我們可以說，現(xiàn)在是第一次把一個擁有許多奇妙結(jié)果的新方法公開出來，在未來的年月里，它將贏得別人的重視。 ——伽利略
截至1600年，歐洲的科學(xué)家無疑注意到數(shù)學(xué)在自然科學(xué)研究上的重要性。這種信念的最有力的證據(jù)是哥白尼和開普勒的工作，他們?yōu)榱艘粋€在當(dāng)時僅僅具有數(shù)學(xué)優(yōu)越性的理論而堅決地去推翻久已公認(rèn)的天文學(xué)和力學(xué)的定律以及宗教信條。盡管如此，倘若科學(xué)仍然跟著以往的腳步前進，就很可能不會有近代科學(xué)的驚人成就，數(shù)學(xué)也就不會從中取得推動創(chuàng)造性工作的巨大力量?？汕稍?7世紀(jì)中，笛卡爾和伽利略兩人針對科學(xué)活動的基本性質(zhì)，進行了革命化。他們選定科學(xué)應(yīng)該使用的概念，重新規(guī)定科學(xué)活動的目標(biāo)，改變科學(xué)中的方法論。他們這樣做，不僅使科學(xué)得到出乎意料和史無前例的力量，而且把科學(xué)和數(shù)學(xué)緊緊地結(jié)合起來。他們這個計劃，實際上是要把理論科學(xué)歸結(jié)到數(shù)學(xué)。想要了解從17世紀(jì)到19世紀(jì)這段時間中推動數(shù)學(xué)的力量，必須先考察笛卡爾和伽利略兩人的思想。
一、笛卡爾的科學(xué)觀
笛卡爾明確宣稱科學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)。笛卡爾說，他“既不承認(rèn)也不希望物理學(xué)中有任何原理不同于幾何學(xué)和抽象數(shù)學(xué)中的原理，因為后者能解釋一切自然現(xiàn)象，并且能對其中一些現(xiàn)象給出證明?！笨陀^世界是固體化了的空間，或者說是幾何的化身。因此它的性質(zhì)應(yīng)該可以從幾何的基本原理推導(dǎo)出來，而其中一些簡單性質(zhì)隱含著邏輯推理中的基礎(chǔ)作用。
笛卡爾精心討論了為什么世界是可以接近的，并可歸結(jié)到數(shù)學(xué)。他堅持物質(zhì)的最基本和最可靠的性質(zhì)是形狀、延展和在時空里的運動。因為形狀也只是延展，所以他斷言：“給我延展和運動，我將把宇宙構(gòu)造出來?！边\動本身是力作用在分子上的結(jié)果。笛卡爾相信這些力服從于不變的數(shù)學(xué)定律，而且由于延展和運動都可用數(shù)學(xué)表示出，所以一切現(xiàn)象都可用數(shù)學(xué)描寫出來。
笛卡爾的機械哲學(xué)甚至推廣到人體的功能上去。他相信，力學(xué)定律可以解釋人和其他動物的生命。在他的生理學(xué)著作中，他用熱、水力、管子、活塞和杠桿的機械作用去解釋身體的作用；只有上帝和靈魂不是機械的。
如果笛卡爾把周圍的一切看作只是由運動的物質(zhì)構(gòu)成的，那么，他怎樣解釋味道、氣味、顏色和聲音的質(zhì)量呢？這里他采用了古希臘關(guān)于第一性和第二性的學(xué)說，依照德謨克利特，這個學(xué)說主張“甜與苦、冷與熱以及顏色等東西，只在意念中存在，在實際中不存在，真正存在的是不變的粒子、原子以及它們在空的空間中的運動”。第一性的東西，即物質(zhì)與運動，存在于物理世界中；第二性的東西，僅僅是當(dāng)外界原子沖擊到人的感官時，第一性的東西產(chǎn)生這些感官上的效果。
因此，在笛卡爾看來，有兩個世界：一個是巨大的協(xié)調(diào)地設(shè)計出來的數(shù)學(xué)機器，存在于空間和時間中，另一個是思維的世界。第一世界中的元素作用在第二世界上的效果就產(chǎn)生出物質(zhì)的非數(shù)學(xué)性質(zhì)或次要的性質(zhì)。此外，笛卡爾肯定了自然界定律的不變性，因為這些定律只是預(yù)先規(guī)定的數(shù)學(xué)圖案的一部分。就是上帝，也不能改動這不變的自然界。在這里，笛卡爾否認(rèn)了通行的信條：上帝不斷地干預(yù)著宇宙的活動。
雖然笛卡爾的哲學(xué)和科學(xué)學(xué)說背離了亞里士多德主義和經(jīng)院主義，但在一個基本的方面，他還是一個經(jīng)院主義者：他從自己的心里得出關(guān)于存在和實在的命題。他相信有先天的真理，而且理智本身的力量，可以得到對于一切事物的完全知識。例如，他是在先天推理的基礎(chǔ)上，敘述出運動定律的（實際上，在他的生物學(xué)工作中，他作了些實驗，并且從中得出重要的結(jié)論）。
