內(nèi)容來源：本文為吳文俊1986年在國際數(shù)學家大會上的報告，英文原稿收入Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berkeley, California, USA, 1986 第2卷, pp. 1657—1667. 中譯文原載于《自然雜志》第12卷第7期，王志健譯。
作者：吳文?。?919-2017）
一、引言
我們將僅限于討論中國傳統(tǒng)數(shù)學，即從遠古至14世紀。近年來，國內(nèi)外學者對此進行了許多卓有成效的研究，從而對中國傳統(tǒng)數(shù)學的真髓有了相當深刻的認識。筆者將隨意引用他們的研究成果，但對在本文表述的觀點，則負完全責任。
我們的研究必須遵循兩項基本原則。
原則一引出的所有結(jié)論都必須依據(jù)幸存至今的原始文獻。
原則二 引出的所有結(jié)論都必須依據(jù)我們祖先的特有方式去論證。應用的知識、所用的輔助手段和方法都僅僅限于古代。
根據(jù)原則一，在以后的敘述中，我們要反復引用下列文獻：
《九章算術(shù)》，于公元50年明確成型；
《九章算術(shù)注》，劉徽，公元263年；
《海島算經(jīng)》，劉徽，公元263年；
《數(shù)書九章》，秦九韶，公元1247年。
根據(jù)原則二，我們強調(diào)，在代數(shù)和幾何的推演中，不得使用代數(shù)符號演算，不得添加平行線，因為在中國傳統(tǒng)數(shù)學中沒有這些手段。事實上，中國傳統(tǒng)數(shù)學有著自己的發(fā)展路線、思維方式和表達風格。它與作為希臘遺風的西方數(shù)學不僅毫無關(guān)聯(lián)，而且差別極大。在詳盡具體研究中國傳統(tǒng)數(shù)學的成就之前，我們先指出它的幾個特點。
第一，中算家不用筆算，而用算籌在籌算盤上作籌算。中算家很早就發(fā)明了完善的十進位制記數(shù)法，這就使得把算籌排在籌算盤上的適當位置上表示整數(shù)成為可能。尤其是，在十進位值制記數(shù)法中，只要在某個恰當?shù)奈恢蒙狭粢粋€空位便能很好地將0表示出來。其實“數(shù)學”在中國歷來稱為“算術(shù)”，它的意思是“計算的方法”。
第二，中國傳統(tǒng)數(shù)學的成果通常表達為分類問題集的形式，每個問題則分為若干條目。條目一是“問”，即帶數(shù)據(jù)的實際問題陳述。條目二是“答”，給出這問題的數(shù)字解。條目三是“術(shù)”，即得出結(jié)果的方法，常常就是我們今天所說的“算法”，有時也是公式或定理。要注意，條目一中的數(shù)據(jù)在算法中不起多大作用，方法則具有普遍意義，在問題中可以任意替換為其他數(shù)據(jù)，條目一僅僅起著舉例的作用。條目四是“注”，說明條目三中算法的根據(jù)及理由。宋代以后，往往添加了一個條目五，“草”，它包含了獲得最后結(jié)果的詳細運算過程。
二、數(shù)論
本節(jié)中，我們所談到的整數(shù)指的是都是正整數(shù)。
中國傳統(tǒng)數(shù)學沒有素數(shù)和因子分解之類的概念。然而，它有求兩整數(shù)的最大公約數(shù)——稱為“等”——的方法，就是“更相減損術(shù)”。算法始下：
“以少減多，更相減損，求其等也?！?/p>
例如24與15的等是3，就是按下述方法求得的：
正如劉徽在《九章算術(shù)注》中指出的，這個算法的原理是：在運算過程中，整數(shù)逐步減小，但其等卻始終保持不變。
盡管實際上在我國古代從未引入素數(shù)概念，但中算家卻在數(shù)論研究中取得了非凡的成就。我們介紹其中兩項，它們是中國南京大學莫紹揆和西北大學李繼閔的研究成果。
在中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的漫長歲月中，勾股形——直角三角形——是一個頗受寵愛的研究對象。尤其是，可以作為勾股形中勾、股、弦——短直角邊、長直角邊和斜邊——的長度的三元整數(shù)組，在典籍《九章算術(shù)》中已被完全確定。在第九章勾股章中，列出了8個這樣的三元數(shù)組：
