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統(tǒng)計學習方法第四章貝葉斯估計題

參考1：https://blog.csdn.net/bumingqiu/article/details/73397812

參考2：https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82156281

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一、第一個公式：

其中，

為第種類別，共有種；為樣本數(shù)目；

證：

設(shè)

，且服從參數(shù)為的Dirichlet分布（先驗分布），則有概率質(zhì)量函數(shù)（即離散變量的概率密度函數(shù)）如下：

;

（2）式可改寫成：

設(shè)

為各類別的觀測數(shù)，有：

則根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對先驗分布改進如下：

其中，

，又是與無關(guān)的量，故（5）式可寫為：

設(shè)

服從多項分布，則有：

(7)式可改寫成：

將(3)式和(8)式帶入(6)式，可得：

因此得出結(jié)論，

的后驗概率服從參數(shù)為的Dirichlet分布：

故

的期望有(Dirichlet分布期望公式):

即有：

故原式得證。

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二、第二個公式

其中，

表示第個樣本的第維特征值，表示第維特征可取值個數(shù),表示特征維數(shù)，表示類別數(shù)，為樣本數(shù)；

證明:

參考第一個公式的證明，設(shè)：

，且服從參數(shù)為的Dirichlet分布（先驗分布），則有概率質(zhì)量函數(shù)（即離散變量的概率密度函數(shù)）如下：

 

(2)是可改寫為：

設(shè)

為第維度種特征值的觀測數(shù)，有：

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對(3)式進行改進如下：

其中，

，又是與無關(guān)的量，故（5）式可寫為：

設(shè)

服從多項分布，則有：

(7)式可改寫為：

將(3)式和(8)式帶入(6)式，則有：

因此得出結(jié)論，

的后驗概率服從參數(shù)為的Dirichlet分布：

故

的期望有(Dirichlet分布期望公式):

即有：

于是，原式得證。