但是除了依靠先天原理以外，他的確傳播了一個普遍的系統(tǒng)的哲學(xué)，從而震撼了經(jīng)院主義的堡壘，開辟了新鮮的思想渠道。他的關(guān)于清除一切先入之見和偏見的企圖，是他對過去造反的明白的宣告。通過把自然現(xiàn)象歸結(jié)為純物理的事態(tài)，他的確作了許多努力去剝掉科學(xué)中的神秘主義和玄虛成分。笛卡爾的著作影響很大，他的演繹而且系統(tǒng)的哲學(xué)風(fēng)行于17世紀(jì)，特別是使牛頓注意到運動的重要性。他的哲學(xué)著作的精裝本，甚至成為貴婦們梳妝臺上的點綴品。
二、伽利略的科學(xué)研究方式
雖然伽利略的科學(xué)哲學(xué)大部分與笛卡爾的一致，但是給近代科學(xué)制定出更徹底更有效更具體的程序，并用自己的工作證實該程序的效果的，卻是伽利略。
伽利略（1564—1642）出生于比薩一個布商的家庭，他進了比薩大學(xué)學(xué)醫(yī)。那里的課程還是在中世紀(jì)的水平上。伽利略從一位工程師那里學(xué)了數(shù)學(xué)，在17歲那年從醫(yī)學(xué)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)。學(xué)了大約8年之后，他向博洛尼亞大學(xué)申請教師職位，但因不夠優(yōu)秀而遭到拒絕。后來他得到比薩大學(xué)的一個數(shù)學(xué)教授職位。在那里，他開始攻擊亞里士多德的科學(xué)，并且毫不遲疑地發(fā)表他的看法，即使同事們疏遠(yuǎn)了他也在所不顧。那時他已經(jīng)開始寫出重要的數(shù)學(xué)論文，引起一些能力較差的人的忌妒。這使他感到不愉快，因而在1592年接受了帕多瓦大學(xué)數(shù)學(xué)教授的職位。在那里，他寫了一本小冊子《力學(xué)》（Le mecaniche，1604）。在帕多瓦待了18年后，他被美第奇的大公爵科西莫（Cosimo II）邀請到佛羅倫薩，并被任命為宮廷首席數(shù)學(xué)家。科西莫給了他一所住房和可觀的薪俸，并且保護他免受耶穌會的迫害（那時耶穌會把持著教皇職位，而伽利略由于擁護哥白尼的學(xué)說已經(jīng)受到他的威脅）。伽利略把他發(fā)現(xiàn)的木星衛(wèi)星命名為美第奇衛(wèi)星，這些星是在他為科西莫服務(wù)的第一年中發(fā)現(xiàn)的。他在佛羅倫薩有充分時間從事研究和寫作。
比薩大學(xué)
他提倡哥白尼學(xué)說，觸怒了羅馬宗教法庭，1616年被召到羅馬。他對于太陽中心論的傳播受到譴責(zé)，不得不答應(yīng)不再發(fā)表關(guān)于這個專題的東西。1630年教皇烏爾班（Urban）八世允許他發(fā)表數(shù)學(xué)而不是教義的書。在1632年，他出版了經(jīng)典著作《關(guān)于兩大世界體系的對話》（Dialogo dei massimi sistemi）。1633年羅馬教皇法庭再次傳喚他，在刑具威脅下，強迫他放棄對于太陽中心論的擁護。他再度被禁止發(fā)表東西，而且被迫過著實際上是軟禁的生活。但他仍然從事于寫出他多年來關(guān)于運動現(xiàn)象和材料力學(xué)的思想與工作。他的著作《關(guān)于兩門新科學(xué)的探討和科學(xué)證明》（Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à duenuovescienze），又叫《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》，被秘密運到荷蘭，1638年在那里出版。這是一部經(jīng)典著作，在書中伽利略提出了自己的科學(xué)方法。他用以下的話為自己辯護：“我對教會和對我自己的良心的虔誠和崇敬從來沒有衰減過?！?/p>
伽利略在許多科學(xué)領(lǐng)域里是杰出人物。他是敏銳的天文觀察者。他常被稱為近代發(fā)明之父；雖然他沒有發(fā)明望遠(yuǎn)鏡[當(dāng)時詩人瓊森（Ben Jonson）稱之為迷惑鏡]，但他一聽說這種想法，就立刻造出一個來。他是顯微鏡的一個獨立發(fā)明者，并且設(shè)計了第一個擺鐘。他又設(shè)計并制成一個羅盤，其標(biāo)尺自動地給出數(shù)值結(jié)果，避免了計算之煩。這種羅盤銷路很廣，他做了很多個出售。
伽利略是第一個重要的近代聲學(xué)研究者。他提出一個聲波理論，并且開始進行關(guān)于音調(diào)、諧音和弦振動的研究工作。這工作被梅森和牛頓繼承，成為18世紀(jì)中數(shù)學(xué)工作的主要激發(fā)力。