（3，4，5），（5，12，13），
（7，24，25），（8，15，17），
（20，21，29），（20，99，101），
（48，55，73），（60，91，109）。
列出這三元數(shù)組絕非湊巧，實際上，在這章的問題十四中已經(jīng)包含了一個求這種一般形式的三元數(shù)組的方法。我們把此題抄錄如下：
“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙會。問甲乙行各幾何?！?/p>
解題的“術(shù)”是這樣的：
“令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減于七自乘，余為南行率。以三乘七為東行率?！?/p>
在第一節(jié)中我們已經(jīng)指出，特殊數(shù)值7和3在問題中僅僅起著舉例說明的作用，完全可以用任意一對整數(shù)m、n（m>n>0）來代替這兩個數(shù)?！靶g(shù)”就是說，三條邊有這樣的比率：
前列的8個三元數(shù)組完全可以由下列整數(shù)對用這個方法定出來：
（m，n）=（2，1），（3，2），（4，3），（4，1），（5，2），（10，1），（8，3），（10，3）。
在劉徽的《九章算術(shù)注》里，對幾何性質(zhì)所作的證明依據(jù)了一個普遍原理：出入相補原理，第三節(jié)要對它作詳細說明。在這里我們要指出，劉徽的證明同時顯示了，m:n實質(zhì)上就是（勾+弦）對股的比率，只要勾:股:弦的比率為整比率，m:n也為整比率。
作為第二個例子，我們來討論“求一術(shù)”。眾所周知，當今它被稱為“中國剩余定理”。新近的研究表明，這種算法是自漢代以來編歷時開創(chuàng)的，沿著十分清晰的路線，發(fā)展為1247年秦九韶《數(shù)書九章》中的形式。在秦九韶著作的序言里，他說，《九章算術(shù)》沒有這個方法，也沒有人知道怎樣推演它，但是編歷者卻廣泛運用它?！稊?shù)書九章》第一卷首先闡明了這個方法。此章有9個問題，包括歷表編制、河堤修筑、財物計算、租稅分配、谷物出售、軍隊計點、土木建筑，甚至還有一個盜竊追贓的案例。所有這些題目都化歸為一個問題，用現(xiàn)代符號寫出來就是：
其中Uj, Mj為已知數(shù)，U則為待求，整數(shù)被秦九韶稱為“定母”（模數(shù)），即固定分母的意思，它們不必是兩兩互素的。秦九韶首先反復應用更相減損術(shù)把問題化歸為模數(shù)兩兩互素的情形，因此我們在下面的討論中可以只限于Mj兩兩互素的情形。
按現(xiàn)代數(shù)學，(2.2)的解可沿下述方法求得（可參見Knuth的《計算機編程藝術(shù)》第二卷250頁）。
記 φ(N) 為整數(shù)N的Euler函數(shù)，可通過把N分解為素因子來求出它。令
則(2.2)的解由下式給出：
解法和結(jié)果都簡潔而優(yōu)美。但由于分解N很困難，對于秦九韶著作中的9個問題，即便是借助于現(xiàn)代的電子計算機，也很難得到最后的答案。
秦九韶的算法則是如下進行。
第一步，取M/Mj模Mj的余數(shù)Rj，稱為“奇數(shù)”，是個專門名詞?，F(xiàn)在求出滿足下式的Kj：
所求的最終解由下式給出：
秦九韶稱為“乘率”，是一個專門名詞。求出滿足(2.4)的的算法被秦稱為“大衍求一術(shù)”。“求一”是尋找數(shù)1的意思，“大衍”則是一個哲學術(shù)語， 我們不必去管它。求一術(shù)的第一步是由4個已知數(shù)組成一個方陣：1、0（空格）、、分別放于方陣的左上（LU）、左下（LL）、右上（RU）、右下（RL）：
注意這4個數(shù)顯然符合下面的關(guān)系：
算法的下一步是進行運算，使方陣中4個數(shù)逐步減小同時保持（2.6）成立。運算到最后，右上數(shù)減小到1，根據(jù)（2.6），左上數(shù)即為所求的乘率。從下述的算法細節(jié)可以看出，求一術(shù)原理與求兩整數(shù)之等的更相減損術(shù)類同，只是復雜些。其算法是：
