在我看來，一個人如果要在數(shù)學上有所進步，他必須向大師們學習，而不應向徒弟們學習。——阿貝爾（Niel Henrik Abel）
一、文藝復興運動
1.革命在歐洲產(chǎn)生的影響
大約從1400年到1600年的這段時期，歐洲被幾件事情深深地震撼，最后使得知識界的面貌大大改變，并使得數(shù)學活動以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起。
革命的影響是十分廣泛并且連續(xù)不斷的，幾乎遍及歐洲每個國家每個城市的戰(zhàn)爭乃是政治變革的起因。雖然意大利各邦在15、16世紀的歷史被不斷的陰謀、大屠殺以及戰(zhàn)爭的破壞弄得支離破碎，但政治上不斷的變遷以及某些民主政府的建立，則是有利于個性成長的。反抗教皇統(tǒng)治——當時政治上、軍事上的主要力量——的戰(zhàn)爭，不僅從教會的統(tǒng)治下解放了人民，而且還鼓勵知識分子造反。
文藝復興時期的意大利
中世紀后期，意大利得到了大量的財富。意大利各港口地位極為優(yōu)越，有利于把亞洲、非洲進口的貨物轉(zhuǎn)運到歐洲其他地區(qū)去。大銀行的建立使意大利成為經(jīng)濟中心。這種財富對于學術活動是不可少的。就在這個被搞得最一塌糊涂、混亂不堪的意大利，最早醞釀并且表現(xiàn)出了形成西方文化的思想。
文藝復興發(fā)祥地——佛羅倫薩
15世紀，希臘的著作大量進入了歐洲。在這個世紀早期，羅馬和拜占庭帝國——它們占有大量的希臘文稿，但一直是孤立的——之間的聯(lián)系變得很緊密。拜占庭帝國在和土耳其人打仗時，曾想得到意大利各邦的幫助。在關系改善的情況下，希臘的教師們被帶到了意大利，而意大利人則到拜占庭去學希臘文。當土耳其在1453年征服君士坦丁堡時，希臘的學者帶著許多文稿逃到意大利。這樣不僅使歐洲有了更多的希臘著作，而且新得到的手稿遠比早先在12、13世紀時得到的要好得多。這以后，直接從希臘文譯成拉丁文的譯本比從阿拉伯文轉(zhuǎn)譯的要可靠得多。
大約在1450年，古登堡（Johann Gutenberg）發(fā)明活版印刷，加速了知識的傳播。從12世紀以來，歐洲通過阿拉伯人，從中國學來了制造麻紙和棉紙，以代替羊皮紙和草片紙。從1474年，數(shù)學、天文學和占星術的著作開始印刷出版了。例如由坎帕納斯（Johannes Campanus，13世紀）譯成拉丁文的歐幾里得《原本》的第一次印刷版本，1482年在威尼斯出現(xiàn)了。到了下一個世紀，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》的前四冊、帕普斯的著作、丟番圖的《算術》以及其他一些著作，也以印刷版本出現(xiàn)了。
古登堡活字印刷
羅盤和火藥的引進是有重大意義的。羅盤使得遠洋航行成為可能?；鹚幵?3世紀引進，它改變了戰(zhàn)爭的方法和防御工事的設計，使得研究拋射體的運動變得很重要。
由于制造業(yè)、礦業(yè)、大規(guī)模的農(nóng)業(yè)以及各種貿(mào)易的大量發(fā)展，一個新的經(jīng)濟時代開始了。所以這些企業(yè)中遇到的技術問題都以比過去旺盛得多的活力著手來解決。新社會擁有一個不斷增大的自由手工業(yè)者和自由勞動者階級，獨立的機械工人和支付工資的雇主都有迫切愿望去尋找節(jié)省勞動力的方法。為了改進生產(chǎn)方法和材料的質(zhì)量，資本主義經(jīng)濟競爭也促使人們直接去研究一些物理現(xiàn)象和因果關系。因為教會曾對這些物理現(xiàn)象作出過很多解釋，矛盾就產(chǎn)生了。每當物理的解釋被證明比神學的解釋更為有用的時候，神學的解釋就被人們拋棄了。
15、16世紀的地理勘察是為了尋找更好的貿(mào)易途徑和商品資源，它給歐洲帶來了有關異地的植物、動物、氣候、生活方式、信仰和習慣的知識。這些知識對中世紀的教條提出了挑戰(zhàn)，并激發(fā)了人們的想象力。
