“數(shù)”早期是古代的計數(shù)，現(xiàn)在表示數(shù)量的概念；“形”早期是古代的形狀，現(xiàn)在表示空
間的概念。家歐幾里得用自己畢生精力完成《幾何原本》這一千古流芳的巨著，這是體現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的文字資料。柏拉圖說過，只有數(shù)學(xué)存在的實體才具備永恒的可理解性，任何科學(xué)都只有建立在幾何學(xué)帶來的概念和模式上，才可以解釋現(xiàn)象表面背后的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。教育家波利亞也曾說：“畫一個圖，并用符號表示”。
數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化。數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)等等。
數(shù)軸的建立使人們對數(shù)與形的統(tǒng)一有了跳躍式的認(rèn)識，把實數(shù)集與數(shù)軸上的點集一一對應(yīng)起來，數(shù)可以視為點，點也可以視為數(shù)，點在直線上的位置可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算，也可以幾何化。
在此基礎(chǔ)上，笛卡爾又把數(shù)軸拓展到了直角坐標(biāo)系。在高中數(shù)學(xué)中幾乎所有圖形都是建立在直角坐標(biāo)系中，奠基人笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果都集中在他的“幾何學(xué)”中。當(dāng)時的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。其核心內(nèi)容是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種數(shù)學(xué)思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在的“解析幾何學(xué)”。把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個量，這將構(gòu)成一個方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系進(jìn)行作圖。
“數(shù)形結(jié)合”一詞的正式出現(xiàn)與中國數(shù)學(xué)界的傳奇人物華羅庚先生息息相關(guān)。華老于1964年1月撰寫了《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》這一科普小冊子，書中有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離!”[1]。正因為華老在中國數(shù)學(xué)界的影響力，“數(shù)形結(jié)合”一詞推出后不久，立即獲得了數(shù)學(xué)界的普遍認(rèn)同，幾乎所有的數(shù)學(xué)教育教學(xué)刊物都出現(xiàn)了此詞。
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等．常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個著力點是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法。以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。
具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式(有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。