“置奇右 ，定居右上，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商數(shù)與左上一相生入左下，然后乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數(shù)，隨即遞互累乘，歸左行上下。須使右上末后奇一而止，乃驗左上所得，以為乘率?！?/p>
作為具體例子，我們舉出秦的著作中的問題九，它是一宗盜竊案的追贓斷結(jié)。審案法官可用此算法確定3個賊人中每人所偷稻谷的數(shù)量。對于第一個賊人，相應的乘率是這樣確定的：
于是得K1=15。我們可以把這個運算程序與（2.1）的運算過程相比較。
上面例題的數(shù)據(jù)在秦九韶著作的9個問題中是最簡單的，但用 Euler 函數(shù)法來算已經(jīng)很不容易了。另外8題包含了天文數(shù)字般的大數(shù)，非 Euler 函數(shù)法力所能及，但秦九韶卻用求一術(shù)容易地解決了它們。
三、幾何
與人們通常的成相反，中國古代的幾何學的研究很深入并且很發(fā)達。誤解大概是出于這樣的事實：中國傳統(tǒng)幾何在內(nèi)容上和表現(xiàn)形式與歐幾里得的那一套由定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系。相反，中算家不去建立公理，而是提煉少數(shù)普遍而合理的一般原理。依據(jù)這些原理，就可以用演繹的方式發(fā)現(xiàn)和證明形形色色的幾何結(jié)論。劉徽的《九章算術(shù)注》就是這樣做的。
中國傳統(tǒng)幾何與歐幾里得幾何的著重點也截然不同。我們的祖先從未考慮平行性，相反，對直線的垂直性非常關(guān)心。事實上，勾股形，也就是直角三角形，在幾千年的發(fā)展歷程中，一直占據(jù)著幾何研究的中心位置。其次，中算家不怎么關(guān)心角度，但卻很重視距離。再次，中國傳統(tǒng)幾何學研究總是緊密結(jié)合著應用，因此，測量、面積和體積計算就是中心研究課題。最后，幾何學一直與代數(shù)同步發(fā)展，到宋元時便育成了幾何的代數(shù)化。李約瑟正確地指出，這個發(fā)展乃是走向創(chuàng)立解幾何重要的第一步（甚至是決定性的一步）。
我們通過例子說明這些觀點。
例1 日高公式
在地面上相隔一定距離處立等高的兩表（古代測日影的標桿）G1, G2，日光照表的影子即可測到，于是從地面算起的日高便可求出：
漢代以前的著作就已描述了這個公式，在其后的編歷工作中又經(jīng)常用它。但它顯然只是粗略而不可靠的概算。因此，劉徽便把它移植到大地測量，用海島代替太陽，把日高公式變?yōu)楹u公式。他的《海島算經(jīng)》中共有9個應用這類公式的問題，上述公式是其中第一個，也是最簡單的一個。書中有證明和附圖，宋朝的一些著作還提到了這些圖和證明，但以后就失傳了。依據(jù)公元30年趙爽著作中殘缺不全的顏色圖，筆者重新整理了這本著作中的論據(jù)，對上述的日高公式或海島公式重作證明如下。
如圖1，黃1與黃2面積相等，黃1加青3與黃2加青6面積也相等。表距與表高乘積等于黃1的面積。黃2的寬就是影差，黃2除以影差便是黃2的高，它就是從表頂水平面算起的日高，加上表高便得從面算起的日高。
從圖1看，海島公式的這個證明非常清楚。
例2 出入相補原理
在例1中，各種圖形面積的相等乃是出入相補原理的結(jié)論，在《九章算術(shù)注》中，這個原理簡單地表述為：一個平面（或立體）圖形被分割成若干塊并移至他處，其總面積（或體積）保持不變。這個看來極平凡的原理被成功地用來解決各式各樣的有時甚至意想不到的問題，例1便是一例。