根據(jù)直接的觀察以及一些探險家和商人帶回歐洲來的見聞，引起了對教會的科學和宇宙學說的可靠性的懷疑，對教會壓制實驗和壓制人們思考新秩序所產(chǎn)生的問題的反抗，一些教會領導人道德上的墮落，教會出賣贖罪券之類的腐敗行為，以及最后嚴重的教義分歧，這一切最終導致了宗教改革。這些改革者由一批渴望打破教會勢力的商人和王公貴族支持著。
宗教改革并沒有解放人們的思想和精神。新教領導人的目的只在于掛出他們自己牌號的教條主義。但是，在提出關于圣禮的本性、教會統(tǒng)治的權威以及在圣經(jīng)上一些文字段落的含義等問題時，路德（Martin Luther）、加爾文（JohannesCalvin）、慈運理（Ulrich Zwingli）這些人無意中激勵了很多人去想一些以前所不敢想的問題。思想被激發(fā)了，辯論引起了。
1521年，路德在帝國議會
更進一步，為了爭取信徒，新教宣傳信仰的基礎乃是個人的判斷而不是教皇的權威。于是各種不同的信仰被認為是合法的。許多人在要求他們選擇天主教還是新教時宣稱：“你們雙方都見鬼去吧?！彼麄兺瑫r背棄天主教和新教，面向自然、觀察和實驗，以此作為知識的來源。
2.知識界的新面貌
教會是建立在權威上的，它崇拜亞里士多德，并把懷疑定為有罪。教會也蔑視物質(zhì)的享受而強調(diào)身后靈魂的得救。這些教條與希臘準則——對大自然的探討；物質(zhì)世界的享受；力求身心的完美；研究問題和發(fā)表見解的自由；對人類理性的信賴——鮮明對立。教會的權威，對世俗生活的限制，信賴圣經(jīng)是一切知識的來源并應主宰一切的主張，這些都引起了知識分子們的反感，使他們?nèi)琊囁瓶实亟邮芰诵碌膬r值準則。
數(shù)學興趣的復活幾乎是隨著希臘知識和生活準則的復活一起而來的結(jié)果。歐洲人知道了自然界是按照數(shù)學方式設計的，這種設計是非常和諧優(yōu)美的內(nèi)部真理。自然界是合理的、簡單的而且有序的，它是按照萬古不易的規(guī)律行動的。畢達哥拉斯—柏拉圖強調(diào)數(shù)量關系作為現(xiàn)實精髓的思想逐漸占據(jù)了統(tǒng)治地位。哥白尼、開普勒、伽利略、笛卡爾、惠更斯和牛頓實質(zhì)上在這方面都是畢達哥拉斯主義者，并且在他們的著作中確立了這樣的原則：科學工作的最終目標是確立定量的數(shù)學上的規(guī)律。
畢達哥拉斯主義者慶祝日出
在各種哲學系統(tǒng)紛紛瓦解，神學上的信念受人懷疑以及倫理道德變化無常的情況下，數(shù)學是唯一被大家公認的真理體系。數(shù)學知識是確定無疑的，它給人們在沼澤地上提供了一個穩(wěn)妥的立足點，人們又把尋求真理的努力引向數(shù)學?！@是數(shù)學興趣復活的第二個原因。
那么，神學中上帝創(chuàng)造宇宙之說怎么能夠同尋找大自然的數(shù)學規(guī)律并行不悖呢？回答是提出一種新的教條，即上帝是按數(shù)學方式設計大自然的。換句話說，把上帝推崇為一個至高無上的數(shù)學家，這就使尋找大自然的數(shù)學規(guī)律成為一件合法的宗教活動。
這個理論鼓舞了16、17世紀甚至18世紀一些數(shù)學家的工作。文藝復興時期的自然科學家是神學家，用自然代替圣經(jīng)作為他們的研究對象。哥白尼、第谷·布拉赫、開普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡爾、牛頓和萊布尼茨再三談到上帝通過他的數(shù)學方案給宇宙以和諧。數(shù)學知識，因為它本身是宇宙的真理，就像圣經(jīng)里的每行文字那樣神圣不可侵犯，甚至高于圣經(jīng)中的文字，因為它是明確的、無可非議的知識。