伽利略的主要著作至今仍被認(rèn)為是文學(xué)杰作。在他1610年寫的《恒星的使者》（Sidereus Nuncius）一書里，他宣布了他的天文觀測，并宣稱他是哥白尼理論的支持者。這書立刻給他帶來勝利，他被選為著名的羅馬“山貓學(xué)院”（Academy of the Lynx-like）成員。他的兩部經(jīng)典著作《關(guān)于兩大世界體系的對話》和《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》寫得清楚、直接、機智而有深奧，書中伽利略讓一個角色提出流行的觀點，另一個角色對他作巧妙而堅定的辯論，指出這些觀點的錯誤和弱點以及新觀點的力量。
伽利略對于自然界堅決地同臆測的、神秘的看法決裂，而贊成力學(xué)的和數(shù)學(xué)的觀點。他還相信，科學(xué)問題不應(yīng)該為神學(xué)的辯論所迷惑和蒙蔽。他的科學(xué)成就之一就是他明確地認(rèn)識了科學(xué)領(lǐng)域而決然地把它同宗教教條割斷。
伽利略相信自然界是用數(shù)學(xué)設(shè)計的。他1610年的敘述是著名的：
自然界是簡單而有秩序的，它的行為是規(guī)則的而且必要的。它按照完美而不變的數(shù)學(xué)規(guī)律活動著。神圣的理智是自然界中理性事物的源泉。上帝把嚴(yán)密的數(shù)學(xué)必要性放入世界，人只有通過艱苦努力才能領(lǐng)會這個必要性。因此，數(shù)學(xué)知識不但是絕對真理，而且像圣經(jīng)那樣，每句每行都是神圣不可侵犯的。實際上，數(shù)學(xué)更優(yōu)越，因為對圣經(jīng)有許多不同的意見，而對真理則不會。
另一信條，德謨克利特的原子論，在伽利略的著作中比在笛卡爾的著作中更為明顯。原子論預(yù)先假定有空的空間（笛卡爾不承認(rèn)這一點）和單個的不可毀滅的原子。變化是由原子的組合和分解構(gòu)成的。物體中所有質(zhì)的差別，都是由原子在數(shù)量、大小、形狀和位置排列上的差別造成的。原子的主要性質(zhì)是不可透入性和不可毀滅性。這些性質(zhì)可用來解釋化學(xué)現(xiàn)象與物理現(xiàn)象。伽利略擁護原子論，把它擺在科學(xué)學(xué)說的前線。
第一個提出原子論的德謨克利特
原子論把伽利略吸引到第一性和第二性的學(xué)說。他說：“如果把耳朵、舌頭和鼻子都去掉，我的意見是，形狀、數(shù)量[大小]和運動將仍存在，但將失掉嗅覺、味覺和聲覺，這些是從活的動物抽象出來的，照我看來，只是一些名詞而已?！币虼?，伽利略和笛卡爾一樣，一下子就剝掉了千百種現(xiàn)象和性質(zhì)而集中到物質(zhì)和運動著兩種可用數(shù)學(xué)描述的東西。在一個把運動問題作為最突出最嚴(yán)肅的問題的世紀(jì)里，科學(xué)家認(rèn)為運動是一個基本的物理現(xiàn)象，也許是不足為怪的。
伽利略的下一步思想，笛卡爾也曾提到過的，就是任何科學(xué)分支應(yīng)在數(shù)學(xué)模型上取圖案。這包括兩個主要步驟。數(shù)學(xué)從公理出發(fā)，通過演繹推論而建立新的真理。據(jù)此，任何科學(xué)分支，都應(yīng)從公理或原理出發(fā)，然后演繹地進行下去，還應(yīng)從公理推出盡量多的結(jié)果。這個思想源于亞里士多德，他尋求的也是在數(shù)學(xué)模型指引下的演繹結(jié)構(gòu)。
可是，伽利略根本上不同于希臘人，不同于中世紀(jì)的科學(xué)家甚至笛卡爾之處，在于他的尋求基本原理的方法。前人和笛卡爾都相信基本原理出自心中，心只需對任何一類現(xiàn)象去想，就能認(rèn)出基本的真理。心的這種力量，在數(shù)學(xué)中明白地得到證實。像“等量加等量結(jié)果還相等”和“兩個點確定一條直線”等公理，只要我們想到數(shù)和幾何圖形，就會立刻呈現(xiàn)出來，而且是無可爭辯的真理。希臘人也曾找出一些自明的物理原理。例如“宇宙中所有物體都應(yīng)有自然位置”，這條原理是再恰當(dāng)沒有的了。靜止?fàn)顟B(tài)看來顯然比運動狀態(tài)更為自然。必須用力來推動和保持物體的運動，這也似乎是無可爭辯的。相信心能夠提供基本原理，并不否認(rèn)觀測在獲得這些原理的過程中可能起的作用。但是觀測只是喚起正確的原理，正如看見一個熟識的面孔，就能想起有關(guān)那個人的事情一樣。
希臘和中世紀(jì)的科學(xué)家如此相信先天的基本原理，以至當(dāng)觀測偶然不符合時，他們就造出特殊的解釋來保存原理，同時也說明異常的地方。這些人，照伽利略的說法，是首先決定世界應(yīng)該如何作用著，然后把他們所看見的東西配合到他們預(yù)想的原理中去。
