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科學網(wǎng) www.sciencenet.cn 發(fā)布時間：2011-8-18 17:33:31
著名數(shù)學家弗里曼·戴森的演講譯文：鳥和青蛙
作者：弗里曼·戴森 翻譯：王丹紅
艾布拉姆·貝塞克維奇和赫爾曼·外爾
現(xiàn)在，我介紹我所知道的幾位著名的鳥和青蛙。
1941年，我作為一名學生來到英國劍橋大學，極其幸運地受教于俄羅斯數(shù)學家艾伯拉姆·薩莫羅維奇·伯西柯維奇（Abram Samoilovich Besicovitch）。時值第二次世界大戰(zhàn)，劍橋只有很少的學生，幾乎沒有研究生。盡管當時我只有17歲，而伯西柯維奇已是一位著名教授，但是，他給了我相當多的時間和關(guān)注，我們成為終身朋友。在我開始從事和思考數(shù)學時，他塑造了我的性格。他在測量理論和積分方面上了許多精彩的課程，在我們因他大膽地濫用英語而哈哈大笑時，他只是親切地笑笑。我記得僅有一次，他被我們之間的玩笑惹怒。在沉默了一會后，他說:“先生們，有5000萬英國人講你們所講的英文。有1.5億俄羅斯人講我所講的英文?！?div style="height:15px;">
伯西柯維奇是一只青蛙，年輕時，因解決一個名為掛谷問題（Kakeya Problem）的初等本平面幾何問題而出名。掛谷問題是這樣描述的：讓一條長度為1的線段按360度的角度在一個平面上自由轉(zhuǎn)動，這條線掃過的最小面積是多少？日本數(shù)學家掛谷宗一(Soichi Kakeya)在1917年提出這個問題，并成為之后十年內(nèi)未解決的著名問題。當時，美國數(shù)學界領袖喬治·伯克霍夫（George Birkhoff）公開聲稱，掛谷問題和四色問題是最著名的未解決問題。數(shù)學家們普遍相信，最小的面積應該是π/8,即棒在三尖點內(nèi)擺線的面積（three-cusped hypocycloid）。三尖點內(nèi)擺線是一條優(yōu)美的三尖點曲線，它是一個半徑為四分之一的小圓圈在一個半徑為四分之三的定圓內(nèi)滑動時，動圓圓周上的一個點所繪制的軌跡。長度為1的線段在旋轉(zhuǎn)時始終與內(nèi)擺線相切，它的兩端也在內(nèi)擺線上。一條線段在旋轉(zhuǎn)時與內(nèi)擺線的三個點相切，這是一幅多么優(yōu)美的畫，絕大多數(shù)人相信它一定給出了最小面積。然后，伯西柯維奇給了大家一個驚喜：他證明，對任何正∈（positive ∈）來說，這一線段在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積小于∈。
實際上，在掛谷問題成為著名問題之前，伯西柯維奇已經(jīng)在1920年解決了這個問題，但在當時，伯西柯維奇本人甚至不知道掛谷提出了這個問題。1920年，他將解決方案用俄文發(fā)表在《彼爾姆物理和數(shù)學學會期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics Society）上，這是一份不被廣泛閱讀的期刊。彼爾姆大學位于距離莫斯科東面1100公里的彼爾姆城，在俄羅斯革命之后，這個城市成為許多著名數(shù)學家的短暫避難所。他們出版了兩期《彼爾姆物理和數(shù)學學會期刊》，之后,期刊便在革命和內(nèi)戰(zhàn)的混亂中?？?。在俄羅斯之外，這份期刊不僅不為人知，而且不可獲取。1925年，伯西柯維奇離開俄羅斯，來到哥本哈根，并在這里獲知到他已經(jīng)在5年前解決的著名掛谷問題。他將解決方案重新出版，這一次，論文用英文發(fā)表在德國著名的《數(shù)學期刊》（Mathematische Zeitschrift）上。正如伯西柯維奇所說，掛谷問題是一個典型的青蛙問題，一個與數(shù)學的其它方面沒有太多聯(lián)系的具體問題。伯西柯維奇給出了一個優(yōu)雅、深刻的解決方案，揭示出它與平面中點集結(jié)構(gòu)的一般定理之間的聯(lián)系。