數(shù)學家和科學家們的信仰與態(tài)度是文藝復興時期席卷整個歐洲的更大量文化現(xiàn)象的返利額。希臘的著作沖擊了非常虔誠的基督教世界，知識界的領導人則生在一個世界而被另一個世界所吸引，他們就把兩個世界的教義融為一體。
3.學識的傳播
新的準則的擴散是緩慢的。首先，希臘著作只有在教會內(nèi)外王公貴族的朝廷里才能找到，不是一般人所能接近的。印刷業(yè)大大地幫助了書籍的廣泛流傳，但效果也是逐漸顯示的，因為即使印刷的版本也是很昂貴的。傳播知識的問題還由于另外兩個因素而變得復雜了。第一，愿意把數(shù)學和科學運用于工業(yè)、手工業(yè)、航海、建筑和其他一些工作項目中去的人大都沒有受過教育，上學的人并不是很普遍。第二個因素則是語言問題。有學問的人——學者、教授和神學家——熟悉拉丁文，也略諳希臘文。但是，藝術家、手藝人和工程師只懂得本地方言——法語、德語和幾種意大利語——因此不能從希臘著作的拉丁文譯本中獲得教義。
從16世紀開始，許多希臘的經(jīng)典著作被用通俗的語言譯出。例如，塔爾塔利亞在1543年把歐幾里得的《原本》由拉丁文譯成意大利文。翻譯活動一直進行到17世紀，但進展得很慢，因為不少學者輕視普通人。他們喜歡用拉丁文，因為他們認為拉丁文的傳統(tǒng)地位會使他們的說話有權威。為了抵制這樣的人并得到公眾的支持，伽利略特意用意大利文寫作。笛卡爾也因為同樣的理由而用法文寫作，他希望那些只憑天然理性的人能比那些死抱古籍的人更善于鑒定他的著作。
塔爾塔利亞（首先提出三次方程的一般解法）
在佛羅倫薩，由美第奇（Medici）家族資助開設了一些圖書館，幾個教皇也在羅馬這樣做。一些自由派的領導人建立了學院。最有名的是佛羅倫薩的設計學院，它是由科西莫一世·德·美第奇（Cosimo I de' Medici，1519—1574）在1563年建造的，那兒變成了數(shù)學研究的中心。此外還有羅馬的山貓學會（Accademia dei Lincei），在1603年建立。這些學院的成員把拉丁文著作譯成普通語言，向公眾作報告，并通過他們之間的相互交往，擴大和加深了自己的知識。這些學院是以后英國、法國、意大利和德國建立的一些最有名的、對知識的傳播大有作用的科學院的前身。
佛羅倫薩設計學院（世界第一所美術學院）
遺憾的是15、16世紀的大學在這一發(fā)展中沒有起什么作用，神學統(tǒng)治了大學。實驗是不需要的，學校外面的新發(fā)明是被忽略的。保守的大學教授們盡其所能地死抱著由13世紀以來經(jīng)院派學究們所創(chuàng)立的中世紀的學問。
4、數(shù)學中的人文主義活動
當經(jīng)院派學者死抱著中世紀末期的教條時，一批新的人文主義者專心從事著收集、組織并批判地學習希臘和羅馬的學說。這些人勤勉地學習，用他們那種整個說來不無問題的巧妙手段來清除書籍中的錯誤并恢復失散了的材料。他們奴隸般地接受、重復并且無休止地闡釋那些他們在古代和中世紀的原稿中發(fā)現(xiàn)的東西，甚至從事語言學的研究以確定確切的含義。他們也寫很多書，那不過是把古老的著作按經(jīng)院派的意見重新予以解釋。雖然這種活動可能喚起了人們對學習的興趣，但它也給人們一個錯覺，似乎學問僅僅是為了加深和鞏固已有的知識。
16世紀人文主義的代表人物是代數(shù)學家卡爾達諾（Gerolamo Cardano），他1501年生于帕維亞（Pavia）。他作為一個無賴和學者的生涯是文藝復興時期那些怪人的離奇生涯中最不尋常的一個。
在度過一個悲慘的童年，把青春貢獻給數(shù)學、物理、賭博之后，他從帕維亞大學醫(yī)科畢業(yè)了。他開了業(yè)，后來又在米蘭和博洛尼亞教書，成為聞名全歐的醫(yī)生。他還作為數(shù)學教授在幾個意大利大學中任教。在1570年他因給耶穌基督算命的異端罪名被拘入獄。奇怪的是，教皇后來卻雇用他當占星術士。在他75歲時（1576年死前不久），他因有了名譽、一個外孫、財產(chǎn)、學問、有權勢的朋友、篤信上帝和有十四只好的牙齒而自詡。