伽利略決定在物理學(xué)中，和在數(shù)學(xué)中相反，基本原理必須來自經(jīng)驗與實驗。尋求正確而基本的原理的道路，是要注意什么是自然界說的，而不必注意什么是心之所愿的。他辯論道，自然界不是先造出人腦，然后把世界安排得使它能被人的智慧所接受。對于中世紀(jì)的思想家無休止地重復(fù)亞里士多德的話并且爭論它的含義，伽利略給以批評說，知識來自觀測，不來自書本，關(guān)于亞里士多德的辯論是無用的。他說：“當(dāng)我們得到自然界的意志時，權(quán)威是沒有意義的……”
有些文藝復(fù)興時代的思想家以及伽利略的同時代人弗朗西斯·培根也得出同樣的結(jié)論：實驗是必要的。在他的新方法這一特殊方面，伽利略并沒有走在別人前面。但是，笛卡爾卻認(rèn)為伽利略依賴于實驗的辦法是不明智的。笛卡爾說，感官所及的事情只能引向幻覺，只有理性能透過幻覺。從內(nèi)心所提供的天生的一般原理，我們能推出自然界的特殊現(xiàn)象，并且理解它們。伽利略確曾領(lǐng)會到，人可能從實驗得出不正確的原理，因而從這原理得出的推論也是不正確的。因此，他建議用實驗去考核推理的結(jié)果，并且去獲得基本原理。
就實驗而論，伽利略確是一個過渡人物。他還有50年后的牛頓，都相信少數(shù)關(guān)鍵性實驗應(yīng)該能產(chǎn)生正確的基本原理。不僅如此，有許多伽利略叫做實驗的，實際上是思想中的實驗，這就是說，他依靠日常經(jīng)驗去想象如果真作實驗的話，應(yīng)該得到什么結(jié)果，于是他就堅信不疑地作出結(jié)論，好像他曾真正作過實驗一樣。
當(dāng)他在《關(guān)于兩大世界體系的對話》中描寫到一個球從航行著的船的桅桿頂上掉下來的運動時，辛普利丘（Simplico，書中對話人之一）問他是否作過實驗。伽利略答道：“沒有作過，我不需要作，即使沒有任何經(jīng)驗，我也能肯定是這樣的，因為它不能不是這樣?！笔聦嵣?，他說他很少作實驗，作實驗主要是為了駁斥那些不遵循數(shù)學(xué)的人。
這事的真實情況是伽利略對于自然有一些成見，這使他相信有少許實驗就足夠了。例如，他相信自然界是簡單的，因此當(dāng)他考慮自由落體以遞增的速度下降時，他斷定速度增加在下降的每一秒時間內(nèi)是一樣的，這是最簡單的“真理”。他也相信自然界是用數(shù)學(xué)設(shè)計出來的，因此任何數(shù)學(xué)定律，即使只是在很有限的實驗中似乎是對的，在他看來就是對的。
伽利略和惠更斯、牛頓一樣，認(rèn)為科學(xué)工作中的演繹數(shù)學(xué)部分所起的作用比實驗部分所起的作用要大。對伽利略說來，由一個單獨的原理推出大量定理所引起的自豪感，不亞于該原理本身的發(fā)現(xiàn)所引起的自豪感。為近代科學(xué)造型的人——笛卡爾、伽利略、惠更斯和牛頓（還可加上哥白尼和開普勒）——都是以數(shù)學(xué)家的身份去探索自然，無論在一般方法上或具體研究上都是這樣。他們是懸擬式的思想家，期望通過直觀或通過關(guān)鍵性的觀察和實驗去了解廣泛的、深刻的（但是簡單的）、清晰而且不變的數(shù)學(xué)原理，然后從這些基本原理導(dǎo)出新的定律，完全和數(shù)學(xué)本身構(gòu)造它的幾何的方式一樣。大量的活動是演繹部分，整個的思想體系就是這樣導(dǎo)出的。
17世紀(jì)的大思想家所想象的科學(xué)的正當(dāng)程序，后來確實證明是有益的。用理性去尋求自然界定律，到了牛頓的時代，在薄弱的觀察和實驗的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了極有價值的結(jié)果。16、17世紀(jì)的巨大科學(xué)成就是在天文學(xué)和力學(xué)方面，關(guān)于前者，觀測只給出了很少一點新鮮的東西；關(guān)于后者，實驗的結(jié)果很難說是驚人的，而且確實是沒有決定性的。但是，數(shù)學(xué)理論卻達到了廣博與完善的地步。在后來的兩個世紀(jì)中，科學(xué)家根據(jù)極少甚至瑣碎的觀測和實驗，給出了深刻而廣泛的自然定律。
伽利略、惠更斯和牛頓都期望有少數(shù)實驗就夠了。這期望是容易理解的，因為他們都相信自然界是用數(shù)學(xué)設(shè)計的，所以沒有理由不按照數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的程序去進行科學(xué)的研究。正如蘭德爾（John Herman Randall）在《近代思想的形成》（Making of the Modern Mind）一書中所說：“科學(xué)產(chǎn)生于用數(shù)學(xué)解釋自然這一信念......”
