勤勉的康托
早在1638年，意大利天文學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問題，全體自然數(shù)與全體平方數(shù)，誰多誰少？不僅伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學(xué)家也回答不了這個(gè)問題。誰又會想到，這一問題卻為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——集合論的誕生播下了種子。
喬治·康托于1845年3月3日出生于俄國彼得堡一個(gè)猶太商人的家庭。1856年，康托全家遷往德國法蘭克福?？低幸簧饕獣r(shí)光是在德國渡過的?？低械苊昧?，他是老大。父親從小就給他們灌輸宗教方面的教育，并培養(yǎng)他們自信、自強(qiáng)和奮斗精神。父親在給15歲的康托的一封信中寫到：“你的父親，或者說，你的父母以及在俄國、德國、丹麥的其他家人都在注視著你，希望你將來能成為科學(xué)地平線上升起的一顆明星”。這封信始終陪伴著康托，成為康托終生奮斗的一個(gè)動(dòng)力。
年輕的康托在一所寄宿學(xué)校讀書，操行評語上寫著：“他的勤勉和熱情堪稱典范，在初等代數(shù)和三角方面成績優(yōu)異，其行為舉止值得贊揚(yáng)?！彼且粋€(gè)有很高天賦，全面發(fā)展的學(xué)生，在數(shù)學(xué)方面尤為突出。但父親并不希望兒子獻(xiàn)身純粹數(shù)學(xué)，希望兒子能夠?qū)W工程學(xué)。1862年，康托上了蘇黎世大學(xué)，次年又轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)。當(dāng)時(shí)，維爾斯特拉斯、庫默爾等著名數(shù)學(xué)家都在柏林大學(xué)任教。受他們的影響，康托放棄了當(dāng)工程師的打算，轉(zhuǎn)為研究純粹數(shù)學(xué)。
他22歲時(shí)獲得柏林大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，博士論文是關(guān)于數(shù)論方面的。他在博士論文中提出了一些奇異的觀點(diǎn)，這在常人看來似乎有些“離經(jīng)叛道”。他卻認(rèn)為，數(shù)學(xué)中提問的藝術(shù)比起解法來更為重要。后來，康托對數(shù)學(xué)獨(dú)特的貢獻(xiàn)就在于他以特殊的提問方式開辟了廣闊的研究領(lǐng)域。1869年康托在哈雷大學(xué)擔(dān)任助教，主要研究數(shù)論、不定方程和三角級數(shù)。
集合論的誕生
從古希臘時(shí)候起，對“無限”問題的研究就一直是數(shù)學(xué)家努力攻克的堡壘之一，但這一工作極其困難。比如，某種無窮多事物的計(jì)數(shù)問題，兩類無窮多事物的個(gè)數(shù)的比較問題等，人們對此類問題的認(rèn)識還不夠深入，致使數(shù)學(xué)中有許多遺留問題未能得到徹底解決，例如實(shí)數(shù)是否可數(shù)？實(shí)數(shù)有多少？等等，在分析學(xué)中也留有不少的疑問。
到了19世紀(jì)下半葉，德國另一位大數(shù)學(xué)家戴德金作出了重大突破，他是對20世紀(jì)有極大影響的數(shù)學(xué)家。戴德金曾著文論及“無限”，認(rèn)為一個(gè)系統(tǒng)S如能和本身的一部分相似，稱為是無限的，否則是有限的。
在伽利略問題提出200多年以后，1873年康托開始了有關(guān)集合和無限等問題具有變革意義的工作。他第一次系統(tǒng)地研究了無窮集合的度量問題，并給出了度量集合的基本概念：一一對應(yīng)，以此作為衡量集合大小的一把“尺子”。這樣，如果兩個(gè)集合之間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就說它們的個(gè)數(shù)是相等的?？低欣米约旱倪@一結(jié)論成功地證明了實(shí)數(shù)集合與自然數(shù)集合之間不能建立起一一對應(yīng)關(guān)系，從而證明了實(shí)數(shù)集合是不可數(shù)的。也就解決了伽利略問題。同年12月7日，他把自己這一發(fā)現(xiàn)寫信告訴戴德金。以后，數(shù)學(xué)史家把這一天看作是集合論的誕生日。
次年，29歲的康托結(jié)婚了。在度蜜月時(shí)他碰到了戴德金，兩人進(jìn)行了學(xué)術(shù)交流?？低欣^續(xù)戴德金的想法，認(rèn)識到戴德金關(guān)于無限的定義是正確的，但是無限集彼此之間也是千差萬別，并不相似，應(yīng)該加以區(qū)別。接著，康托就把他的這些研究成果寫成《論所有實(shí)代數(shù)的集合的一個(gè)性質(zhì)》一文，發(fā)表在《克列爾數(shù)學(xué)雜志》上。這是關(guān)于集合論的第一篇論文，具有開創(chuàng)性意義。該文詳細(xì)地論說了“無限”這一問題，受到世人注目，并成為后來的勢和序數(shù)理論的基礎(chǔ)。