他的作品包括數(shù)學、天文學、占星術、醫(yī)學和其他許多學科，其中還有道德格言（用來彌補他在紙牌方面的欺騙行為）。他寫了關于宇宙間各種居民的巨著，即關于天使、惡魔和各種各樣的智慧人物，在書中還包含了那些無疑是從他父親的卓越朋友達芬奇那里偷來的材料?，F(xiàn)存他的著述材料約有7000頁。
自然哲學家企圖把一切現(xiàn)實統(tǒng)一在巨著中的混合主義趨勢，也表現(xiàn)在卡爾達諾的數(shù)學著作上。他不加批判地把古代、中世紀和當代理論方面和經(jīng)驗性的已有數(shù)學知識不辭其勞地拼成百科全書式的堆集。他既醉心于那不可思議的和神秘的數(shù)論，又愛好代數(shù)思維，在這方面他對同時代的人先進。他對數(shù)學的興趣高過16世紀其他一些博學的自然哲學家。但數(shù)學對他來說不是方法，而是一種特殊的不可思議的才能，并且又是一種滿載激情的思維。
一個名氣較小的人文主義者丹蒂（Ignazio Danti，1537—1586）是博洛尼亞的數(shù)學教授，他寫了一本通俗數(shù)學，把所有純數(shù)學和應用數(shù)學搞成一串簡要的表格。《縮減為表的數(shù)學科學》（Le scienze matematiche ridotte in tavole，博洛尼亞，1577）代表了那時代的分類精神；它為16世紀后期學校的數(shù)學教學指引了道路。丹蒂是那些提倡把應用數(shù)學當作一個學術分支的少數(shù)數(shù)學家和天文學家之一。書中表明當時的數(shù)學包括了算術、幾何、音樂、占星術、儀器測算、氣象學、折射光學、地理學、水文學、力學、建筑學、軍事建筑學、繪畫和雕塑。前四個科目代表純粹數(shù)學，其余為應用數(shù)學。
丹蒂
蒙特（Guidobaldo del Monte，1545—1607）、巴爾迪（Bernadino Baldi，1553—1617）和貝內(nèi)代蒂（Giovanni Battista Benedetti，1530—1590）等數(shù)學家對力學的研究是有代表性的。這些人沒有掌握阿基米德的定理，帕普斯的工作對他們來說更有意義和吸引力，因為帕普斯譯述了早期希臘古典作品中的證明。他們把自己限制于改正個別的結(jié)論和定理；接受了很多錯誤的東西，此外，他們沒有能力將活的重要想法和已經(jīng)僵死的東西區(qū)分開來。他們的人文主義的訓練使他們傾向于把所有新和舊的知識都納入歐幾里得的推理中，不管這與實驗是否一致。因此他們的批判能力減弱了，而他們自己的經(jīng)驗失去了價值。
從原則和實質(zhì)上來說，他們是最末一批中世紀學者，而不是新的思想方法和研究方法的創(chuàng)造者。意大利的數(shù)學家和物理學家莫魯里克斯（Francesco Maurolycus，1494—1575）、貝內(nèi)代蒂、巴爾迪和蒙特，這些伽利略后來慷慨地稱之為老師的人，他們在某些方面也為伽利略開辟了道路，但是因為他們倚靠著古老的思想方法，所以沒有為解決什么數(shù)學、物理問題作出別開生面的貢獻。
5.要求科學改革的呼聲
像過去各個世紀一樣，數(shù)學從物理科學哪里取得了主要的啟示和課題。不少人體會到科學的方法論必須要改變，他們倡議擺脫經(jīng)院哲學和無批判地接受希臘知識。
最早明確地提出要以新的態(tài)度對待知識的人之一是達芬奇（1452—1519）。他在體力上和精神上有不可思議的天資，使他成為杰出的語言學家、植物學家、動物學家、解剖學家、地質(zhì)學家、音樂家、雕塑家、繪畫家、建筑學家、發(fā)明家和工程師。達芬奇鄭重宣布他不相信經(jīng)院派學者奉為金科玉律的知識。他有一句名言：“如果你不立足于大自然這個很好的基礎，你的勞動將無裨于人，無益于己?！边€有：“在以數(shù)學為依據(jù)的科學的研究中，如果有些人不直接向自然界請教而是向書本的作者請教，那么，他就不是自然界的兒子而只是孫子了?！?/p>