但是，伽利略確實從經(jīng)驗中得出幾個原則，而且他的研究方式截然不同于他的前輩。他斷定人必須深入到現(xiàn)象的基本中去，而把后者作為起點。在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》中，他說，處理無窮多樣的重量、形狀和速度是不可能的。他曾經(jīng)觀察到不同的物體在空氣里降落的速度差異，比在水里的要小。介質(zhì)越稀薄，差異越小?！爱?dāng)觀察到這點之后，我就得出結(jié)論：在一個完全沒有阻力的介質(zhì)中，所有物體以同一速度降落?！辟だ栽谶@里所做的是去掉偶然的或次要的效應(yīng)，得到首要的效應(yīng)。
當(dāng)然，實際的物體是在有阻力的介質(zhì)中降落的。他的回答是：“……因此，為了科學(xué)地進行處理，必須割掉這些困難，在無阻力的情形下，發(fā)現(xiàn)并且證明這些定理之后，再按照實際經(jīng)驗所給予的限制來應(yīng)用這些定理?！?/p>
去掉空氣阻力和摩擦力之后，伽利略找出了在真空里運動的基本定律。這樣，他不僅用物體在空的空間中運動的概念來駁斥亞里士多德，甚至駁斥笛卡爾，而且他所做的正如數(shù)學(xué)家在研究實際圖形時所做的那樣。數(shù)學(xué)家從線上去掉分子構(gòu)造、顏色和厚度而得到線的基本性質(zhì)，然后就集中研究這些性質(zhì)。數(shù)學(xué)的抽象方法離開了現(xiàn)實，但當(dāng)回到現(xiàn)實時，卻比所有因素都考慮進去更為有力。
伽利略的下一個原理，是關(guān)于數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用，但只是一個特殊方式的應(yīng)用。亞里士多德派和中世紀(jì)的科學(xué)家都倒向質(zhì)的方面，他們認(rèn)為質(zhì)是基本的。他們研究質(zhì)的獲得與喪失，辯論質(zhì)的意義。伽利略和他們不同，主張尋求量的公理。這個改變最為重要。舉個簡例。亞里士多德派說，球的降落是因為它有重量；它落在地上，是因為任何物體都要找它的自然位置；而重物的自然位置是地球的中心。這些原理都是屬于質(zhì)的。甚至開普勒的第一運動定理——行星的軌道是橢圓——也是屬于質(zhì)的。與此相反，讓我們來看這一敘述：球在降落中每秒鐘的速度，以英尺計，是32乘以開始降落后所經(jīng)歷的秒數(shù)，用符號表示便是v=32t。這是一個關(guān)于球如何降落的量的敘述。伽利略著意于找出這樣的敘述作為公理，并期望用數(shù)學(xué)方法得出一些推論，這些推論將仍給出量的知識。
決定去尋求用公式表達的量的知識，帶來了另一個根本的決定。亞里士多德派相信，科學(xué)的任務(wù)之一是要解釋事情為什么發(fā)生，解釋一詞意味著把現(xiàn)象的原因挖掘出來?！拔矬w降落，因為它有重量”這一敘述給出降落的直接原因，而“物體找它的自然位置”這一敘述則給出最后原因。但是，量的敘述v = 32t，不管它價值如何，沒有解釋物體為什么降落，它只說明速率是怎樣隨著時間而變的。換句話說，公式不解釋，只描寫。伽利略尋求的自然知識是描寫性的。他在《兩門新科學(xué)》中說：“落體運動的加速度的原因何在，不是研究工作的必要部分。”更一般些，他指出，他將研究并證明運動的若干性質(zhì)，而不管其原因是什么。實證的科學(xué)探討，要同最后原因的問題分開，對于物理原因的忖度應(yīng)該放棄。
對伽利略的這個原理的初次反應(yīng)，勢必是否定的。用公式描寫自然現(xiàn)象，只能說是第一步。亞里士多德派好像實際上已掌握了科學(xué)的真正作用，這就是解釋種種現(xiàn)象為什么發(fā)生。甚至笛卡爾也提出抗議，他說：“伽利略關(guān)于真空中落體所說的一切都是沒有根據(jù)的，他應(yīng)該首先定出重量的本質(zhì)。”笛卡爾又說，伽利略應(yīng)該在最后的理由上著想。但是，伽利略追求描寫的決定是歷來關(guān)于科學(xué)方法論的最深刻最有成效的思想。
盡管亞里士多德派已經(jīng)談到一些關(guān)于質(zhì)的名詞，例如流動性、剛性、要素、自然位置、自然的和猛烈的運動，以及潛勢等，伽利略卻選擇了一組全新的可以測量的概念，使得它們的測度可以用公式聯(lián)系起來。這組概念包括距離、時間、速度、加速度、力、質(zhì)量和重量等。這些概念我們是太熟悉了，不覺得有什么奇怪，但在伽利略的時代，這是徹底的改造，至少作為基本概念來說是如此。這些概念在了解和掌握自然的努力中，已證明是最有幫助的。
