他（阿基米德）將他全部的情感和野心完全的投注在那些單純的猜測里頭，而在那里可能不需要有庸俗的生活。 ——普魯塔克（Plutarch）
阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家（靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，享有“力學(xué)之父”的美稱）、發(fā)明家、工程師、天文學(xué)家。
近代數(shù)學(xué)史家貝爾（E.T.Bell）說：“任何一張列出有史以來三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個(gè)通常是牛頓和高斯。不過以他們的豐功偉績和所處的時(shí)代背景來比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德．”
阿基米德的工作成就最好地代表了亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)特性。
數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)項(xiàng)——菲爾茲獎(jiǎng)的獎(jiǎng)?wù)?/p>
正面是阿基米德頭像，反面的背景是阿基米德墓碑上的圓柱體內(nèi)切球圖案。
一、阿基米德生平
公元前287年，阿基米德（名字的意思是大思想家）出生于希臘西西里島敘拉古（Syracuse，今意大利錫拉庫薩）附近一個(gè)小村莊的貴族家庭，與敘拉古的赫農(nóng)王（King Hieron）有親戚關(guān)系。阿基米德的父親是天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，學(xué)識淵博，為人謙遜。受家庭的影響，阿基米德從小就對數(shù)學(xué)、天文學(xué)特別是古希臘的幾何學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，喜愛涂抹圖形、拼湊器物，對于大自然的諸多現(xiàn)象也慣于窮根究底。
敘拉古遺址
公元前267年，阿基米德被父親送到埃及的“智慧之都”——亞歷山大城，師從歐幾里得的學(xué)生埃拉托斯特尼（Eratosthenes，曾任亞歷山大圖書館館長）和卡農(nóng)（Canon）。阿基米德在這里學(xué)習(xí)和生活了許多年，兼收并蓄了東方和古希臘的優(yōu)秀文化遺產(chǎn)，奠定了日后從事科學(xué)研究的基礎(chǔ)。以后離開亞歷山大回到敘拉古，他也一直與那里的學(xué)者保持聯(lián)系。
難能可貴的是，阿基米德深諳理論與實(shí)踐相結(jié)合的道理，努力使研究成果付諸實(shí)施。他提出了杠桿原理（給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬起整個(gè)地球），發(fā)明了天象儀（planetarium，一個(gè)用水力推動(dòng)的模仿太陽、月球和行星運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)）、螺旋提水器等，還為敘拉古國王造了一組復(fù)雜的滑車可以把船吊到海里。
阿基米德螺旋提水器
這個(gè)螺旋器的發(fā)明契機(jī)非常意外！一次，阿基米德在尼羅河邊散步，看到附近的農(nóng)夫都從尼羅河汲水，再提到地勢高的農(nóng)田澆灌，非常吃力。他想有沒有一種工具能直接從河里汲水灌溉，一解提水之苦呢？于是回到寓所后，阿基米德便投入到了緊張的論證、設(shè)計(jì)中，并最終成功研制出了一種由傾斜放置的筒體和帶有寬闊螺旋面螺桿組成的螺旋型器械。具體使用方法也非常簡單，只需將器械一端置于尼羅河，另一端架于農(nóng)田上，當(dāng)搖動(dòng)螺旋器手柄時(shí)，尼羅河水就在兩螺旋面之間逐漸上升，最后從頂部源源不斷地向地勢高的廣袤農(nóng)田涌去。埃及一直到二千年后的現(xiàn)代，還有人使用這種器械。這個(gè)工具成了后來螺旋推進(jìn)器的先祖。
公元前218年，敘拉古和羅馬帝國之間發(fā)生戰(zhàn)爭。阿基米德發(fā)明了不少御敵武器。
公元前212年，阿基米德被羅馬士兵殺死，終年七十五歲。傳說當(dāng)時(shí)阿基米德正全神貫注在沙地上畫數(shù)學(xué)圖形，面對羅馬士兵的喝問，傲慢地說：“走開，別動(dòng)我的圖?！苯Y(jié)果被發(fā)怒的士兵刺死。羅馬統(tǒng)帥馬塞拉斯對阿基米德的死非常惋惜，他將那個(gè)士兵當(dāng)作殺人犯予以處決，為阿基米德舉行了隆重的葬禮，并修建了一座陵墓，在墓碑上根據(jù)阿基米德生前的遺愿，刻上了'圓柱內(nèi)切球'這一幾何圖形。
二、阿基米德的數(shù)學(xué)成就