伯西柯維奇的風格體現(xiàn)在他的三篇最好的經(jīng)典文章中，這些文章的標題是:“平面點集之線性可測量的基本幾何性質(zhì)”（On the fundamental geometric properties），它們分別發(fā)表在1928年、1938年和1939年的《數(shù)學年鑒》（Mathematische Annalen）上。在這些論文中，他證明：平面上的每個線性可測量集可被分解為有規(guī)則和無規(guī)則的分支，規(guī)則分支在每個地方幾乎都有一個切線，而無規(guī)律分支都有一個零測量投射向幾乎所有方向。簡而言之，規(guī)則分支看起來像連續(xù)曲線，而無規(guī)則分支看起來不像連續(xù)曲線。無規(guī)則分支的存在和性質(zhì)與掛谷問題的伯西柯維奇解有聯(lián)系。他給我的工作之一是，在高維空間中將可測量集分為規(guī)則分支組件和無規(guī)則分支。雖然我在這個問題上一事無成，卻永遠被烙上了伯西柯維奇風格。伯西柯維奇風格是建筑學風格。他用簡單元素建造出精美、復雜的建筑結(jié)構(gòu)，通常情況下有層次計劃；當大廈建成時，通過簡單的論證就可從完整結(jié)構(gòu)中推導出意外的結(jié)論。伯西柯維奇的每項工作都是一件藝術(shù)品，像巴赫的賦格曲一樣精心構(gòu)成。
在跟隨伯西柯維奇做了幾年的學生后，我來到美國普林斯頓，認識了赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）。外爾是一只典型的鳥，正如伯西柯維奇是一只典型的青蛙。幸運的是，在外爾退休回到位于蘇黎世的老家之前，我在普林斯頓高等研究所與他有一年的相處時間。他喜歡我，因為在這一年間，我在《數(shù)學年鑒》（Annals of Mathematics）上發(fā)表了有關(guān)數(shù)論的論文，在《物理評論》(Physics Review)上發(fā)表了量子輻射理論的論文。他是當時活在世上的少數(shù)幾位同時精通這兩領域的專家之一。他歡迎我到普林斯頓研究所，希望我像他一樣成為一只鳥。他失望了，我始終是一只固執(zhí)的青蛙。盡管我總是在各種各樣的泥洞附近閑逛，我一次只能關(guān)注一個問題，沒有尋找問題之間的聯(lián)系。對我而言，數(shù)論和量子理論是擁有各自美麗的兩個世界。我不像外爾一樣去發(fā)現(xiàn)構(gòu)建大設計的線索。
外爾對量子輻射理論的偉大貢獻是他發(fā)明了規(guī)范場。規(guī)范場的想法有一段奇特歷史。1918年，在他統(tǒng)一廣義相對論和電磁學的理論中，他作為古典場論發(fā)明了它們，并稱之為“規(guī)范場”，因為它們關(guān)系到長度測量的不可積分性。他的統(tǒng)一理論立即遭到愛因斯坦的公開拒絕，經(jīng)歷了這個來自高層的霹靂之后，外爾并沒有放棄他的理論，只是進入別的領域。這個的理論沒有可驗證的實驗結(jié)果。1929年，在量子理論被其他人發(fā)明后，外爾意識到與經(jīng)典世界相比，他的規(guī)范場論更適合于量子世界，而他將經(jīng)典場論轉(zhuǎn)化為量子場論所做的事，就是將實數(shù)轉(zhuǎn)化為復數(shù)。在量子力學中，每個電荷的量子伴隨一個有相位的復雜波函數(shù)，并且規(guī)范場涉及相位測量的不可積分性有關(guān)。規(guī)范場可以精確地與電磁勢等同，電荷守恒定律成為局部規(guī)范不變性理論的推論。