我們已經(jīng)描述出伽利略程序的主要特點。其中有些思想是別人曾經(jīng)提出的，有些則完全是他自己的創(chuàng)造。但是，伽利略的卓越之處在于他非常清楚地看出當(dāng)時科學(xué)研究工作中的錯誤和缺點，徹底地拋棄了舊的方式，而又非常明白地制定了新的程序。另外，在應(yīng)用這些程序于運動問題時，他不但表演了這個方法，而且成功地獲得了輝煌的成果——換句話說，他證明了他的程序是有效的。他工作的完整、思想和表達的明晰以及論辯的力量，影響了幾乎所有他的同輩和后輩。伽利略是近代科學(xué)方法論的奠基人。他完全意識到他的成就，別人也意識到他的成就。哲學(xué)家霍布斯談到伽利略時說：“他是第一個給我們打開通向整個物理領(lǐng)域的門的人。”
牛頓全盤接受了伽利略的程序。牛頓斷言，需要用實驗來提供基本定律。他又明白知道，在得到一些基本原理之后，科學(xué)的作用就是從這些原理推出新的事實。他在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）的序文中說：
牛頓在《原理》中說，他的目的是要發(fā)現(xiàn)并宣告“一切事物按測度、數(shù)目和重量安排”的準(zhǔn)確方式。牛頓有充分理由來強調(diào)與物理解釋針鋒相對的量的數(shù)學(xué)定律，因為在他的天體力學(xué)里，中心的物理概念是引力，而引力的作用是完全不能用物理的術(shù)語解釋的。牛頓不給解釋，只給出一個顯明而有用的數(shù)量公式，表明引力是怎樣作用的。這就是為什么他在《原理》的開端說：“因此，我計劃在這里只給出這些力的數(shù)學(xué)概念，不考慮它們的物理原因和根底?！痹跁咏┪驳牡胤剑种貜?fù)他的思想：
放棄物理的機械解釋而改用數(shù)學(xué)的描寫，甚至杰出的科學(xué)家也感到震驚。惠更斯認(rèn)為引力的概念是“荒謬的”，因為穿越空的空間的作用，排除了任何機械的解釋。他很驚訝牛頓竟然自找麻煩去作這樣多費力的計算，其中除了引力的數(shù)學(xué)原理以外，別無根據(jù)。萊布尼茨攻擊引力，說它是一個無實質(zhì)而又不可解釋的力量。約翰·伯努利（John Bernoulli，雅各布·伯努利的弟弟）也否定它，認(rèn)為它“背叛了那些習(xí)慣于除了無可爭辯和論據(jù)確鑿的物理原理而外，不接受任何物理原理的思想”。但是，只有依靠數(shù)學(xué)的描寫（即使完全缺乏物理的了解時也依靠它）才使得牛頓的驚人貢獻成為可能，更不用說后來的發(fā)展了。
由于科學(xué)變得沉重地依賴于數(shù)學(xué)，所以擴展數(shù)學(xué)領(lǐng)域和數(shù)學(xué)技術(shù)的人是科學(xué)家；而科學(xué)所提供的種種問題，給數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作指出了許多重要的方向。
三、函數(shù)概念
按照伽利略程序進行的科學(xué)探討，第一個數(shù)學(xué)收獲來自對運動的研究。這個問題吸引了17世紀(jì)的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。在17世紀(jì)的早期，特別是在伽利略給太陽中心論增添了證據(jù)之后，開普勒的天文學(xué)已為一般人所接受，但他的橢圓運動定律只是近似的。作用于任何兩個物體間的引力的概念，已由開普勒（還有別人）提示過。如何改進計算行星位置的問題還未解決。開普勒得到定律主要是依靠用曲線去擬合天文數(shù)據(jù)，但沒有根據(jù)基本的運動定律取解釋為什么行星沿著橢圓軌道運動。關(guān)于如何從運動原理導(dǎo)出開普勒定律這一基本問題，是一個明顯的挑戰(zhàn)。
改進天文學(xué)理論，還有一個實用的目的：水手們需要測定緯度和經(jīng)度的準(zhǔn)確方法。緯度可以通過觀察太陽或恒星來確定，但測定經(jīng)度則較困難。16世紀(jì)的測經(jīng)度的辦法經(jīng)常產(chǎn)生大約500英里的誤差。大約1514年之后，經(jīng)度是用月球?qū)σ恍┖阈堑南鄬Ψ较騺泶_定的。不過，這個方法也不準(zhǔn)確。就是在牛頓的時代，關(guān)于月球位置的知識仍是這樣得不準(zhǔn)確，以至用表冊來確定船在海中的位置，可以導(dǎo)致大到100英里的誤差。1675年，英王查理（Charles）二世在格林尼治（Greenwich）建立起皇家觀測臺，以期對月球運動得到較好的觀測，并且把該臺作為測定經(jīng)度的固定站。1712年，英國政府設(shè)立一個“經(jīng)度測定委員會”，并且設(shè)置高達兩萬英鎊的獎金來征求測量經(jīng)度的方案。