阿基米德的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他的許多著作的手稿一直保存到現(xiàn)在，一些數(shù)學(xué)史家都把他的原著譯成現(xiàn)代文字。例如，希思（T.L.Heath）的英譯本、茲瓦利那的德譯本、維爾·埃斯克（P.Ver.Ee-cke）的法譯本，還有荷蘭的迪克特赫斯(E.J.Dijksterhuis)的名著《阿基米德》。其著作涉及的范圍很廣，也說明他對前人在數(shù)學(xué)中的一切發(fā)現(xiàn)具有淵博的知識。多半是幾何內(nèi)容的著作，也有一部分力學(xué)和計(jì)算問題的著作。在這些著作中的幾何方面，他補(bǔ)充了許多關(guān)于平面曲線圖形求積法和確定曲面所包圍體積方面的獨(dú)創(chuàng)研究，并預(yù)見到了極微分割的概念，這個(gè)觀念在17世紀(jì)的數(shù)學(xué)中起到了重要作用，其本身就是微積分的先聲，但缺乏極限概念。
1.《論球與圓柱On the Sphere and Cylinder》
第一篇先講述定義和假定（或公理），第一個(gè)假定即兩點(diǎn)之間直線最短，其它的包括凹曲線的長度和曲面等。然后證明了一些定理：
命題13：任一正圓柱（不計(jì)其上下底）的表面積等于一圓的面積，該圓半徑是圓柱高于底直徑的比例中項(xiàng)。
命題33：任一球面積等于其大圓面積的四倍。
命題34的推論：以球的大圓為底、以球直徑為高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其包括上下底在內(nèi)的表面積是球面積的3/2。（這就是刻在他墓碑上的著名定理）
命題42和43：球缺ALMNP的表面積等于以AL為半徑的圓的面積。
另外阿基米德用內(nèi)接和外切的直邊形來“窮竭”曲面形的面積或體積，然后也同歐幾里得一樣用間接法證明。
第二篇內(nèi)容主要是關(guān)于球缺的，其中有些定理含有新的幾何代數(shù)內(nèi)容：
命題4：用平面割球?yàn)閮啥?，使其體積之比等于所給之比。這個(gè)問題從代數(shù)上講相當(dāng)于解三次方程（a-x）：c=b2：x2。阿基米德通過求一拋物線與一等軸雙曲線的交點(diǎn)，用幾何方法解出這一方程。
2.《論錐型體與球型體On Conoids and Spheroids》
該書論述圓錐曲線旋轉(zhuǎn)形體的性質(zhì)，講的是確定由拋物線和雙曲線繞其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。許多證明是用窮竭法的。
命題5：若a和b分別是以橢圓的長、短軸，d是任一圓的半徑，則橢圓與圓的面積之比等于ab與d2之比（即橢圓面積為πab）。
命題7：給定中心為C的一橢圓，以及垂直于橢圓所在平面的一根直線CO，可作一以O(shè)為頂點(diǎn)的圓錐，使所給橢圓為其一截面。
命題11：若一旋轉(zhuǎn)拋物體為一通過軸或平行于軸的平面所截，則截面為原來生成那旋轉(zhuǎn)體的拋物線所圍平面......若以垂直于軸的平面截，則截面是中心在軸上的圓。對旋轉(zhuǎn)雙曲線和（橢）球體也有類似結(jié)果。
命題21：旋轉(zhuǎn)拋物體任一截段的體積是同底同軸圓錐或錐臺體積的兩倍。
命題24：若以任意兩平面從旋轉(zhuǎn)拋物體截出兩段，這兩截段體積之比等于其軸的平方之比，即下圖的兩截段體積之比等于AN2比AN`2。對旋轉(zhuǎn)雙曲線和（橢）球體也有類似結(jié)果。
3.《論方法The Method》
這一短篇論文指出怎樣用力學(xué)的思想得出正確的數(shù)學(xué)定理，記述了阿基米德結(jié)合靜力學(xué)和流體力學(xué)研究大量的關(guān)于計(jì)算長度、面積、體積和重心等有關(guān)幾何問題。其要點(diǎn)是：體積由面積構(gòu)成，面積由彼此平行的直線構(gòu)成。每條直線都有重量，而且與它們的長度成正比。因而可以把問題轉(zhuǎn)化為使未知幾何圖形與已知幾何圖形相互平衡以求重心，其中利用杠桿原理確定拋物弓形面積，球和球冠面積，旋轉(zhuǎn)雙曲體體積就是例證。
弓形ABC面積：△CFA面積=1:3；弓形ABC面積：△ABC面積=4:3
實(shí)際上，這是通往積分的較快的迂回之路。阿基米德信心百倍地預(yù)言：“一旦這種方法確立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后繼者，就會利用這個(gè)方法又發(fā)現(xiàn)另外一些定理，而這些定理是我所預(yù)想不到的?！卑⒒椎聻榱四茉跀?shù)學(xué)中確立發(fā)現(xiàn)問題的方法，并給出了邏輯證明。
阿基米德的預(yù)言終于在近2000年之后得以實(shí)現(xiàn)。18世紀(jì)，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）由物理知識推測到了三角級數(shù)形式的弦振動(dòng)的微分方程的一般解。19世紀(jì)中葉黎曼（G.F.B.Riemann）由電學(xué)理論確定在每一個(gè)封閉的黎曼曲面上都存在著通常有解的代數(shù)函數(shù)。
