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等比數(shù)列：是一種特殊
數(shù)列。它的特點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是一個(gè)常數(shù)。
例如數(shù)列
。
這就是一個(gè)等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，都等于2，2198與2197的比也等于2。我們把像2這樣的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比稱之為
公比，符號(hào)為q。
目錄
[
隱藏]
1 公式1.1 公比公式1.2 通項(xiàng)公式1.3 求和公式1.4 當(dāng)時(shí),等比數(shù)列無限項(xiàng)之和2 性質(zhì)3 參見[
編輯]公式
[
編輯]公比公式
根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：
[
編輯]通項(xiàng)公式
我們可以任意定義一個(gè)等比數(shù)列
這個(gè)等比數(shù)列從第一項(xiàng)起分別是
，公比為q，則有：
a2 = a1q，
a3 = a2q = a1q2，
a4 = a3q = a1q3，
，
以此類推可得，等比數(shù)列
的通項(xiàng)公式為：
an = an ? 1q = a1qn ? 1，
[
編輯]求和公式
對(duì)于上面我們所定義的等比數(shù)列，即數(shù)列
。我們將所有項(xiàng)進(jìn)行累加。
于是把
稱為等比數(shù)列的和。記為：
如果該等比數(shù)列的公比為q，則有：
（利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式） (1)
先將兩邊同乘以公比q，有：
該式減去(1)式，有：(q ? 1)Sn = a1qn ? a1 (2)
然后進(jìn)行一定的討論當(dāng)
時(shí)，
而當(dāng)q = 1時(shí)，由(2)式無法解得通項(xiàng)公式。
但我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)：
= na1
綜上所述，等比數(shù)列
的求和公式為：
經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到另一個(gè)求和公式：當(dāng)q≠1時(shí)
[
編輯]當(dāng)
時(shí),等比數(shù)列無限項(xiàng)之和
由於當(dāng)
及 n 的值不斷增加時(shí),qn的值便會(huì)不斷減少而且趨於0,因此無限項(xiàng)之和:
[
編輯]性質(zhì)
如果數(shù)列
是等比數(shù)列，那么有以下幾個(gè)性質(zhì)：
證明：當(dāng)
時(shí)，
對(duì)于
，若
，則
證明：
∵
∴
等比中項(xiàng)：在等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)。即等比數(shù)列
中有三項(xiàng)
，
，
，其中
，則有
在原等比數(shù)列中，每隔k項(xiàng)
取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列。
也成等比數(shù)列。
[
編輯]參見
等差數(shù)列1個(gè)分類:
序列
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