達芬奇相信實踐和理論的結(jié)合，他說：“一個人如喜歡沒有理論的實踐，他就像水手上船而沒有舵和羅盤，永遠不知道駛向何方。”另一方面，他說理論離開了實踐是無法生存的，產(chǎn)生之后便會消亡：“理論好比統(tǒng)帥，實踐則是戰(zhàn)士。”他希望用理論指導實踐。
然而，達芬奇并沒有掌握真正的科學方法。他沒有方法論，也沒有以任何哲學作為基礎。他的工作是大自然研究者的實踐，是受美學的推動和啟發(fā)而來。他有興趣尋找數(shù)量關系，從這點說他是現(xiàn)代科學的先驅(qū)者，但他不像伽利略那樣自覺追求定量規(guī)律。他的著作對真正的數(shù)學家和科學家沒有產(chǎn)生什么作用。
達芬奇對數(shù)學的看法以及他對數(shù)學的實際知識和用法是他那個時代所獨有的，而且反映了那個時代的精神和方法。達芬奇在著作中多處暗示自己是一個有學問的數(shù)學家，也是一個有職業(yè)數(shù)學家的工作水平的淵博的哲學家。例如，他說：“一個人如懷疑數(shù)學的極端可靠性就是陷入混亂，他永遠不能平息詭辯科學中只會導致不斷空談的爭辯……因為人們的探討不能稱為是科學的，除非通過數(shù)學上的說明和論證?！比藗兺鶕?jù)這些話把達芬奇看成一個比他實際更為偉大的數(shù)學家。但當你審閱達芬奇的筆記本時，你會發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學知識是多么少，而他處理問題的方法完全是經(jīng)驗的、直觀的。
達芬奇部分研究成果
在倡導科學方法改革中更有影響的是弗朗西斯·培根（Francis Bacon，1561—1626），他尋找在智慧、道德、政治、物理諸方面獲得真理的方法。弗朗西斯·培根的杰出口才、廣博的知識、開闊的眼界以及對未來大膽的設想，吸引人們?nèi)プ⒁庹诎l(fā)生的事以及注意他所描寫的“偉大復興”，而不是草草一看。他闡述的鮮明格言引起了人們的注意。最后當人們注意到科學政治開始作出他倡導的進步時，就推崇他為革命的提倡者和領導者。實際上，他比同時代人更加理解正在發(fā)生的變革。
1605年，他發(fā)表了論文《崇學篇Advancement of Learning》，接著在1620年發(fā)表了《新方法Novum Organum》。在后一本書中他指出以前對自然界的研究軟弱無力而所得結(jié)果微小。以后的進步在于方法的改變。所有的知識是從觀察開始的。然后，他作出了非凡的貢獻，就是堅持“逐步的和繼續(xù)不斷的歸納”以代替草率的一般結(jié)論。弗朗西斯·培根說：“尋找和發(fā)現(xiàn)真理有兩條路，也只有兩條路。其一，通過感覺和特例飛躍到普遍的公理，然后通過這些原則及一勞永逸的真理發(fā)明和判斷一些派生的公理。另一種方法是從感覺和特例收集公理，不斷地逐步上升，這樣最后到達更普遍的公理；這后一種方法是真實的，但尚未有人試用過。”他所謂的“公理”是指通過歸納所得的一般性的命題，適宜于用作演繹和推理的起點。
培根攻擊對自然現(xiàn)象學究式的探討，他說：“由推辯發(fā)現(xiàn)的公理是不能用來得到新的發(fā)現(xiàn)的；因為自然界比推辯本身細致微妙許多倍……在人心目中第一個設想的根本錯誤是不會被后來優(yōu)越的藥物和條件治好的……我們必須引導人們?nèi)パ芯總€別的現(xiàn)實，而人們自己則必須在一段時間內(nèi)把自己的概念放下而使自己熟悉事實。”
培根沒有認識到科學必須通過測量才能得到定量的規(guī)律。他也沒有意識到一切發(fā)明必須具備的創(chuàng)造才華。實際上，他說“天才的敏銳和力量是不足道的，所有天才和智慧都在同一水平上?！?/p>