4.《論拋物線求積法On Quadrature of the Parabola》
該書研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法（實(shí)際上求出了無窮幾何級數(shù)的和）和間接證法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學(xué)權(quán)重方法再次驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來。阿基米德的嚴(yán)格性比牛頓和萊布尼茨著作中的論證更高明。
下面是阿基米德的簡略證明，可以揭示他的研究方法。
AQ1Q4是一拋物線弓形，拋物線頂點(diǎn)為A（如上圖）。Q1Q4交拋物線的軸于O點(diǎn)，Q1O和Q4O各在Q2和Q3處平分，可證S△BQ1A=1/4S△Q1AO，同理S△ADQ4=1/4S△AOQ4。采用同樣方法重復(fù)把Q1Q2，Q2O平分就可證明拋物線弓形面積是
這里△是指△AQ1Q4。
然而阿基米德沒有求極限的觀念，他是用歸謬法來證明他的結(jié)論的。這種證法的要點(diǎn)是，如果所求面積不等于給定的面積S，它就一定同時(shí)大于它又小于它．而這是不合理的，由此得證。
5、《論螺線On Spirals》
有人認(rèn)為，從某種意義來說，這是阿基米德對數(shù)學(xué)的全部貢獻(xiàn)中最出色的部分。許多學(xué)者都在他的作螺線切線的方法中預(yù)見到了微積分方法。值得稱道的是，他用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)定義數(shù)學(xué)對象，如果一條射線繞其端點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)，同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)從端點(diǎn)開始沿射線作勻速運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)點(diǎn)就描出一條螺線。這種螺線后來稱為“阿基米德螺線”。
螺線有一個(gè)基本性質(zhì)，把矢徑的長度和初始線從初始位置旋轉(zhuǎn)時(shí)所通過的角度聯(lián)系起來，現(xiàn)在都以r＝aθ這個(gè)方程來表示。此基本性質(zhì)是以命題14出現(xiàn)的。阿基米德然后證明了命題24：螺線第一圈與初始線所圍的面積等于第一個(gè)圓的三分之一。又如有一直線在螺線的末端與螺線相切’并從固定端另作一直線垂直于旋轉(zhuǎn)一周后返回到原處的直線，以致與切線相遇，我認(rèn)為這樣做成的與切線相遇的直線，就等于這個(gè)圓的圓周。
證明也使用窮竭法，新穎之處在于用越來越小的扇形而不是直邊形。
6、《圓的度量Measurement of a Circle》
利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率π為：3.14163＜π＜3.14286，這是數(shù)學(xué)史上最早的，明確指出誤差限度的π值。在進(jìn)行證明時(shí)，阿基米德避免了借助無窮小量這個(gè)概念，因?yàn)檫@個(gè)概念一直是希臘人所懷疑的。他考慮了內(nèi)接多邊形和外切多邊形。他確立這個(gè)基本原理的方法是說明并證明：“給定二不等量，則不論大量與小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出兩條直線，使得較長的與較短的之比更小(大于1)；(2)作一圓或扇形的相似外切多邊形和內(nèi)接多邊形，使得外切多邊形的周長或面積，與內(nèi)接多邊形的周長或面積之比小于給定的比”。然后就像歐幾里得所做過的那樣，他證明如果不斷把邊數(shù)加倍，最后會留下一些弓形，它們加起來比任何指定的面積都要小。阿基米德對此做了一點(diǎn)補(bǔ)充，即指出若把外切多邊形的邊數(shù)增加到足夠多，就能使多邊形的面積與圓的面積之差，小于任何給定的面積。
該書中還給出了3的平方根的近似值，介于265?153 (約為1.7320261)和1351?780 (約為1.7320512)之間。其實(shí)際值大約為1.7320508，這是一個(gè)非常準(zhǔn)確的近似值。他直接給出了結(jié)果卻沒有給出任何計(jì)算方法的解釋。由此，約翰·沃利斯作出如下評價(jià)：“這就像是故意的，似乎阿基米德已經(jīng)決定不向后人們透露他的算法的秘密，只是強(qiáng)迫他們接受他的結(jié)果?！?/p>