格林尼治天文臺
17世紀(jì)的科學(xué)家也面臨著解釋地球運動問題。既然地球不再是宇宙的中心，為什么物體應(yīng)該待在地球上呢？為什么下降的物體要落到地球上呢？不僅如此，從一切運動，例如拋射體的運動來看，好像地球是靜止的。這些問題激起了許多人的注意，其中包括卡爾達諾、塔爾塔利亞、伽利略和牛頓。拋射體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈的速度對于高度和射程的影響都是基本的問題，因而當(dāng)時的親王們花了大量的錢來謀求解決?？茖W(xué)家們想到，因為宇宙據(jù)信是按照一個宏偉的計劃造成的，所以能解釋地球運動的原理，也能解釋天體的運動。
從各種運動問題的研究中出現(xiàn)了一個特殊的問題：如何設(shè)計一些較為準(zhǔn)確的方法來測量時間？從1348年以后通用的機械鐘是不夠準(zhǔn)確的。佛蘭芒人（Flemish）的制圖家弗里修斯（Gemma Frisius，1508—1555）曾提出用時鐘來測定經(jīng)度。但是截止到1600年，還沒有準(zhǔn)確的、耐久的、適用于航海的鐘。
伽利略注意到擺的往復(fù)所用的時間是固定的，而且看來是與擺幅無關(guān)的。他設(shè)計了擺鐘，并且叫他的兒子造出一個來。但是對單擺做出基本工作的，卻是胡克（Robert Hooke）和惠更斯。適用于航海的鐘終于由哈里森（JohnHarrison，1693—1776）在1761年設(shè)計出來，在18世紀(jì)末開始使用。在這之前，由于沒有適當(dāng)?shù)溺?，所以關(guān)于月球運動的準(zhǔn)確觀測還是那個世紀(jì)的主要科學(xué)問題。
伽利略擺鐘手稿
數(shù)學(xué)從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)——或變量間的關(guān)系——的概念。伽利略創(chuàng)立近代力學(xué)的著作《兩門新科學(xué)》幾乎從頭至尾包含著這個概念。伽利略用文字和比例的語言表達函數(shù)關(guān)系。例如，“兩個等體積圓柱體的面積（底面積除外）之比，等于它們高度之比的平方根。”又如：“兩個側(cè)面積相等的正圓柱，其體積之比等于它們高度之比的反比。”如：“從靜止?fàn)顟B(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比?！薄把刂叨鹊煌露鹊膬A斜平板下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比。”這些話清楚地表明他是在討論變數(shù)和函數(shù)，只差把文字?jǐn)⑹霰頌榉栃问竭@短短的一步了。不久之后，伽利略關(guān)于落體距離的敘述就寫為s = kt2，關(guān)于沿斜板下滑時間的敘述就寫為t = kl。
在17世紀(jì)引進的絕大部分函數(shù)，在函數(shù)概念還沒有充分認(rèn)識以前，是當(dāng)作曲線來研究的。例如，關(guān)于log x、sin x和等初等超越函數(shù)的研究就是這樣。伽利略的學(xué)生托里拆利（Evangelista Torricelli，1608—1647）在1644年的一封信里，描述他對曲線的研究（他的原稿直到1900年才刊出）。他是受到當(dāng)時的對數(shù)工作的啟發(fā)而考慮這條曲線的。笛卡爾在1639年也碰到過這條曲線，但沒有談到它和對數(shù)的關(guān)系。正弦曲線是通過羅貝瓦爾關(guān)于旋輪線的研究，作為旋輪線的伴侶曲線進入數(shù)學(xué)的。沃利斯在他的《力學(xué)》（Mechanica，1670）中給正弦曲線畫了兩個周期的圖。那時的三角函數(shù)表和對數(shù)函數(shù)表是非常精確的。
另一與此有關(guān)的事，是用運動概念來引進舊的和新的曲線。在希臘時代，有少數(shù)曲線例如割圓曲線和阿基米德螺線，是用運動定義的。但在那時這些曲線不屬于正規(guī)數(shù)學(xué)的范圍。到了17世紀(jì)，看法就不同了。梅森在1615年把前人已知的曲線cycloid（旋輪線）定義為當(dāng)車輪沿地面滾動時輪上一個定點的軌跡。伽利略證明把物體斜拋向空中時，路徑是一個parabola（拋物線），因而把這曲線看作動點的軌跡。