培根雖然自己沒有創(chuàng)造但卻發(fā)出了關于實驗方法的宣言。他攻擊先驗的哲學體系、思維的創(chuàng)造和無聊的炫耀學問。他說科學工作不應該卷入尋求最終原因的迷陣中，這是屬于哲學的事。邏輯學和修辭學僅僅在組織我們已知的事物時才有用。讓我們接近大自然并面對著它。我們不要搞雜亂的。偶然的試驗，要讓它成為系統(tǒng)的、徹底的和有一定方向的。數(shù)學應該是物理學的仆人。總之弗朗西斯·培根對后代人提出了一個吸引人的綱領。
另外一個學說和綱領也和他有關。當占星術家、預言家和煉金術士們的假科學在中世紀盛極一時并影響了一些更有理性的經(jīng)院派學者時，由于培根的勸告，掌握大自然變成了一種確定的學說和一個貫穿一切的動力。
培根希望致知識于應用，他想以掌握自然來服務并造福于人類，而不是為博得學者的高興和快樂。如他所說，科學應上升為公理然后又下降到應用。在《新大西洲The New Atlantic》中培根描寫了一個學者組成的社會，它給他們提供了地方和裝備去探索有用的知識。他預見到科學將會供給人們以“無盡的商品”，“賦予人類生活以發(fā)明和財富，并提供便利與舒適”。他說，這是科學的真正合理的目標。
笛卡爾在《方法論講話Discourse on Method》中響應了這個思想：“獲得對生活非常有用的知識是可能的，和學校里所教的純思辨哲學不同，我們能夠發(fā)現(xiàn)一個實用的哲學。......使得我們自己成為大自然的主人和占有者。”
化學家波義耳（Robert Boyle）說：“人類的福利能夠通過自然科學家對各行各業(yè)的洞察力提高很多?！?/p>
培根和笛卡爾所提出的挑戰(zhàn)很快被接受了，科學家們樂觀地投入到了解自然征服自然的工作。這兩種動機至今仍是一種主要推動力。從17世紀以來科學和工程間的相互聯(lián)系確實飛快地增長起來。
這一綱領也被政府認真采納。在1666年由科爾貝（Jean-Baptiste Colbert）建立的法蘭西科學院、建于1662年的倫敦皇家學會都是為了培育“這種將來能有用的知識”和促使科學變得“有趣同時有用”的。
法蘭西科學院
倫敦皇家學會
6.經(jīng)驗主義的興起
當科學的改革者主張轉(zhuǎn)向自然并要求實驗事實的時候，面向?qū)嶋H的手工業(yè)者、工程師和畫家確實在獲得扎實的經(jīng)驗事實。運用一般人天然的直觀的處理方法，尋找的不是最終的真意而僅僅是他們在工作中遇到的現(xiàn)象的有效解釋，這些技工們得到的知識嘲弄了那些博學的學究乃至人文主義者提出的繁復辯解，在語匯學上的長篇推敲，糾纏不清的邏輯推理，以及對羅馬和希臘權威的浮夸引證。由于文藝復興時代的歐洲在技術上的成就超越并多于其他文明社會的成就，所以他們在工作中得到的經(jīng)驗知識是巨大的。
眼鏡制造者雖沒有發(fā)現(xiàn)一個光學定理，卻發(fā)明了望遠鏡和顯微鏡。技術人員以有分寸的、漸進的步驟（那是關于科學方法的任何抽象觀點所不能啟示的）獲得的真理，就像大膽的猜測所敢于設想的那樣深奧、廣泛。理論上的改革者是大膽、自信、急促、有雄心和蔑視古老的東西，而實際的改革者則是小心、謙虛、緩慢并善于吸取所有的知識，不管是由傳統(tǒng)而來還是由觀察而來。他們工作著而不是空想，研究細節(jié)而不是一般的規(guī)則，他們對科學添磚加瓦而不是給予定義或是建議如何來得到它。在物理、塑造工藝和一般技術領域中，不是理論上的思考而是經(jīng)驗成了知識的新來源。
世界上第一副可佩戴眼鏡
和手工藝者的純經(jīng)驗主義結(jié)合，或者受到他們提出的問題的啟示，系統(tǒng)的觀察和實驗逐步產(chǎn)生了。亞里士多德和蓋倫等希臘人曾經(jīng)作了大量的觀察，并且討論了在觀察基礎上能夠作出什么樣的歸納，但是不能說希臘人曾經(jīng)有過實驗科學。文藝復興時代的科學活動在一定的程度上標志著現(xiàn)代宏大的科學事業(yè)的開始。文藝復興時代最可觀的一批實驗工作者是由維薩里（Andreas Vesalius，1514—1564）領導的生物學家團體、由阿爾德洛萬迪（Ulysses Aldrovandi，1522—1605）領導的動物學家團體以及由塞薩爾比諾（Andrea Cesalpino，1519—1603）領導的植物學家團體。