他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積。
7.《砂粒計(jì)算The Sand Reckoner》
是專講計(jì)算方法和計(jì)算理論的一本著作。阿基米德要計(jì)算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運(yùn)用很奇特的想象，建立新的量級計(jì)數(shù)法，確定新單位，提出表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運(yùn)算是密切相關(guān)的。
在阿基米德之前，希臘人的計(jì)算擴(kuò)大到不超過10000，并將10000叫做無數(shù)之多。阿基米德把無數(shù)之多當(dāng)作一種新的單位，把無數(shù)之多引入計(jì)算，并且提出了更高位的單位。據(jù)說阿基米德向希臘數(shù)學(xué)家們提出過一個(gè)“群牛問題”，是要從7個(gè)方程中，得出8個(gè)正整數(shù)解，最后歸結(jié)為一個(gè)二次不定方程X2－472949Y2＝1，這個(gè)方程的解的位數(shù)相當(dāng)大。
8.《平面的平衡On Plane Equilibriums》
關(guān)于力學(xué)的最早的科學(xué)論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。
9.《論浮體On Floating Bodies》
流體靜力學(xué)的第一部專著，阿基米德把數(shù)學(xué)推理成功地運(yùn)用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學(xué)公式表示浮體平衡的規(guī)律。阿基米德證明物體在液體中所受浮力等于它所排開液體的重量，這一結(jié)果后被稱為阿基米德原理。他還給出正拋物旋轉(zhuǎn)體浮在液體中平衡穩(wěn)定的判據(jù)。
古羅馬建筑師維脫羅衛(wèi)(Vitruvius)記述的阿基米德發(fā)現(xiàn)浮體規(guī)律的故事：有一次敘拉古國王赫倫Hieron)讓人制造純金的皇冠，做成后懷疑工匠摻假，便請阿基米德來鑒定。阿基米德百思不得其解。一天，他到公共浴池洗澡，當(dāng)浸入裝滿水的浴盆時(shí)，水漫溢到盆外，而身體重量頓覺減輕。他忽然想到不同質(zhì)料的東西，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水必不相等。根據(jù)這一道理，不僅可以判斷皇冠是否摻有雜質(zhì)，而且知道偷去黃金的重量。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使阿基米德欣喜若狂，他光著身子跑出浴池，大聲喊：“尤里卡、尤里卡（找到了）！”。
10.《引理Liber Assumptorum》
阿基米德最早的著作，其中含有15個(gè)命題，例如：
命題2：如果做正方形的外接圓與內(nèi)切圓，那么外接圓的面積等于內(nèi)切圓面積的兩倍。
命題3：如果在圓內(nèi)作兩條相交成直角的弦，那么由交點(diǎn)分成的4條線段的平方和等于直徑的平方。
11.《盒子Stomachion》
在這部殘卷中記載了阿基米德經(jīng)由一種類似七巧板的圖形游戲，研究以十四片碎片組成正方形的所有拼法（一共17152種方法，并可分成536個(gè)大類），成為組合學(xué)最早的開端。
阿基米德著作中作出的所有結(jié)論都是在沒有代數(shù)符號的情況下獲得的，證明的過程頗為復(fù)雜，但他以驚人的獨(dú)創(chuàng)性，將熟練的計(jì)算技巧和嚴(yán)格的證明融為一體，并將抽象的理論與工程技術(shù)的具體應(yīng)用緊密結(jié)合起來，將希臘數(shù)學(xué)推向一個(gè)新階段。
阿基米德的所有著作都以精確和嚴(yán)謹(jǐn)著稱。正如數(shù)學(xué)史家希思所說，“這些論著毫無例外地都是數(shù)學(xué)論文的紀(jì)念碑。解題計(jì)劃的逐步啟示，命題次序的巧妙排列，嚴(yán)格排除與目的沒有直接關(guān)聯(lián)的一切東西，對整體的潤飾——其完美性所給人的印象是如此之深，以致在讀者心中能產(chǎn)生一種近乎敬畏的感情?！?/p>
阿基米德對數(shù)學(xué)和物理的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，為社會進(jìn)步和人類發(fā)展做出了不可磨滅的影響，即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實(shí)驗(yàn)天才合于一人的理想化身”，文藝復(fù)興時(shí)期的達(dá)芬奇和伽利略等人都拿他來做自己的楷模。
下一講海倫公式、蚌線和蔓葉線。