以后十年間，他繼續(xù)探索并發(fā)表了一系列論文，并以《集合論基礎(chǔ)》為題作為專著于1883年出版。他開始了數(shù)學(xué)一個(gè)全新領(lǐng)域的研究。他發(fā)展了奠基于對實(shí)無窮作數(shù)學(xué)處理的超限數(shù)理論，并創(chuàng)造了相似于有限數(shù)運(yùn)算的超限數(shù)算術(shù)。
逆境中蒙難的康托及其集合論
在康托看來，全體自然數(shù)與全體平方數(shù)一樣多，因?yàn)槊恳粋€(gè)自然數(shù)都對應(yīng)著它的平方數(shù)?？墒牵藗冏怨乓詠硪恢闭J(rèn)為“全體大于部分”，康托的新思想從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，在這時(shí)候是多么需要獲得外界的支持啊。但當(dāng)時(shí)他的新思想不能被多數(shù)人理解，得到的不是贊美和支持，而是一連串懷有敵意的批判，特別是他的老師克羅內(nèi)克。克羅內(nèi)克也是一位猶太人，柏林學(xué)派的領(lǐng)袖。他只承認(rèn)有限，至多是自然數(shù)，對康托的“無限”觀持嚴(yán)厲批判態(tài)度。他憑借手中的權(quán)勢，長期扣發(fā)康托的文稿，甚至攻擊康托是神經(jīng)質(zhì)，誣蔑他是科學(xué)的騙子、叛徒，他的“思想是近十年來最具獸性的見解”?？低腥谓痰墓状髮W(xué)在小城市，他薪金微薄，曾希望進(jìn)入柏林大學(xué)任教，但身為柏林大學(xué)教授又專橫跋扈的克羅內(nèi)克處處跟他為難，擋住他立足柏林的通路，給康托帶來了巨大的壓力?？低心且呀?jīng)十分緊張的神經(jīng)支持不住了，終于在1884年患了精神分裂癥。
為了使他創(chuàng)造的數(shù)學(xué)天國更加美好，當(dāng)康托身體稍有康復(fù)，他又拿起筆，繼續(xù)探索。為捍衛(wèi)真理，與傳統(tǒng)的舊觀念作斗爭，在逆境面前不屈不撓。1891年克羅內(nèi)克去世，康托的阻力減少了許多，數(shù)學(xué)界對康托的理論逐漸消除了疑慮?？低谐霭媪怂钪闹鳌蛾P(guān)于超窮混合理論的論證》一書。他的理論在法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪那里受到了重視，不久就在測度論、拓?fù)淅碚撝蝎@得了應(yīng)用，人們這才認(rèn)識康托理論的重大意義。
1918年1月6日，這位19世紀(jì)末最有影響的數(shù)學(xué)家的心臟終于停止了跳動(dòng)。真理是不可戰(zhàn)勝的，康托最終獲得了世界的承認(rèn)，至今享有極高的聲譽(yù)，許多人為康托鳴不平，對他的遭遇深表同情，大數(shù)學(xué)家希爾伯特就曾熱烈贊美康托的業(yè)績，他大聲疾呼：“沒有任何一種力量，能夠把我們從康托所創(chuàng)造的伊甸樂園中趕走?！?/span>
現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石
研究數(shù)學(xué)首先得考慮一些確定的對象，如數(shù)、點(diǎn)、圖形等等，把任意一些確定的對象看成一個(gè)整體時(shí)，就是一個(gè)集合。集合論是研究集合的一般性質(zhì)的。從康托把有限集推進(jìn)到無限集開始，不僅它本身形成了數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支，而且由于構(gòu)成集合的對象的任意性，討論的性質(zhì)的普遍性，它很快就滲透到幾乎所有的各個(gè)數(shù)學(xué)分支中，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
集合論體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，它以全新的手段考察數(shù)學(xué)的研究對象，既能見樹木，又能看到森林。對某一類問題的研究，像蘑菇一樣成堆成片地作出發(fā)現(xiàn)。鄰域、映射、線性空間、結(jié)構(gòu)、群、環(huán)、域等一系列現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念，都建立在集合論之上。
集合論中的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)更是數(shù)學(xué)問題來源于幾何、力學(xué)、物理等方面的現(xiàn)實(shí)問題的一個(gè)范例。它是康托在1882年提出的一個(gè)猜想：在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)。直觀地講，就是實(shí)數(shù)有多少的問題，一條直線上點(diǎn)有多少的問題。一百年來，經(jīng)過許多著名數(shù)學(xué)家的不懈努力，取得了一些重大進(jìn)展，而且為了解決它也找到一些著名的方法，這些方法對解決其它數(shù)學(xué)問題起了積極的作用。但是就猜想本身來說，還需要繼續(xù)尋求新的數(shù)學(xué)命題或采用其它有效途徑去攻克。
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