吉爾伯特（William Gilbert，1540—1603）在著名的《磁學》（De Magnete，1600）一書中明確地指出，我們必須從實驗出發(fā)。他的一連串仔細進行的、周到而簡單的實驗在實驗方法中是經(jīng)典的。
1351年第一幅有眼鏡出現(xiàn)的繪畫作品
和這些實際工作同時，人們追求一個科學上更大的目標——了解自然界。晚期經(jīng)院派學者在落體方面的工作在16世紀繼續(xù)有人進行，他們主要的目標是獲得運動的基本規(guī)律。有關拋射體運動的工作，經(jīng)常被說成是為了滿足實際需要，但在更大程度上是由對力學產(chǎn)生的廣泛科學興趣而引起的。哥白尼和開普勒在天文學方面的工作肯定是由于想要改進天文理論而產(chǎn)生的。甚至文藝復興時代的藝術家也企圖透過現(xiàn)象去了解現(xiàn)實的本質(zhì)。
技術人員和科學家開始看到共同的興趣，并欣賞從對方得到的幫助。伽利略在《關于兩門新科學的對話》（Dialogues Concerning Two New Sciences，即材料力學和物體運動理論這兩門科學）的頭一段中，承認對他的研究工作的這種啟發(fā)：“你們威尼斯人在著名的兵工廠里持續(xù)地活動，特別是包含力學的那部分工作，對好學的人提出了一個廣闊的研究領域，因為在這個部門中所有類型的機器和儀器在被很多手工藝者不斷制造出來。在他們中間一定有人因為繼承經(jīng)驗并利用自己的觀察，在解釋問題時變得高度熟練和非常聰明?！?/p>
實踐和純粹科學的興趣在17世紀被融合了。當大的原則和問題由于經(jīng)驗的需要而出現(xiàn)，希臘的數(shù)學知識被科學家們完全采用的時候，他們才能夠更有效地著手進行純科學的工作。結(jié)果是在科學活動中出現(xiàn)了一個規(guī)模空前的發(fā)展，加上影響深遠的、重大的技術改進，在工業(yè)革命中達到了頂峰。
文藝復興時代的數(shù)學家們?yōu)楣埠蛧屯踝觽児ぷ?，并和建筑師、手藝工人相結(jié)合——莫魯里克斯是墨西拿（Messina）城的工程師，巴爾迪是為烏爾比諾（Urbino）公爵服務的，貝爾代蒂是薩瓦（Savoy）公爵的總工程師，還有伽利略是托斯卡納（Tuscany）大公爵的宮廷數(shù)學家——所以他們采納了那些實踐者的觀察和經(jīng)驗。
到伽利略的時候，在塔爾塔利亞（1499—1557）的工作中能夠大量看到科技人員和建筑師的沖擊和影響。塔爾塔利亞是當代科學上自修出來的一個天才。他完成了從實踐數(shù)學家到博學的數(shù)學家之間的過渡。他有辨別地從經(jīng)驗知識中挑選出有用的題目和有用的結(jié)果。他的獨特之處在于他完全獨立于在他的對手卡爾達諾的工作中典型的那種不可思議的影響。塔爾塔利亞的地位在達芬奇和伽利略之間——不僅是按年代，也是因為他在動力學問題的數(shù)學工作上把這門學問提升為一種新的科學，并且對伽利略的先驅(qū)者們很有影響。
現(xiàn)代數(shù)學在柏拉圖“數(shù)學是現(xiàn)實的核心”的學說指引下，幾乎完全是由具體的科學問題產(chǎn)生的。在研究自然并且得到包括觀察和實驗結(jié)果的規(guī)律這個新的方向的引導下，數(shù)學從哲學中分出來而且和物理科學聯(lián)系在一起。進一步的后果是爆發(fā)了一個空前活躍和富有創(chuàng)造性的時期，這在數(shù)學史上是最最多產(chǎn)的時期。
下一講文藝復興時期（下）。