把曲線看作動點的路徑這一概念，通過羅貝瓦爾、巴羅和牛頓而獲得明顯的認(rèn)可與接受。牛頓在《求曲邊形的面積》（Quadrature of Curves，寫于1676年）中說：“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運動描出的。線是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點的連續(xù)運動……這樣的起源，真正發(fā)生在事物的本性中，并且是日常從物體的運動中看見的?！?/p>
逐漸地就給這些曲線代表的各類函數(shù)引進了名詞和記號。但還存在著許多沒有認(rèn)識到的細(xì)微的難點。例如，在17世紀(jì)中，函數(shù)（x是正負(fù)整數(shù)或分?jǐn)?shù)）的使用，已經(jīng)很普通了。那時假定（此假定一直到19世紀(jì)定義了無理數(shù)之后才取消）此函數(shù)對于無理數(shù)也有意義。因此人們對于形如的式子沒有發(fā)生過疑問，而默認(rèn)它的值位于同樣形式的兩個數(shù)之間，其中一個的指數(shù)是小于的任何有理數(shù)，另一個的指數(shù)是大于的任何有理數(shù)。
笛卡爾提的幾何曲線和機械曲線的區(qū)別，引出了代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)的區(qū)別。幸而笛卡爾的同時代人沒有注意到他排斥機械曲線的事。通過求面積、求級數(shù)和，以及進入微積分里的其他運算，人們發(fā)現(xiàn)并研究了許多超越函數(shù)。詹姆斯·格雷戈里在1667年證明圓扇形的面積不能表為圓半徑和弦的代數(shù)函數(shù)，從而明確了代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)的區(qū)別。萊布尼茨證明sin x不可能是x的代數(shù)函數(shù)，無意中證明了詹姆斯·格雷戈里尋求的結(jié)果。
蘇格蘭數(shù)學(xué)家格雷戈里
17世紀(jì)中，函數(shù)概念的定義以詹姆斯·格雷戈里在他的論文《論圓和雙曲線的求積》（Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura，1667）中所給出的最為明顯。他定義函數(shù)是這樣一個量：它是從一些其他的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的，或者經(jīng)過任何其他可以想象到的運算而得到的。這最后一句話的意思，據(jù)他的解釋是除了五種代數(shù)運算以外，必須再加上一個第六種運算，即趨于極限的運算。詹姆斯·格雷戈里的定義被遺忘了，但無論如何，不久就證明他的定義太窄，因為函數(shù)的級數(shù)表示式不久就廣泛地使用開了。
自從牛頓于1665年開始微積分的工作之后，他一直用“流量”（fluent）一詞來表示變量間的關(guān)系。萊布尼茨在他1673年的一篇手稿里用“函數(shù)”（function）一詞來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量——例如切線、法線、次切線等的長度以及縱坐標(biāo)等。至于該曲線本身，據(jù)他說是由一個方程式給出的。萊布尼茨又引進“常量”、“變量”和“參變量”，這最后一詞是用在曲線族中的。約翰·伯努利自1697年起就談到一個按任何方式用變量和常量構(gòu)成的量（“任何方式”一詞據(jù)他說是包括代數(shù)式子和超越式子而言）。到1698年他采用了萊布尼茨的“x的函數(shù)”一詞作為他這個量的名字。萊布尼茨在他的著作《歷史》（Historia，1714）中，用“函數(shù)”一詞來表示依賴于一個變量的量。
瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利
在符號方面，約翰·伯努利利用X或ξ表示一般的x的函數(shù)，但到了1718年他又改寫為?x。萊布尼茨同意這樣做，但又提出用x、x2等來表示x的函數(shù)，其上標(biāo)是在同時考慮幾個函數(shù)時用的。記號f(x)是歐拉于1734年引進的。從此函數(shù)概念就成了微積分里的中心概念。
變量與函數(shù)的引入將數(shù)學(xué)從常量時期代入了變量時期。
下一講：微積分的創(chuàng)立