勾股形可作為更深入應有這個原理的例子。由勾、股、弦三邊組成不同的和與差，如勾股和、勾弦差等。勾、股、弦及它們兩兩之間的和、差共9個數(shù)，在《九章算術(shù)》第九章勾股章里，有不少用這9個數(shù)中的兩個為求出勾、股、弦的問題，它們都是依據(jù)出入相補原理解出來的。特別是，我們在第二節(jié)中敘述過的勾股數(shù)組公式就是應用這個原理于問題十四而求得的。問題十四事實上是已知勾弦和對股的比率而求第三邊，劉徽應用出入相補原理給出了如下證明。
如圖2，
在《數(shù)書九章》里，有一個三角形三邊求面積的公式：
顯然它與 Heron 公式等價，但形式復雜，而 Heron 公式優(yōu)美簡潔。當然，前者不會從后者推導出來。應用《九章算術(shù)》中問題十四的公式，依據(jù)出入相補原理，筆者按照中國傳統(tǒng)數(shù)不的思路，自然地重新證明了秦九韶的這個公式。
Heron（海倫）公式
我們強調(diào)，中國傳統(tǒng)的求（平方和立方）根及解方程的方法實質(zhì)上都依據(jù)了出入相補原理這個幾何特性的原理。我們還強調(diào)，《海島算經(jīng)》中極難理解的公式，乃是應用出入相補原理自然而然得到的結(jié)果。若應用歐幾里得的方法，則似乎很難推出這些公式，或者至少是非常迂回曲折和極不自然的。
例3 體積
只依據(jù)出入相補原理，便能求得任意多邊形的面積。對于求多面體的體積，卻不能照此類推。劉徽對此很清楚。因而，他按如下推理完美地解決了這一難題。
把一個長方體斜剖為兩個相等的部分，稱為塹堵，再把塹堵斜分為二，一個（棱錐）稱陽馬，另一個（特殊形狀的四面體）稱鱉臑（圖3）。劉徽用了一個極其巧妙的相當于極限過程的推理，得到一個結(jié)論，筆者命之為劉徽原理：
“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”
這個原理與出入相補原理結(jié)合可解決任意多面體的體積問題?！毒耪滤阈g(shù)》第五章商功章中一批優(yōu)美的體積公式都可用這個方法求得。劉徽對這個原理的證明既優(yōu)雅又嚴謹，他把一個大塹堵剖分為很多小陽馬。從圖3可清楚地看出，
1陽馬－2鱉臑 = 2×（1小陽馬－2小鱉臑）.
繼續(xù)做下去，等式右側(cè)變得越來越小，最后變得可以忽略，于是劉徽得出結(jié)論：
“半之彌少，其余彌細。至細曰微，微則無形。由是言之，安取余哉。”
更詳盡的論述可以參看 Wagner 的出色論文（Donald B. Wagner, An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D., Historia Math. 6 (1979), 169-188.）?！敬颂幘幷呶茨芸炊瑧┱埫靼椎淖x者在評論區(qū)指教】
劉徽還研究了曲面體體積、尤其是球體體積的求法。他指出在一立方體中作兩內(nèi)切圓柱體。其交叉部分形成的特殊曲體（牟合方蓋）體積的確定乃是求球體體積關(guān)鍵。劉徽本人經(jīng)過周密的思考，未能解決。他采取出嚴肅的態(tài)度，決定把它留給下一代人，他說：
“敢下闕疑，以待能言者?！?/p>
牟合方蓋
劉徽敏銳觀察被繼承下來，導致5世紀時祖暅完滿地最終解決了這個難題。祖暅是偉大的數(shù)學家、天文學家、機械學家祖沖之的兒子。事實上，祖暅獲得了一個普遍原理，后來它重新發(fā)現(xiàn)時又被稱為Cavalieri 原理：
“緣冪勢既同，則積不容異。”
祖暅對于球體體積公式有一個優(yōu)美的證明，我們將在另文介紹。值得注意的是，劉徽已經(jīng)在《九章算術(shù)注》中應用這個原理求得多種簡單曲體的體積。雖然沒有明確陳述，但確實使用了它。為此，筆者提議應該把我國數(shù)學課本里所稱的祖暅原理改稱為劉祖原理。
總之，出入相補原理、劉徽原理和劉祖原理足以建立整個體積理論，就像我們祖先所做的那樣。
四、代數(shù)
毫無疑問，代數(shù)乃是中國傳統(tǒng)數(shù)學更為發(fā)達的分支。應該指出，在古代，代數(shù)實質(zhì)上等同于解方程。解方程的問題似來源于兩個方面。一個來源于商業(yè)貿(mào)易和貨物交換，這導致遠古的盈虧術(shù)直到《九章算術(shù)》第八章所描述的方程術(shù)。這一章詳述了線性聯(lián)立方程組的解法并引進了負數(shù)。按中國現(xiàn)代語言，“方程”這一術(shù)語的最好解釋就是“方陣”。實際上，“方”的字面意義為正方形或“矩形”；“程”，按劉徽在《九章算術(shù)注》里的解釋，就是把數(shù)據(jù)在盤上擺成矩陣：
