(zhì)的數(shù)量指標(biāo)，也就是數(shù)據(jù)，而不是事物本身，因此，總體的樣本，也都是數(shù)的集合．
抽樣方法通常有三種：隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種，基本原則是：力求排除主觀因素的影響，使樣本具有較強(qiáng)的代表性．
(2)反映樣本(或數(shù)據(jù))數(shù)量水平或集中趨勢的標(biāo)志值有三個(gè)，即平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．
有時(shí)寫成代換形式；
有時(shí)寫成加權(quán)平均的形式：
其中，又有總體平均數(shù)(總體中所有個(gè)體的平均數(shù))和樣本平均數(shù)(樣本中所有個(gè)體的平均數(shù))兩種，通常，我們是用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)．且一般說來，樣本容量越大，對總體的估計(jì)也就越精確．
(ii)眾數(shù)，就是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．通常采用爬山法或計(jì)票畫“正”法去尋找．(爬山法是：看第一個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)，再看第二、三、……有出現(xiàn)次數(shù)比它多的，有，則“爬到”這個(gè)數(shù)，再往后看……)．
(iii)中位數(shù)是當(dāng)把數(shù)據(jù)按大小順序排列時(shí)，居于中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均，它與數(shù)據(jù)的排列順序有關(guān)．
此外，還有去尾平均(去掉一個(gè)最高和一個(gè)最低的，然后平均)、總和等，也能反映總體水平．
(3)反映樣本(數(shù)據(jù))偏差或波動(dòng)大小的標(biāo)志值有兩個(gè)：
(ii)標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)方差的平方根：
標(biāo)準(zhǔn)差有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)，一是其度量單位與原數(shù)據(jù)一致；二是緩解S2過大或過小的現(xiàn)象．方差也可用代換式簡化計(jì)算：
(4)反映數(shù)據(jù)分布規(guī)律的是頻率分布和它的直方圖，一般步驟是：
(i)計(jì)算極差=最大數(shù)-最小數(shù)；
(iii)決定分點(diǎn)(可用比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)的辦法)；
(v)畫頻率分布直方圖．
其中，分布表比較確切，直方圖比較直觀．
說明：此例很“大”，但是必要的，因?yàn)?，?dāng)前大多數(shù)的中考題，很重視基本內(nèi)容的表述，通過“填空”和“選擇”加以考查，我們要予以扎實(shí)．而更為重要的，這些概念和方法，正是通過偶然認(rèn)識(shí)必然，通過無序把握有序，通過部分估計(jì)整體的統(tǒng)計(jì)思想在數(shù)學(xué)中的實(shí)現(xiàn)．
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