從普林斯頓回到蘇黎世4年后，外爾去世了，我應《自然》之邀為他撰寫訃告?！霸?0世紀開始從事其數(shù)學生涯的所有活著的數(shù)學家中，”我寫道，“赫爾曼·懷爾是在最多的不同領域做出了重大貢獻的人物之一。他堪與19世紀最偉大的全能數(shù)學家希爾伯特和龐加萊相提并論?；钪臅r候，他生動地體現(xiàn)了純數(shù)學與理論物理前沿的聯(lián)系?，F(xiàn)在，他去世了，這種聯(lián)系中斷了，我們期望直接借助于創(chuàng)造性的數(shù)學想象來理解物質(zhì)世界的時代結(jié)束了?！蔽野谒氖攀溃也⒉幌Ｍ冯S他的夢想。我高興地看到純數(shù)學和物理學在向截然相反的方向前進。
訃告以外爾為人的概述結(jié)束：“外爾的性格是一種審美感，這主導了他對所有問題的思考。有一次，他曾半開玩笑地對我說，‘我的工作總是努力將真與美統(tǒng)一起來；但是，如果只能選擇其中之一，那么我選擇美?！@段話是對他個性的完美概括，表明他對自然終極和諧的深刻信念，自然的規(guī)律必將以數(shù)學美的形式呈現(xiàn)出來。這表明他對人類弱點的認識，他的幽默總會讓他不至于顯得傲慢自大。他在普林斯頓的朋友還記得我最后一次見他的模樣：那是去年四月在普林斯頓高等研究院舉行的春之舞會上：一個高大、和藹、快樂的人，盡情地自我享受，他明朗的身架和輕快的步伐讓人一點看不出他已經(jīng)69歲?！?div style="height:15px;">
外爾逝世后的五十年是實驗物理和觀察天文學的黃金時代，也培根學派旅行者收集事實、青蛙們在我們生存的小片沼澤地上探索的黃金時代。在這50年中，青蛙們積累了大量的有關(guān)宇宙結(jié)構(gòu)、眾多粒子和其間相互作用的詳盡知識。在持續(xù)探索新領域的同時，宇宙變得越來越復雜。不再是展現(xiàn)外爾數(shù)學簡潔和美麗的大設計 ，探索者發(fā)現(xiàn)了夸克和伽瑪射線爆等奇異事件，以及超對稱和多重宇宙等新奇概念。與此同時，在持續(xù)探索混沌和許多被電子計算機打開的新領域時，數(shù)學在變得越來越復雜。數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了可計算性的中心謎團，這個猜想表示為P不等于NP。這個猜想聲稱：存在這樣的數(shù)學問題，它的個案可以被很快解決，但沒有適用于所有情形的快速算法可解決所有問題。這個問題中最著名的例子是旅行銷售員問題，即在知道每兩個城市之間距離的前提下，尋找這位銷售員在這一系列城市間旅行的最短路徑。所有的專家都相信這是猜想是正確的，旅行銷售員的問題是P不等于NP的實際問題。但沒有人知道證明這一問題的一點線索。在赫爾曼·外爾19世紀的數(shù)學世界中，這個謎團甚至還沒有形成。
對鳥們來說，最近五十年是艱難時光。然而，即使在艱難時代，也有事情等著鳥們?nèi)プ觯麄冇赂业厝ソ鉀Q這些事情。在赫爾曼·外爾離開普林斯頓后不久，楊振寧（Frank Yang）從芝加哥來到普林斯頓，搬進了外爾的舊居，在我這一代的物理學家中，他接替外爾的位置成為一只領頭鳥。在外爾還活著時，楊振寧和他的學生羅伯特·米爾斯(Robert Mills)發(fā)現(xiàn)了非阿貝爾規(guī)范場（non-Abelian gauge fields）的楊—米爾斯理論，這是外爾規(guī)范場思想的一個漂亮外推。外爾的規(guī)范場是一個經(jīng)典數(shù)量，滿足了乘法交換定律。