“并列為行，故謂之方程”。
因此，解法便是縱橫移動算籌，按現(xiàn)代術(shù)語那就是消元法。在《九章算術(shù)注》中可以找到逐步將方陣化為標準型的詳細步驟的例子。
方程的另一來源是測量或幾何問題，例如在日高研究中就有日高和太陽與觀察者之間水平距離這兩個公式。太陽與觀察這間距離當然用古已熟知的勾股定理來確定，這就需要求平方根。勾股定理的證明和求平方根顯然要依賴出入相補原理，求立方根也是如此。在《九章算術(shù)》的第九章勾股章中還有一個從出入相補原理自然引出的二次方程問題。解這類方程還有個專門術(shù)語：“開帶從平方”，這顯然蘊含了方程的來源和解法。
方程的這一源流最遲發(fā)展到唐朝成為解三次方程，到了宋朝終于完成了高次方程的數(shù)值解法。1819年，Horner 又重新發(fā)現(xiàn)了這個方法。
宋元時期（10--14世紀）“天元”這個概念的引入是極為重要的發(fā)現(xiàn)，它就是現(xiàn)在所說的未知數(shù)。雖然解方程在數(shù)千年的數(shù)學發(fā)展中占據(jù)著中心地位，但這才第一次對未知數(shù)引入了正確的概念并系統(tǒng)使用。當時，中算家清楚地認識到，天元術(shù)具有非常強大的威力，正如在朱世杰著作中所表述的：天元術(shù)既闡明基礎(chǔ)原理，又提供通用解法，且省卻大量勞動。
在宋元，天元術(shù)進一步發(fā)展為解四元高次聯(lián)立方程組，同時，幾何代數(shù)化、多項式運算和消元法也發(fā)展起來。方程求解的兩個源流合而為一，已經(jīng)接近現(xiàn)代意義的代數(shù)了。因為在籌算盤上運算，多項式中各項系數(shù)要擺在盤上的固定位置，這一事實規(guī)定了未知數(shù)的個數(shù)只能以4個為限。只要一旦擺脫籌算而改用其他的運算體系，中國數(shù)學就會進入繁榮昌盛時代。當時與阿拉伯世界密切交流，受他們影響比任何時候都大，傳入其他運算體系是完全有希望 ?？上В栽?，中國數(shù)學停止向前發(fā)展并且中斷了。當利瑪竇在明代來到中國時，已經(jīng)沒有中國學者懂得《九章算術(shù)》了！
五、結(jié)束語
由于篇幅有限，我們來不及論述中國傳統(tǒng)數(shù)學的其他成就，如：極限概念、高階差分、級數(shù)等等?？傊?，中國傳統(tǒng)數(shù)學的特色是構(gòu)造性、計算性和機械化，經(jīng)典著作的那些“術(shù)”大多數(shù)可以容易地改寫成實現(xiàn)計算功能的程序。實際上，中國傳統(tǒng)數(shù)學慣于從具體對象中抽取其內(nèi)在本質(zhì)，然后綜合這些本質(zhì)提煉出簡明的原理。它們論述簡單而應用廣泛，形成中國傳統(tǒng)數(shù)學極不平凡的特色。重點在于始終著眼于處理實際問題，在于簡單合情的原理和普遍方法。同樣的思想也體現(xiàn)在諸如代數(shù)化和十進位值制記數(shù)法之類的出色成就中?？偟恼f來，中國傳統(tǒng)數(shù)學有它自己獨特的風格，然而它中斷了。蔑視我們祖先輝煌成就——如同在明朝時那樣——是不能容忍的。拒絕吸收外國的先進技術(shù)——如在初唐時那樣——也是荒唐的，那時，已經(jīng)傳入印度數(shù)字的書寫體系，但卻由于堅持籌算而拒絕采用。
在充分認識我們傳統(tǒng)思維方法的威力和吸收當代高度發(fā)達的國外技術(shù)的基礎(chǔ)上，我們可以預料，中國數(shù)學將進入蓬勃發(fā)展的新時代。
編輯：孫志躍 | 校對：林開亮
傳播數(shù)學，普及大眾
長按識別二維碼關(guān)注我們
歡迎把我們推薦給你身邊的朋友
▼
▼▼▼點擊閱讀原文發(fā)現(xiàn)更多好玩的數(shù)學。