楊-米爾斯理論有一個不交換的三重規(guī)范場（triplet of gauge fields）。它們滿足量子力學自旋三分量的交換法則，這是最簡單的非阿貝爾躺代數(shù)A2（non-abelian lie algebra A2）的生成子。這個理論后來如此普遍，以至規(guī)范場論成為任何有限元李代數(shù)的生成子。有了這種普遍性，楊—米爾斯規(guī)范場理論為所有已知粒子和其相互作用提供了一個模型框架，這個模型就是今天粒子物理學的標準模型。通過證明愛因斯坦的重力場論適合于同樣的框架，以克里斯托夫三指標符號規(guī)取代范場的作用，楊振寧為這個理論上寫下點睛之筆。
在他1918年一篇論文的附錄里，加上1955年為慶祝他70歲生日而出版的論文選集中，外爾闡述了他對規(guī)范場理論的最后想法（這是我的翻譯）：“對我的理論最強有力的辯護應該是：規(guī)范場不變性與電荷守恒相關(guān)，正如坐標不變性與能量動量守恒的相關(guān)性。”30年后，楊振寧來到瑞士蘇黎世，參加外爾百歲誕辰慶典。楊振寧在演講中引用這段話，作為外爾提出將規(guī)范場不變性作為物理學統(tǒng)一原理的思想證據(jù)。楊振寧繼續(xù)說：“通過理論和實驗的發(fā)展，今天我們已經(jīng)認識到：對稱性、李群和規(guī)范場不變性在確定物質(zhì)世界的基本作用力中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。我將之稱為對稱支配相互作用基本原理?！睂ΨQ支配相互作用的觀點，是楊振寧對外爾言論的概括。外爾發(fā)現(xiàn)規(guī)范場不變性與物質(zhì)守恒定律有密切關(guān)系。但他只能走這一步，不能走得太遠，因為他只知道可交換為阿貝爾域的規(guī)范場不變性。借助于非阿貝爾規(guī)范場產(chǎn)生的非平凡李代數(shù)，場之間形成的相互作用變得獨特，因此，對稱性支配相互作用。這是楊振寧對物理學的偉大貢獻。這是一只鳥的貢獻，它高高地飛翔在諸多小問題構(gòu)成的熱帶雨林之上，我們中的絕大多數(shù)在這些小問題耗盡了一生的時光。
我深深敬重的另一只鳥是俄羅斯數(shù)學家尤里·曼寧（Yuri Manin），他最近出版了一本名為《數(shù)學如隱喻》（Mathematics as Metaphor）的隨筆。這本書以俄文在莫斯科出版，美國數(shù)學協(xié)會將之譯為英文出版。我為英文版書作序。在這里，我簡單引用我的序言:“對鳥們來說，《數(shù)學如隱喻》是一個好口號。它意味著數(shù)學中最深刻的概念是將一個世界的思想與另一個世界的思想聯(lián)系起來。在17世紀，笛卡爾用他的坐標概念將彼此不相干的代數(shù)學和幾何學聯(lián)系起來；牛頓用他的流數(shù)（fluxions）概念將幾何學和力學的世界聯(lián)系起，今天，我們將這種方法稱為微積分學。19世紀，布爾（Boole）用他的符號邏輯（symbolic logic）概念將邏輯與代數(shù)聯(lián)系起來；黎曼用他的黎曼曲面概念將幾何和分析的世界聯(lián)系起來。坐標、流數(shù)、符號邏輯和黎曼曲面，都是隱喻，將詞的意義從熟悉的語境拓展到陌生的語境。曼寧將數(shù)學的未來看成是對可見但仍不可知的隱喻的一個探索。最深刻的一個隱喻是數(shù)論和物理學之間在結(jié)構(gòu)上的相似性。在這兩個領域中，他看到并行概念誘人的一暼，對稱性將連續(xù)與離散聯(lián)結(jié)起來。他期待一種名為數(shù)學量化（quantization of mathematics）的統(tǒng)一?！?div style="height:15px;">
